专题09投影与视图精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦投影与视图核心知识点，系统梳理平行投影、中心投影及正投影的概念，明确三视图的定义与“长对正、高平齐、宽相等”绘制法则，构建几何体与三视图互化的完整知识链，为学生提供从基础到应用的学习支架。 资料以18种题型分类（含难度星级）和常见错误分析为特色，通过对比投影类型、三视图虚实线绘制等实例培养学生几何直观与空间观念，解题思路指导强化推理意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，有效弥补知识盲点。

专题09投影与视图精讲学案 本章立意 建立空间观念，区分平行投影、中心投影；理解三视图的概念、绘制规则；实现几何体↔三视图互相转化，会简单投影计算，中考以选择、填空为主。 基础概念 投影：光线照射物体，在平面上得到影子；光线叫投影线，影子所在平面叫投影面。 1）平行投影（太阳光）：投影线互相平行。 同一时刻，阳光下：物体高度:影长 =定值，成正比例。 正投影：属于特殊平行投影，投影线垂直投影面。物体平行投影面，正投影和物体全等；倾斜则缩小；垂直投影面，投影变成线段。 2）中心投影（灯光、点光源）：投影线从同一个点光源发散出来。 影子的延长线，会交于光源点。 ⚠️中心投影没有固定的高度与影长比例，物体离光源远近会改变影子长短，不能套用平行投影的比例公式。 平行投影与中心投影区分方法 ①看光线：光线互相平行→平行投影；光线交于一点→中心投影。 ②看影子连线：把影子顶端和物体顶端连线，多条线平行是太阳光；多条线相交于一点是灯光。 三种视图定义 主视图：从物体正面观察得到视图 左视图：从物体左面观察得到视图 俯视图：从物体上面观察得到视图 三视图绘制黄金法则（必背） 长对正、高平齐、宽相等 1. 长对正：主视图、俯视图长度相等，上下对齐 2. 高平齐：主视图、左视图高度相等，左右对齐 3. 宽相等：俯视图、左视图宽度大小相等 线条绘制要求 看得见的棱、轮廓线 → 画实线 被遮挡看不见的棱、轮廓线 → 画虚线，不能省略 几何体 ↔ 三视图互化 1）已知几何体，画三视图：按“长对正、高平齐、宽相等”，区分实虚线。 2）已知三视图还原几何体： 俯视图定底层形状；主视图看层数、高度；左视图辅助判断左右排布。 常见基础几何体：圆柱、圆锥、球、正方体、长方体、棱锥，熟记它们三视图。 圆锥俯视图：是圆，圆心必须画点，表示顶点投影。 1. 混淆两类投影：把灯光（中心投影）套用太阳光的物体高度与影长成正比公式，中心投影无固定比例，不能直接比。 2. 判断投影类型，不会找光源：中心投影，连接物体顶端与影子顶端，延长交点就是光源。 3. 三视图观察方向搞反，分不清左、主、俯视图。 4. 虚实线乱用：看不见的棱画成实线；内部遮挡轮廓漏画虚线，这是最高频丢分点。 5. 绘图违背“长对正、高平齐、宽相等”，长宽高对不上。 6. 圆锥俯视图漏掉圆心那个点；圆柱、球体三视图特征记混。 7. 由三视图数小正方体个数：漏数被遮挡、压在下层的方块。 题型 考察方向 难度 题型一 正投影 ★★ 题型二 平行投影 ★★ 题型三 中心投影 ★★★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★常考；★★★重难点；★★★★中考易失分难题 题型一： 正投影 解题思路 ①正投影是投影线垂直于投影面的特殊平行投影；②物体平行投影面，投影与原图形全等，物体倾斜投影面，投影缩小，物体垂直投影面，投影变为线段或点；③做题先要判断光线是否垂直投影面，区分普通平行投影和正投影。 1．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    3．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 题型二：平行投影 解题思路 ①太阳光的光线互相平行，同一时刻不同物体影子朝向基本一致；②利用物高与影长成正比例列式：=；③计算只能使用物体竖直高度，物体倾斜时，不能直接代入斜长计算；④该比例公式只适用于太阳光，不可套用到中心投影（灯光）。 4．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，被平行光照射，于点与光线平行，在投影面上，则线段的投影是_______；线段的投影是_______；线段的投影是_______． 6．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：中心投影 解题思路 ①光线由同一个点光源发出，影子会向光源方向汇聚；②找光源：分别连接物体顶端和影子顶端，延长连线，交点即为点光源；③变化规律：物体距离光源越近影子越短，距离光源越远影子越长；④无固定物高影长比例，严禁套用平行投影的比例公式计算。 7．如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 8．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 9．如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（   ） A．5米 B．5.5米 C．7米 D．10.5米 题型四：判断简单几何体的三视图 解题思路 ①三视图分别是从正面、左面、上面直视几何体得到的平面轮廓；②主视图反映长、高，左视图反映宽、高，俯视图反映长、宽；③熟记基础几何体视图：球三视图都是圆，圆柱主、左视图为矩形，俯视图为圆，圆锥主、左视图为三角形，俯视图是圆加圆心点；④只看直接看到的外轮廓，不要脑补几何体内部看不见的线条。 10．将一个正方体截去一个角，得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 11．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 12．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 题型五：判断简单组合体的三视图 解题思路 ①把组合体拆解成若干基础几何体，逐个分析各部分的视图；②将各部分视图合并，保留视线能够直接看到的棱线；③看得见的拼接交界棱画实线，几何体背面被遮挡的线条不画出；④重点关注拼接位置，不要遗漏拼接产生的线段。 13．如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 14．图①所示的是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分得到一个工件（如图②）．对于这个工件，它的俯视图、主视图分别是_______（填字母）． 15．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 题型六：判断非实心几何体的三视图 解题思路 ①适用空心、内部被挖去一部分的几何体；②外部可见轮廓全部画实线，内部被遮挡、看不见的孔洞、棱必须画虚线；③杜绝两类错误：不要把内部虚线画成实线，也不能直接省略内部被遮挡轮廓。 16．如图是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 17．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 18．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 题型七：已知一种或两种视图，判断其他视图 解题思路 ①依据三视图关系：长对正、高平齐、宽相等；②从已知视图提取几何体的长、宽、高数据；③结合尺寸想象立体结构，推导剩余视图；④若给出条件不足，几何体形态不唯一，对应视图也会存在多种可能。 19．某机械零件（如图1）的俯视图如图2所示，则该机械零件的左视图是（   ） A． B． C． D． 20．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝_____． 21．五个大小相同的正方体搭成的几何体俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，其主视图是（     ） A． B． C． D． 题型八：画简单几何体的三视图 解题思路 ①绘图严格遵守：长对正、高平齐、宽相等；②绘图顺序：先画主视图，再画俯视图与主视图长对正，最后画左视图，做到与主视图高平齐，与俯视图宽相等；③看得见的棱使用实线，被遮挡看不见的棱使用虚线；④保证图形轮廓闭合，切勿遗漏虚线。 22．从左面看如图所示的几何体，看到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   23．下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 24．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型九：画简单组合体的三视图 解题思路 ①先拆分组合体，确定几何体整体的长、宽、高；②落实绘图三准则：长对正、高平齐、宽相等，对齐各视图尺寸；③拼接生成的棱看得见就画实线，被遮挡的内部轮廓画虚线；④不可只画外部大轮廓，不能漏掉拼接生成的棱线。 25．图1是由7个相同的小正方体组成的几何体，移走一个小正方体后变成如图2所示的几何体，则移走前后：（    ） A．左视图不变，俯视图不变 B．左视图改变，俯视图改变 C．左视图改变，俯视图不变 D．左视图不变，俯视图改变 26． 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为______． 27．如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十：画小立方块堆砌图形的三视图 解题思路 ①读懂俯视图数字，俯视图方格内数字代表该位置小立方体层数；②画主视图：看俯视图每一列，取每一列的最大层数作为主视图每一列高度；③画左视图：看俯视图每一行，取每一行的最大层数作为左视图每一行高度；④只画出视线看到的最高轮廓，不需要画出全部方块。 28．如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 29．如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为__________． 30．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若将标号为①的小正方体取走，得到的新几何体的主视图与俯视图，与原几何体的主视图与俯视图对比，下列说法正确的是（     ）． A．主视图一样，俯视图一样 B．主视图一样，俯视图不一样 C．主视图不一样，俯视图一样 D．主视图不一样，俯视图不一样 题型十一：由三视图还原几何体 解题思路 ①以俯视图为基础，确定底层方块的摆放布局；②主视图读取每一列最大高度，左视图读取每一行最大高度；③还原顺序：先定底层，再逐层向上补方块，确定每个位置立方体层数；④重点分析凸起、拐角位置，逐步构建立体。 31．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 32．由8个大小相同的正方体搭成的几何体，被嘉琪拿掉1个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断嘉琪拿掉的那个正方体原来放在（     ） A．①号的前面 B．②号的前面 C．③号的前面 D．④号的右边 33．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_______． 题型十二：已知三视图求边长 解题思路 ①利用三视图等量关系：主视图长=俯视图长，主视图高=左视图高，俯视图宽=左视图宽；②将视图上线段，对应转化成几何体真实的长、宽、高；③注意视图上部分线段不是几何体实际棱长，不要直接拿来计算。 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 35．如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为______． 36．在底面为正三角形，且底面周长为的直棱柱上，截去一个底面为正三角形，且底面周长为的直棱柱后(如图所示)，所得几何体的俯视图的周长为（  ） A． B． C． D． 题型十三：已知三视图求侧面积或表面积 解题思路 ①根据三视图还原几何体，提取半径、母线、长宽高等真实数据；②分清公式：表面积 = 侧面积 + 上下底面面积；③组合体有贴合重叠的面，要减去重叠部分面积；④分清圆柱、圆锥侧面积、全面积公式，不要漏算底面，也不要重复算贴合面。 37．如图，根据三视图，得出这个几何体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 38．如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 39．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型十四：求小立方块堆砌图形的表面积 解题思路 ①采用六向计数法，分别数出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量；②总面数 = 六个方向面数相加，表面积 = 单个小正方形面积 × 总面数；③该方法自动排除方块之间内部贴合面，禁止直接拿所有方块表面积简单相加。 40．如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 41．下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个． 42．如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型十五：已知三视图求体积 解题思路 ①根据三视图还原几何体，读出实际尺寸；②普通几何体直接套用对应体积公式；③组合体总体积 = 各部分体积相加，挖空几何体体积 = 整体体积 − 挖去部分体积；④看清数据，区分直径与半径，避免代错数值。 43．如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，根据图中所标示的数据（单位：），计算鱼缸内水的体积为（   ） A． B． C． D． 44．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留）． 45．一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（   ） A． B． C． D． 题型十六：求几何体视图的面积 解题思路 ①审题区分：求的是某个视图的平面面积，不是几何体立体表面积、体积；②确认所求为哪一个视图（主/左/俯视图）；③数视图内单位正方形数量，或者直接求该平面图形的面积；④高频错点：切勿把视图面积和几何体表面积混淆。 46．如图是由几个完全一样的小正方体搭成的几何体．下列关于该几何体的视图的说法，正确的是（     ） A．主视图面积最大 B．左视图面积最大 C．俯视图面积最大 D．三种视图面积相等 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 48．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 题型十七：由三视图，判断小立方体的个数 解题思路 ①以俯视图作为底座，每个方格代表一个摆放位置；②主视图限定每一列最大层数，左视图限定每一行最大层数；③在俯视图每个格子标注该位置实际方块数量；④把所有格子数字相加，得到小立方体总个数，不要凭空想象计数。 49．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 50．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有________个． 51．一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 题型十八：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 解题思路 ①俯视图固定底层方块摆放位置；②主视图限定每一列最大高度，左视图限定每一行最大高度；③求最多数量：每个方格取行列条件允许的最大层数；④求最少数量：保证每一列、每一行都出现规定最大高度，其余位置方块层数尽量取最小；⑤直接在俯视图格子标注数字分析，禁止凭空猜想。 52．由若干个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、上面两个方向看到的形状如图所示，则这个积木的块数最少是（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 53．若干个相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看到的形状图如图所示，求满足条件的几何体中小立方块的个数：____ ． 54．如图所示的几何体由8个相同的小正方体组成，若拿走一些小正方体后，几何体的主视图和左视图都没有发生变化，则最多可拿走的小正方体的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解答题 1．如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三角形），下部是圆柱，画出它的三视图（按立体图尺寸）． 2．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 3．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 4．如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长； (2)左视图的面积． 5．用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形上的字母或数字表示该位置上小正方体的个数，试回答下列问题（x，y，z均为非零整数）． (1)x，z各表示多少？ (2)y可能是多少？这个几何体最少由几个小正方体搭成？最多呢？ 6．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 7．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09投影与视图精讲学案 本章立意 建立空间观念，区分平行投影、中心投影；理解三视图的概念、绘制规则；实现几何体↔三视图互相转化，会简单投影计算，中考以选择、填空为主。 基础概念 投影：光线照射物体，在平面上得到影子；光线叫投影线，影子所在平面叫投影面。 1）平行投影（太阳光）：投影线互相平行。 同一时刻，阳光下：物体高度:影长 =定值，成正比例。 正投影：属于特殊平行投影，投影线垂直投影面。物体平行投影面，正投影和物体全等；倾斜则缩小；垂直投影面，投影变成线段。 2）中心投影（灯光、点光源）：投影线从同一个点光源发散出来。 影子的延长线，会交于光源点。 ⚠️中心投影没有固定的高度与影长比例，物体离光源远近会改变影子长短，不能套用平行投影的比例公式。 平行投影与中心投影区分方法 ①看光线：光线互相平行→平行投影；光线交于一点→中心投影。 ②看影子连线：把影子顶端和物体顶端连线，多条线平行是太阳光；多条线相交于一点是灯光。 三种视图定义 主视图：从物体正面观察得到视图 左视图：从物体左面观察得到视图 俯视图：从物体上面观察得到视图 三视图绘制黄金法则（必背） 长对正、高平齐、宽相等 1. 长对正：主视图、俯视图长度相等，上下对齐 2. 高平齐：主视图、左视图高度相等，左右对齐 3. 宽相等：俯视图、左视图宽度大小相等 线条绘制要求 看得见的棱、轮廓线 → 画实线 被遮挡看不见的棱、轮廓线 → 画虚线，不能省略 几何体 ↔ 三视图互化 1）已知几何体，画三视图：按“长对正、高平齐、宽相等”，区分实虚线。 2）已知三视图还原几何体： 俯视图定底层形状；主视图看层数、高度；左视图辅助判断左右排布。 常见基础几何体：圆柱、圆锥、球、正方体、长方体、棱锥，熟记它们三视图。 圆锥俯视图：是圆，圆心必须画点，表示顶点投影。 1. 混淆两类投影：把灯光（中心投影）套用太阳光的物体高度与影长成正比公式，中心投影无固定比例，不能直接比。 2. 判断投影类型，不会找光源：中心投影，连接物体顶端与影子顶端，延长交点就是光源。 3. 三视图观察方向搞反，分不清左、主、俯视图。 4. 虚实线乱用：看不见的棱画成实线；内部遮挡轮廓漏画虚线，这是最高频丢分点。 5. 绘图违背“长对正、高平齐、宽相等”，长宽高对不上。 6. 圆锥俯视图漏掉圆心那个点；圆柱、球体三视图特征记混。 7. 由三视图数小正方体个数：漏数被遮挡、压在下层的方块。 题型 考察方向 难度 题型一 正投影 ★★ 题型二 平行投影 ★★ 题型三 中心投影 ★★★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★常考；★★★重难点；★★★★中考易失分难题 题型一： 正投影 解题思路 ①正投影是投影线垂直于投影面的特殊平行投影；②物体平行投影面，投影与原图形全等，物体倾斜投影面，投影缩小，物体垂直投影面，投影变为线段或点；③做题先要判断光线是否垂直投影面，区分普通平行投影和正投影。 1．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 2．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 3．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键． 当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 题型二：平行投影 解题思路 ①太阳光的光线互相平行，同一时刻不同物体影子朝向基本一致；②利用物高与影长成正比例列式：=；③计算只能使用物体竖直高度，物体倾斜时，不能直接代入斜长计算；④该比例公式只适用于太阳光，不可套用到中心投影（灯光）。 4．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 5．如图，被平行光照射，于点与光线平行，在投影面上，则线段的投影是_______；线段的投影是_______；线段的投影是_______． 【答案】 线段 点 线段 【分析】本题考查了正投影，解题的关键是理解正投影的定义． 根据正投影的定义进行填空即可． 【详解】解：被平行光照射，于点与光线平行，在投影面上， 由正投影的定义可知：线段的投影是线段；线段的投影是点；线段的投影是线段． 故答案为：线段，点，线段． 6．槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据平行投影的变化规律，明确北半球下午物体影子长度随时间的变化趋势即可求解． 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 题型三：中心投影 解题思路 ①光线由同一个点光源发出，影子会向光源方向汇聚；②找光源：分别连接物体顶端和影子顶端，延长连线，交点即为点光源；③变化规律：物体距离光源越近影子越短，距离光源越远影子越长；④无固定物高影长比例，严禁套用平行投影的比例公式计算。 7．如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心投影的性质，中心投影的性质：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短． 根据中心投影的特点即可得出答案． 【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小． 即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大． 故选：C． 8．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 【答案】10 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，一路灯距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点）5米的处沿所在直线走了7.5米到达点处，那么小方在点处影子的端点到在点处影子的端点的距离为（   ） A．5米 B．5.5米 C．7米 D．10.5米 【答案】D 【分析】本题主要考查的是相似三角形在实际中的中心投影的应用．利用相似三角形可以求得和的长，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：； 由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴长为米． 故选：D． 题型四：判断简单几何体的三视图 解题思路 ①三视图分别是从正面、左面、上面直视几何体得到的平面轮廓；②主视图反映长、高，左视图反映宽、高，俯视图反映长、宽；③熟记基础几何体视图：球三视图都是圆，圆柱主、左视图为矩形，俯视图为圆，圆锥主、左视图为三角形，俯视图是圆加圆心点；④只看直接看到的外轮廓，不要脑补几何体内部看不见的线条。 10．将一个正方体截去一个角，得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该几何体的主视图如图所示： ． 11．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图特点可得答案． 【详解】解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形，长方形，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，长方形及对角线，故D选项不符合题意． 故选：A． 12．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 【答案】 【分析】根据三视图的数据，确定线段所在直角三角形的两条直角边长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据三视图的定义，可得： 在水平方向上，线段对应的直角边长度为： ， 在竖直方向上，线段对应的直角边长度为． 由勾股定理，得： ， ， ， ． 答：主视图上线段的长度为． 题型五：判断简单组合体的三视图 解题思路 ①把组合体拆解成若干基础几何体，逐个分析各部分的视图；②将各部分视图合并，保留视线能够直接看到的棱线；③看得见的拼接交界棱画实线，几何体背面被遮挡的线条不画出；④重点关注拼接位置，不要遗漏拼接产生的线段。 13．如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：该几何体的主视图是． 14．图①所示的是一个正三棱柱毛坯，将其截去一部分得到一个工件（如图②）．对于这个工件，它的俯视图、主视图分别是_______（填字母）． 【答案】 【分析】本题考查几何体三视图的判断，掌握从不同方向观察工件，确定视图的形状是解题的关键． 分别从俯视和主视的角度观察工件，确定其俯视图和主视图的形状． 【详解】解：俯视图：从上方观察工件，看到的是正三角形，对应图形， 主视图：从正面观察工件，看到的是带有虚线的直角梯形，对应图形， 虽然带有虚线的直角梯形，但其虚线位置与实际被遮挡的棱边不匹配， 实际主视图中，被遮挡的棱边是工件内侧较短的线段，而中虚线过长，超出了实际遮挡范围． 所以俯视图、主视图分别是． 故答案为：． 15．如图是几个小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：根据三视图的定义，可知这个几何体的主视图是． 题型六：判断非实心几何体的三视图 解题思路 ①适用空心、内部被挖去一部分的几何体；②外部可见轮廓全部画实线，内部被遮挡、看不见的孔洞、棱必须画虚线；③杜绝两类错误：不要把内部虚线画成实线，也不能直接省略内部被遮挡轮廓。 16．如图是空心圆柱的主视图与俯视图，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：空心圆柱的主视图与俯视图为： ． 17．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 18．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型七：已知一种或两种视图，判断其他视图 解题思路 ①依据三视图关系：长对正、高平齐、宽相等；②从已知视图提取几何体的长、宽、高数据；③结合尺寸想象立体结构，推导剩余视图；④若给出条件不足，几何体形态不唯一，对应视图也会存在多种可能。 19．某机械零件（如图1）的俯视图如图2所示，则该机械零件的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据正面和俯视图可以发现零件内部挖去了一个圆柱，那么该几何体的左视图为： 20．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝_____． 【答案】16 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形． 【详解】易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体， m＝4＋3＋2＝9，n＝4＋2＋1＝7， 所以m＋n＝9＋7＝16． 故答案为：16． 【点睛】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 21．五个大小相同的正方体搭成的几何体俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图以及小正方形中的数字可得主视图，共有列，小正方形的个数分别为，，，据此，即可求解． 【详解】解：由题意，这个几何体的主视图共有列，小正方形的个数分别为，，，如图， 题型八：画简单几何体的三视图 解题思路 ①绘图严格遵守：长对正、高平齐、宽相等；②绘图顺序：先画主视图，再画俯视图与主视图长对正，最后画左视图，做到与主视图高平齐，与俯视图宽相等；③看得见的棱使用实线，被遮挡看不见的棱使用虚线；④保证图形轮廓闭合，切勿遗漏虚线。 22．从左面看如图所示的几何体，看到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据从左面看到的平面图形求解即可． 【详解】解：从左面看如图所示的几何体可得到的平面图形是    ， 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体三视图的问题，掌握几何体三视图的性质是解题的关键． 23．下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先画出每项的左视图，再选出不同的项即可 ． 【详解】解：由题意可知，A、C、D三项的左视图都是矩形（正方形也是矩形 ），而B项的左视图是三角形，所以左视图形状与其它三个不同的是B， 故选B． 【点睛】本题考查几何体三视图的应用，熟练掌握几何体的左视图是解题关键． 24．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 题型九：画简单组合体的三视图 解题思路 ①先拆分组合体，确定几何体整体的长、宽、高；②落实绘图三准则：长对正、高平齐、宽相等，对齐各视图尺寸；③拼接生成的棱看得见就画实线，被遮挡的内部轮廓画虚线；④不可只画外部大轮廓，不能漏掉拼接生成的棱线。 25．图1是由7个相同的小正方体组成的几何体，移走一个小正方体后变成如图2所示的几何体，则移走前后：（    ） A．左视图不变，俯视图不变 B．左视图改变，俯视图改变 C．左视图改变，俯视图不变 D．左视图不变，俯视图改变 【答案】C 【分析】根据左视图，俯视图的画图要求，画图解答即可，本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】 中， 图1的左视图为，俯视图为 图2的左视图为，俯视图为 故左视图改变，俯视图不变， 故选C． 26． 由几个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图可以看到5个小正方体的面，则俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为______． 【答案】7 【分析】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1．据此计算即可． 【详解】解：根据题意可得左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1． ∴俯视图与左视图能看到的小正方体的面的个数和为：2+1+1+2+1=7． 故答案为：7 【点睛】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 27．如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得． 【详解】解：该组合体的俯视图为： 故该组合体的俯视图的面积为： 故选：B 【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键． 题型十：画小立方块堆砌图形的三视图 解题思路 ①读懂俯视图数字，俯视图方格内数字代表该位置小立方体层数；②画主视图：看俯视图每一列，取每一列的最大层数作为主视图每一列高度；③画左视图：看俯视图每一行，取每一行的最大层数作为左视图每一行高度；④只画出视线看到的最高轮廓，不需要画出全部方块。 28．如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：这个几何体的俯视图是． 29．如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的左视图及俯视图，根据左视图及俯视图的定义得到该几何体的左视图和俯视图，问题随之得解． 【详解】解：该几何体的左视图为： 左视图的面积为， 该几何体的俯视图为： 俯视图的面积为， 则它的左视图和俯视图的面积之和为． 故答案为：． 30．如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若将标号为①的小正方体取走，得到的新几何体的主视图与俯视图，与原几何体的主视图与俯视图对比，下列说法正确的是（     ）． A．主视图一样，俯视图一样 B．主视图一样，俯视图不一样 C．主视图不一样，俯视图一样 D．主视图不一样，俯视图不一样 【答案】C 【分析】先分别画出标号为①的小正方体取走前后的主视图和俯视图，然后对比即可解答． 【详解】解：标号为①的小正方体取走前的主视图和俯视图如下：        标号为①的小正方体取走后的主视图和俯视图如下：     所以标号为①的小正方体取走前后的主视图不一样，俯视图一样． 题型十一：由三视图还原几何体 解题思路 ①以俯视图为基础，确定底层方块的摆放布局；②主视图读取每一列最大高度，左视图读取每一行最大高度；③还原顺序：先定底层，再逐层向上补方块，确定每个位置立方体层数；④重点分析凸起、拐角位置，逐步构建立体。 31．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 32．由8个大小相同的正方体搭成的几何体，被嘉琪拿掉1个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断嘉琪拿掉的那个正方体原来放在（     ） A．①号的前面 B．②号的前面 C．③号的前面 D．④号的右边 【答案】B 【分析】先分析原几何体总数：原几何体共8个正方体，拿掉1个后剩7个（即图1），结合三视图可知：原几何体底层共6个正方体（前后两排，每排3个，左右共三列），上层共2个正方体（都在后排的左右两列上方），总和正好为8个，再对比原几何体的三视图与图1（拿掉后的几何体）后的图形即可． 【详解】原几何体的三视图对比图1（拿掉后的几何体）：观察俯视图发现缺少前排中间位置的正方体，再结合左视图这个位置正好是后排中间的②号的正前方． 33．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，掌握先判断几何体形状，再分别计算各面面积求和是解题的关键． 先根据三视图判断几何体的形状为半圆柱，再分别计算其各个面的面积，最后求和得到表面积． 【详解】解：该几何体是半圆柱，底面半圆的半径，高； 两个半圆底面的面积和：； 半圆柱的侧面积：； 长方形的面积：； 表面积为． 故答案为：． 题型十二：已知三视图求边长 解题思路 ①利用三视图等量关系：主视图长=俯视图长，主视图高=左视图高，俯视图宽=左视图宽；②将视图上线段，对应转化成几何体真实的长、宽、高；③注意视图上部分线段不是几何体实际棱长，不要直接拿来计算。 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 35．如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出是解题关键． 过点E作交于点H．根据三视图的对应情况可得出，中上的高即为的长，进而求出即可． 【详解】解：如图，过点E作交于点H． ， ． 根据左视图可得到． 故答案为：． 36．在底面为正三角形，且底面周长为的直棱柱上，截去一个底面为正三角形，且底面周长为的直棱柱后(如图所示)，所得几何体的俯视图的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，得到的几何体的俯是个视图一个梯形，即可得答案． 【详解】解：∵直棱柱的底面为正三角形，且底面周长为， ∴底面正三角形边长为3， 同理可得：截去直棱柱的底面边长为1， ∴从上边看是一个梯形： 上底是 1 ，下底是 3 ，两腰是 2 ， 周长是， 故选D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图， 从上边看是一个等腰梯形是解题关键 ． 题型十三：已知三视图求侧面积或表面积 解题思路 ①根据三视图还原几何体，提取半径、母线、长宽高等真实数据；②分清公式：表面积 = 侧面积 + 上下底面面积；③组合体有贴合重叠的面，要减去重叠部分面积；④分清圆柱、圆锥侧面积、全面积公式，不要漏算底面，也不要重复算贴合面。 37．如图，根据三视图，得出这个几何体的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图易判断，该几何体是一个圆柱，由已知三视图中标识的数据，易判断圆柱的底面直径为，高为，代入公式即可计算侧面积． 【详解】由三视图可知，这个几何体是一个圆柱， 该几何体的侧面积是． 故选：. 【点睛】此题主要考查了利用三视图的判断几何体形状以及求几何体的侧面积，根据三视图得出几何体的各边长是解决问题的关键． 38．如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 【答案】18 【分析】先根据俯视图的面积求出圆的半径，也就是主视图的长和左视图的宽，然后利用矩形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：设俯视图的半径为， ∵俯视图的面积为， ∴， ∴， ∴左视图的长为， ∴左视图的面积为：． 39．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积． 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 根据三视图知：该圆锥的母线长为，底面半径为， 故表面积． 故选：B． 题型十四：求小立方块堆砌图形的表面积 解题思路 ①采用六向计数法，分别数出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量；②总面数 = 六个方向面数相加，表面积 = 单个小正方形面积 × 总面数；③该方法自动排除方块之间内部贴合面，禁止直接拿所有方块表面积简单相加。 40．如图，由若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，该几何体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多个小正方体堆叠求表面积，表面积从左边看有6个面，右边6个面，前面6个面，后面6个面，上面6个面，下面6个面，另外还有两个隐藏的面，共计38个面，再乘以1个面的小正方形面积即可求解． 【详解】解：， 即表面积为， 故选：D． 41．下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个． 【答案】 27 4 【分析】计算露在外面的面积；每个小正方体的一个面的面积为平方厘米．物体靠墙摆放，我们只需数出正面、右面、上面三个方向的外露面数量． 统计三个面都有装饰画的小正方体“三个面都有装饰画” 意味着小正方体的正面、右面、上面都外露．我们逐层排查即可求解． 【详解】解：正面：可以看到9个小正方形的面． 右面：可以看到9个小正方形的面． 上面：可以看到9个小正方形的面． 总外露面数为个， 因此露在外面的面积为平方厘米． 底层：1个；中层：1个；顶层：2个．个， 因此，共有4个小正方体三个面都有装饰画． 42．如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意以及图形特征得1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值，再分别研究每种方式的特征，运用整体思想进行作答即可． 【详解】解：设这个涌泉蜜桔包装箱的6个面分别记作，前、后、上、下、左、右， 则1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值， 而图2中①表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，4个上面，4个下面的和； ②表面积为4个前，4个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ③表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，2个上面，2个下面的和； ④表面积为2个前，2个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ∴在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是①， ∴第①叠放方式符合题意， 故选：A． 题型十五：已知三视图求体积 解题思路 ①根据三视图还原几何体，读出实际尺寸；②普通几何体直接套用对应体积公式；③组合体总体积 = 各部分体积相加，挖空几何体体积 = 整体体积 − 挖去部分体积；④看清数据，区分直径与半径，避免代错数值。 43．如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，根据图中所标示的数据（单位：），计算鱼缸内水的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图可知，鱼缸的长为，宽为，高为，根据长方体的体积公式即可求出鱼缸内水的体积． 【详解】解：由三视图可知，鱼缸的长为，宽为，高为， 鱼缸内水的体积为． 44．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体以及圆锥体积的计算公式和勾股定理，根据三视图准确判断几何体的形状并提取出底面半径和高的数据是解题的关键． 【详解】解：由图可知：底面直径为， 所以底面半径， 母线长， 则利用勾股定理： ， ， ， 则， ， ， ． 45．一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图①所示），此时液面刚好过棱，并与棱交于点，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图②所示．当将该正方体平放（正方形在桌面上）时，液体的深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理、三棱柱的三视图及体积公式，熟练掌握勾股定理和三棱柱的体积公式是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再利用三棱柱的体积公式求出液体的体积，从而求出液体的深度． 【详解】解：、 ， 液体的体积为： 当将该正方体平放时，液体的深度为， 故选：C． 题型十六：求几何体视图的面积 解题思路 ①审题区分：求的是某个视图的平面面积，不是几何体立体表面积、体积；②确认所求为哪一个视图（主/左/俯视图）；③数视图内单位正方形数量，或者直接求该平面图形的面积；④高频错点：切勿把视图面积和几何体表面积混淆。 46．如图是由几个完全一样的小正方体搭成的几何体．下列关于该几何体的视图的说法，正确的是（     ） A．主视图面积最大 B．左视图面积最大 C．俯视图面积最大 D．三种视图面积相等 【答案】D 【分析】先得出这个几何体的三视图，再假设小正方体的棱长为，然后把主视图、左视图、俯视图的面积分别算出来，再进行比较，从而得到正确答案． 【详解】这个几何体三视图如图所示， 假设小正方体的棱长为， 主视图由个小正方形组成，所以主视图的面积是； 左视图由个小正方形组成，所以左视图的面积是； 俯视图由个小正方形组成，所以俯视图的面积是； 三种视图面积相等． 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 48．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的形状画出对应几何体的左视图，进而求出对应几何体的左视图面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， A选项中左视图为，则左视图面积为， B选项中左视图为，则左视图面积为， C选项中左视图为，则左视图面积为， D选项中左视图为，则左视图面积为， ∵， ∴A选项中的左视图面积最小． 题型十七：由三视图，判断小立方体的个数 解题思路 ①以俯视图作为底座，每个方格代表一个摆放位置；②主视图限定每一列最大层数，左视图限定每一行最大层数；③在俯视图每个格子标注该位置实际方块数量；④把所有格子数字相加，得到小立方体总个数，不要凭空想象计数。 49．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下： 有（个）， 故选：B． 50．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图和左视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有________个． 【答案】7 【分析】根据俯视图和左视图来确定几何体的可能结构，从而找出小立方块最少的情况． 【详解】解：由俯视图知，最底层有4个小立方块； 由左视图知，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块， 搭成这个几何体的小立方块的最少有个． 51．一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱数量． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，上面一层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两个货箱，中间一列最多可以搬走两个货箱，故最多可以取走4箱货物 ． 题型十八：已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 解题思路 ①俯视图固定底层方块摆放位置；②主视图限定每一列最大高度，左视图限定每一行最大高度；③求最多数量：每个方格取行列条件允许的最大层数；④求最少数量：保证每一列、每一行都出现规定最大高度，其余位置方块层数尽量取最小；⑤直接在俯视图格子标注数字分析，禁止凭空猜想。 52．由若干个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、上面两个方向看到的形状如图所示，则这个积木的块数最少是（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：由图可得，第一层个，第二层最少个， ∴这个积木的块数最少是 ． 53．若干个相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看到的形状图如图所示，求满足条件的几何体中小立方块的个数：____ ． 【答案】5或6或7 【分析】根据题意，可得这个几何体有2层，上面看可得第一层小正方块的个数，由左面看可得第二层小正方块的个数，画出图形求解即可． 【详解】解：根据题意，这个几何体小正方块的分布情况如下： ∴满足条件的几何体中小立方块的个数为5或6或7． 54．如图所示的几何体由8个相同的小正方体组成，若拿走一些小正方体后，几何体的主视图和左视图都没有发生变化，则最多可拿走的小正方体的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：该几何体是2行（前后）×2列（左右）×2层（上下）的2×2×2结构，共8个相同小正方体，原几何体的主视图、左视图均为2×2的正方形（共4个小正方形）； 主视图不变：对任意(左右位置, 上下层数)，至少要保留1个小正方体（前后任意位置），才能保证主视图对应位置仍有正方形，共需要4个位置都存在方块； 左视图不变：对任意(前后位置, 上下层数)，至少要保留1个小正方体（左右任意位置），才能保证左视图对应位置仍有正方形，同样共需要4个位置都存在方块， 计算最多拿走数量： 我们最少只需要保留4个小正方体即可同时满足两个视图的要求（例如保留：前排左上、前排右下、后排左下、后排右上，对角分布，刚好满足所有位置要求）； 因此最多可拿走：个． 解答题 1．如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（三棱柱的底面是等腰三角形），下部是圆柱，画出它的三视图（按立体图尺寸）． 【答案】如图所示 【分析】分别从正面，左面，上面观察组合体得出平面图形即可． 【详解】略 2．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】（1）首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状； （2）根据形状求表面积即可． 【详解】（1）解：该几何体是一个三棱柱， （2）解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 3．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】如图所示 【分析】结合俯视图中小正方体的个数，分别从正面和左面观察组合体得出平面图形． 【详解】略 4．如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长； (2)左视图的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形面积公式、直三棱柱的三视图性质以及矩形面积公式，熟练掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，结合面积法求斜边上的高，并明确三视图与立体图形的尺寸对应关系是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理判断底面三角形为直角三角形，再通过面积法求出斜边上的高，该高即为主视图中线段的长． （2）确定左视图为矩形，其一边长为直三棱柱的高，另一边长为底面直角三角形斜边上的高，根据矩形面积公式计算左视图的面积． 【详解】（1）解：如图，俯视图中过点作边上的垂线，由题意可得，，，点为垂足， ，，， ， ，即， ， ， ， ∴； （2）解： 5．用大小相同的小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形上的字母或数字表示该位置上小正方体的个数，试回答下列问题（x，y，z均为非零整数）． (1)x，z各表示多少？ (2)y可能是多少？这个几何体最少由几个小正方体搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)或2，最少11个，最多12个 【分析】本题考查简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数． (1)由主视图和俯视图可知，俯视图中第1列第2行小正方体的个数为3，第3列第2行小正方体的个数为1，因此； (2)由题意可知俯视图中第2列第2行小正方体的个数最多为2，最少为1，加上其他小正方体的个数即可求出最多、最少需要几个小正方体． 【详解】（1）解：由俯视图和主视图的关系可得，； （2）解：由题意可知，或2， 最少由 (个)小正方体搭成； 最多由 (个)小正方体搭成． 6．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 7．焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为． 【分析】根据平行投影的性质可得，易得，令与的交点为H，则四边形和是矩形，设，证明得到，求出x值即可． 【详解】解：∵阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处， ∴，即； 如图，令与的交点为H，则四边形和是矩形， ∴ ∵， ，，． ∴ ， 设，则， ， ， ∵， ， ，即，解得：． 答：纪念碑的高度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $