专题08图形的位似精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦图形的位似这一核心知识点，作为具备位置特征的特殊相似变换，依托相似图形性质，系统梳理位似图形的定义（相似、对应顶点连线共点、对应边平行）、性质（继承相似性质、对应点距中心比等于位似比等）、尺规作图步骤及平面直角坐标系中的坐标变换规律，构建从相似过渡到精准作图与坐标应用的学习支架。 该资料特色在于融入核心素养培养，通过概念辨析（如相似与位似的区别）和8类易错点（如位似比颠倒、漏解反向坐标）发展推理意识，结合9类分层题型（含坐标系作图、求坐标）与解题思路强化几何直观。课中辅助教师系统授课，课后通过例题与拔高题帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题08图形的位似精讲学案 课堂核心立意 位似是具备位置特征的特殊相似变换，依托相似图形性质，掌握位似图形判定、尺规位似作图、平面直角坐标系位似坐标变化规律，实现图形放大、缩小的精准作图，解决坐标变换、图形缩放类基础题型。 位似图形定义核心要点 ①两个图形不仅相似，对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行或在同一直线上，即为位似图形，公共交点称作位似中心。 ②位似图形一定是相似图形，普通相似图形不满足顶点共线、边线平行条件，不属于位似图形。 位似图形核心性质 ①继承相似图形全部性质，对应角相等，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 ②位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 ③对应顶点连线全部经过位似中心，对应边保持平行或共线状态。 位似图形尺规作图步骤 ①确定位似中心，点位可在图形内部、外部、边上、顶点处。 ②连接位似中心与原图各个顶点，延伸得到射线。 ③根据给定位似比在射线上截取对应顶点，位似比大于1图形放大，小于1图形缩小。 ④顺次连接截取后的顶点，得到位似图形，位似中心两侧可作出两组位似图形。 平面直角坐标系位似坐标变换（重难点） ①以坐标原点为位似中心，位似比为k，原图顶点(x,y)，对应位似点坐标为(kx,ky)、(-kx,-ky)。 ②(kx,ky)为同侧位似图形，(-kx,-ky)为中心另一侧位似图形。 ③位似中心不是坐标原点时，不能直接对横纵坐标直接乘位似比，需要结合点位距离计算坐标。 位似中心判定方法 连接两组对应顶点得到两条直线，两条直线的交点就是位似中心，可直接用于识图找点。 1.判定位似图形只验证图形相似，忽略对应顶点连线交于一点、对应边平行两个必备条件，直接判定为位似图形，判断出错。 2.计算位似比颠倒原图与新图形顺序，放大、缩小比例计算完全相反。 3.原点位似坐标计算只写出(kx,ky)一组坐标，忽略(-kx,-ky)反向位似情况，解题出现漏解。 4.位似中心不在坐标原点，强行直接给顶点坐标乘以位似比，坐标换算出现根本性错误。 5.位似作图时，截取顶点未沿着位似中心与顶点的连线截取，作出的图形不符合位似要求。 6.套用面积性质时，直接使用位似比计算面积，忘记面积比等于位似比的平方，数值计算失误。 7.误认为位似中心只有在图形外部，忽略位似中心可以在图形内部、边上、顶点的多种情况，识图不全。 8.作图之后顶点随意连接，没有按照原图顶点顺序依次连线，图形结构变形。 题型 考察方向 难度 题型一 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型二 位似图形的识别 ★★ 题型三 判断位似中心 ★★ 题型四 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★★ 题型六 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型七 坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型八 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型九 在坐标系中画位似中心 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★常考；★★★中考高频 题型一： 位似图形相关概念辨析 解题思路：①位似图形一定相似，相似不一定位似；②对应点到位似中心距离之比等于位似比；③位似图形仅有1个位似中心；④结合要点判断命题对错。 1．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 2．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 3．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 题型二：位似图形的识别 解题思路：①先判断图形是否相似；②再看对应顶点连线交于同一点，对应边平行或共线；③两个条件同时满足才是位似图形。 5．下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 6．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 7．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 题型三：判断位似中心 解题思路：①选取两组对应顶点；②连线两组对应顶点得两条直线；③直线交点就是位似中心；④位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点处。 8．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 9．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（   ） A．位似中心是点B B．位似中心是点D C．相似比为 D．相似比为 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的位似中心是对应点连线的交点，相似比是对应边的长度比，通过连接对应点和计算对应边长度比来解题． 根据位似图形的性质，连接对应点找到位似中心，再通过对应边的长度比确定相似比． 【详解】解：首先，连接对应点与、与、与，它们的交点即为位似中心． 假设每个小正方形的边长为，可得，． ∴相似比为： A、位似中心不是点，不符合题意； B、位似中心不是点，不符合题意； C、相似比为，符合题意； D、相似比不是，不符合题意． 故选：C． 10．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 题型四：求两个位似图形的相似比 解题思路： ①利用一组对应边长度求比值；②也可利用对应点到位似中心距离之比求解； ③严格按照题干图形顺序计算比值，不要颠倒。 11．如图，与是位似图形，点是位似中心．若的周长为4，则的周长为_____________． 【答案】6 【分析】结合题意可得与的位似比为，则 与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：与的位似比为． 又的周长为的周长为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，然后得到，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ， ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 14．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 题型五：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 解题思路： ①确定位似中心；②连接中心与原图各顶点作射线；③按倍数在射线上截取对应顶点；④顺次连接截取点，中心两侧均可作图。 15．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解∵与位似，点O为位似中心，已知， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积是8． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 16．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 17．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的缩放变换，根据横纵坐标同乘正数的变换性质判断图形变化即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将图形上各点的横、纵坐标都乘，是对原图形进行以原点为位似中心，位似比为的位似变换， ∴所得图形与原图形相似，且对应线段的长度缩小为原来的， 故选：C． 题型六：求位似图形的对应坐标 解题思路： ①原点为位似中心、位似比k时，(x,y)对应(kx,ky)、(-kx,-ky)；②注意存在同侧、反向两组解；③位似中心非原点，不可直接乘k。 18．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标之比等于位似比，确定位似中心为原点，位似比为，且点对应点，利用坐标运算求解． 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 20．正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质及点、的坐标求出点的坐标，再根据位似变换的性质：以原点为位似中心，相似比为，且变换后的图形与原图形在位似中心同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以，计算即可 【详解】解：由图可知， ∴ ∵四边形是正方形 ∴，且轴 ∴点的坐标为 ∵以原点为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的 ∴位似比 ∴点的坐标为 ，即． 21．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 题型七：在坐标系中求两个位似图形的比值 解题思路： ①取对应点求线段长度得到相似比；②周长比等于位似比；③面积比等于位似比的平方。 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】先求出，根据题意可得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以原点为位似中心，作的位似，相似比为， ∴， ∴， ∴． 23．如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【分析】根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的位似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为． 24．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 25．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 题型八：在坐标系中画位似图形 解题思路： ①确定位似中心坐标；②求出变换后各个顶点坐标；③描出对应点；④按原图顺序依次连线得到图形，注意双向位似。 26．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 【答案】两；同 【详解】平面直角坐标系中位似图形的作法：位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心两侧；②位似图形在位似中心同侧． 27．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 【详解】解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． 28．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知，点C的坐标为(-2，3)， 以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2， 则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)， 故选：D． 【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键． 题型九：在坐标系中画位似中心 解题思路： ①找出两组对应顶点；②过两组对应顶点分别作直线；③读出两直线交点的坐标，交点即为位似中心。 29．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 30．如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A．， B．，2 C．， D．，2 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识．两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点， 点就是位似中心，坐标为， ． ． 故选：D． 31．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 32．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接交于，根据坐标系求出点的坐标，再根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接交于，则点为位似中心， 设的解析式为：，将，， 代入可得：，解得：， ∴的解析式为：， 当时， ∴点的坐标为， 则位似中心的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．还考查了待定系数法求一次函数解析式． 解答题 1．如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 【答案】(1)位似变换 (2) 【分析】本题考查的是位似变换的性质，解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律． （1）根据坐标系中，图形的位置即可解答； （2）先找一对对应点，观察所找对应点的变化规律，那么所求点也按照这个变化规律进行变化即可． 【详解】（1）解：“小鱼”与“大鱼”位置关系属于位似变换； （2）解：“小鱼”最大鱼翅的顶端坐标为，“大鱼”对应点坐标为； “小鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为． 2．如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 4．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作的图形． (2)解：如图所示，即为所求作的图形． (3)8 【分析】（1）根据旋转作图的步骤，逐步作图即可； （2）根据位似作图的步骤，逐步作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∴． 5．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08图形的位似精讲学案 课堂核心立意 位似是具备位置特征的特殊相似变换，依托相似图形性质，掌握位似图形判定、尺规位似作图、平面直角坐标系位似坐标变化规律，实现图形放大、缩小的精准作图，解决坐标变换、图形缩放类基础题型。 位似图形定义核心要点 ①两个图形不仅相似，对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行或在同一直线上，即为位似图形，公共交点称作位似中心。 ②位似图形一定是相似图形，普通相似图形不满足顶点共线、边线平行条件，不属于位似图形。 位似图形核心性质 ①继承相似图形全部性质，对应角相等，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 ②位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 ③对应顶点连线全部经过位似中心，对应边保持平行或共线状态。 位似图形尺规作图步骤 ①确定位似中心，点位可在图形内部、外部、边上、顶点处。 ②连接位似中心与原图各个顶点，延伸得到射线。 ③根据给定位似比在射线上截取对应顶点，位似比大于1图形放大，小于1图形缩小。 ④顺次连接截取后的顶点，得到位似图形，位似中心两侧可作出两组位似图形。 平面直角坐标系位似坐标变换（重难点） ①以坐标原点为位似中心，位似比为k，原图顶点(x,y)，对应位似点坐标为(kx,ky)、(-kx,-ky)。 ②(kx,ky)为同侧位似图形，(-kx,-ky)为中心另一侧位似图形。 ③位似中心不是坐标原点时，不能直接对横纵坐标直接乘位似比，需要结合点位距离计算坐标。 位似中心判定方法 连接两组对应顶点得到两条直线，两条直线的交点就是位似中心，可直接用于识图找点。 1.判定位似图形只验证图形相似，忽略对应顶点连线交于一点、对应边平行两个必备条件，直接判定为位似图形，判断出错。 2.计算位似比颠倒原图与新图形顺序，放大、缩小比例计算完全相反。 3.原点位似坐标计算只写出(kx,ky)一组坐标，忽略(-kx,-ky)反向位似情况，解题出现漏解。 4.位似中心不在坐标原点，强行直接给顶点坐标乘以位似比，坐标换算出现根本性错误。 5.位似作图时，截取顶点未沿着位似中心与顶点的连线截取，作出的图形不符合位似要求。 6.套用面积性质时，直接使用位似比计算面积，忘记面积比等于位似比的平方，数值计算失误。 7.误认为位似中心只有在图形外部，忽略位似中心可以在图形内部、边上、顶点的多种情况，识图不全。 8.作图之后顶点随意连接，没有按照原图顶点顺序依次连线，图形结构变形。 题型 考察方向 难度 题型一 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型二 位似图形的识别 ★★ 题型三 判断位似中心 ★★ 题型四 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型五 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★★ 题型六 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型七 坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型八 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型九 在坐标系中画位似中心 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★常考；★★★中考高频 题型一： 位似图形相关概念辨析 解题思路：①位似图形一定相似，相似不一定位似；②对应点到位似中心距离之比等于位似比；③位似图形仅有1个位似中心；④结合要点判断命题对错。 1．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 2．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 3．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型二：位似图形的识别 解题思路：①先判断图形是否相似；②再看对应顶点连线交于同一点，对应边平行或共线；③两个条件同时满足才是位似图形。 5．下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 7．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：判断位似中心 解题思路：①选取两组对应顶点；②连线两组对应顶点得两条直线；③直线交点就是位似中心；④位似中心可在图形内部、外部、边上、顶点处。 8．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    9．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（   ） A．位似中心是点B B．位似中心是点D C．相似比为 D．相似比为 10．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型四：求两个位似图形的相似比 解题思路： ①利用一组对应边长度求比值；②也可利用对应点到位似中心距离之比求解； ③严格按照题干图形顺序计算比值，不要颠倒。 11．如图，与是位似图形，点是位似中心．若的周长为4，则的周长为_____________． 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 14．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 题型五：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 解题思路： ①确定位似中心；②连接中心与原图各顶点作射线；③按倍数在射线上截取对应顶点；④顺次连接截取点，中心两侧均可作图。 15．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．8 C．6 D．18 16．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 17．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比（    ） A．完全没有变化 B．对应线段的长度扩大为原来的 2 倍 C．对应线段的长度缩小为原来的 D．关于纵轴成轴对称 题型六：求位似图形的对应坐标 解题思路： ①原点为位似中心、位似比k时，(x,y)对应(kx,ky)、(-kx,-ky)；②注意存在同侧、反向两组解；③位似中心非原点，不可直接乘k。 18．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 20．正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 21．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 题型七：在坐标系中求两个位似图形的比值 解题思路： ①取对应点求线段长度得到相似比；②周长比等于位似比；③面积比等于位似比的平方。 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，作的位似，相似比为，则线段的对应线段的长为_____． 23．如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 24．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 25．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 题型八：在坐标系中画位似图形 解题思路： ①确定位似中心坐标；②求出变换后各个顶点坐标；③描出对应点；④按原图顺序依次连线得到图形，注意双向位似。 26．平面直角坐标系中位似图形的作法： 位似图形与位似中心有两种情况∶①位似图形在位似中心 侧；②位似图形在位似中心 侧．若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解． 27．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    28．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型九：在坐标系中画位似中心 解题思路： ①找出两组对应顶点；②过两组对应顶点分别作直线；③读出两直线交点的坐标，交点即为位似中心。 29．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 30．如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A．， B．，2 C．， D．，2 31．如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 32．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似中心的坐标为__________． 解答题 1．如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 2．如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 4．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 5．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形，使它与下列矩形的相似比是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $