6.2用频率估计概率预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上学期

本讲义聚焦“用频率估计概率”核心知识点，通过抛掷试验理解频率稳定性，区分频率（试验结果、变化量）与概率（固有常数），掌握用大量重复试验频率估计概率的方法，为解决成活率、抽样估算等实际问题提供学习支架。 资料特色在于结合抛掷硬币试验及历史数学家数据培养数学眼光的抽象能力与几何直观（绘制频率折线图），通过对比频率与概率发展数学思维的推理意识，设计摸球估算、标记重捕等问题强化数学语言的数据意识与模型观念。课中辅助实验教学，课后分层练习助力学生查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册26 《第6章概率的进一步认识第2节用频率估计概率》预习讲义 一．学习目标 ( 1.经历抛掷试验，理解频率的稳定性；区分频率与概率的概念；掌握利用大量重复试验的频率估计随机事件概率的方法。 2.会记录试验数据、计算频率，能根据试验数据绘制频率 ‑ 试验次数折线统计图，能借助折线图分析频率变化趋势。 3.体会随机现象的特点，明白单次试验结果具有不确定性，大量试验后存在稳定规律；会利用频率估计概率解决生活实际问题（成活率、合格率、抽样估算数量）。 4.能根据频率稳定值估算概率，利用概率估算总体数量。 ) 二．重点难点 ( 1.重点：理解频率稳定性；掌握用大量重复试验的频率估计概率。 2.难点：区分频率和概率；理解试验次数较少时，频率波动大；试验次数足够大时，频率在固定常数附近摆动；不能用单次或少量试验的频率直接当作概率。 ) 三．知识梳理 （一）抛掷一枚硬币试验 抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，记录如下表： ( 试验次数 )根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率. 在上图中，画出表示频率为0.5的直线，你发现了什么？ 当试验次数较少时（前150次），频率点距离直线y=0.5波动较大；随着抛掷（试验）次数不断增加，“正面朝上”的频率逐渐在直线y=0.5附近摆动，摆动幅度越来越小，逐渐稳定在0.5左右。 下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数 “正面向上”次数 “正面向上”频率 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。因此抛掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率可估计为。 （二）频率与概率的关系 1.定义 （1）频率：在n次重复试验中，事件A发生m次，频率=。 频率是试验得到的数值，会随试验次数、试验结果改变，是变化量。 （2）概率：随机事件本身固有的、固定不变的常数，记作P(A)，刻画事件发生可能性大小。 2.二者联系（核心） （1）试验次数很少时，频率波动很大，和概率差距可大可小； （2）大量重复试验时，频率会在概率附近摆动，摆动幅度越来越小（频率的稳定性）； （3）当试验次数足够大时，可以用频率估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 3.二者区别 频率 概率 通过试验计算得出，是实际值 事件本身固有，是理论值 数值不稳定，试验改变，频率改变 数值固定，不会随试验变化 只能近似反映事件发生可能性 准确刻画事件发生可能性 4.频率与概率的关系 四．经典例题 例1.（2026·贵阳云岩区·一模）学习“用频率估计概率”后，兴趣小组模拟试验探究“5个人中有2个人同月过生日”的概率，试验次数不断增加，频率稳定在0.618附近，则估计该事件的概率为（ ） A.0.60  B.0.618  C.0.63  D.0.5 例2.（24-25·贵阳清镇市·期末）一个不透明口袋有红球、白球共10个，放回式摸球1000次，301次摸到红球，估计红球个数为（ ） A.2  B.3  C.4  D.5 例3.（2026·贵阳观山湖区·二模）下列关于频率与概率的说法正确的是（ ） A.试验次数越多，频率一定越来越靠近概率 B.频率就是概率 C.当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，趋于稳定 D.少量试验的频率也可以当作概率 例4.（2026·贵州中考改编）抛掷瓶盖试验，随着抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在0.55，则“盖口向下”的概率约为（ ） A.0.55  B.0.50  C.0.45  D.0.6 例5.（24-25·贵阳白云区·期末）树苗移植试验，移植数量不断增大，成活频率稳定在0.89，估计树苗成活概率为________。 例6.（2026·贵阳乌当区·三模）数学家皮尔逊抛掷硬币24000次，正面朝上12012次，频率为0.5005，据此估计抛掷一枚均匀硬币，正面朝上概率为________。 例7. 如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地频率随抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是________． 例8. 为了帮助残疾人，某地举办“即开型"福利彩票销售活动，规定每10万张为一组，其中有10名一等奖，100名二等奖．1 000名三等奖，5 000名爱心奖，小明买了10张彩票，则他中奖的概率为_____． 例9、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 例10．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（24-25·贵阳息烽县·期末）大量重复试验中，关于频率f和概率P，说法正确的是（ ） A.f的值固定不变 B.P会随着试验次数变化 C.试验次数很大时，f在P附近摆动 D.f一定等于P 2.（24-25·贵阳南明区·期末）重复摸球试验，摸到黄球频率稳定在0.3，则摸到黄球的概率约为（ ） A.0.3  B.0.7  C.0.4  D.0.5 3.（2026·贵阳云岩区·三模）袋中共有40个球，多次试验后摸到白球频率稳定在0.35，则白球大约有（ ） A.12  B.14  C.16  D.18 4.（24-25·贵阳乌当区·期末）抛掷一枚不均匀的骰子，大量试验后点数“6”朝上的频率稳定在0.18，则点数6朝上概率约为（ ） A.0.18  B.0.82  C.0.16  D.0.20 5.（2026·贵阳观山湖区·一模）小明投篮，投中概率经频率估计为0.4，下列说法正确的是（ ） A.投篮10次，一定投中4次 B.投篮1次，有可能投不中 C.投篮4次，必定投中1次 D.投篮次数越多，投中频率一定变大 6.（2425·贵阳白云区·期末）在利用标记重捕法估算种群数量时，用到的数学思想是（ ） A.列举法求概率 B.用频率估计概率，样本估计总体 C.公式法直接计算概率 D.树状图法求概率 7.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 8、在一个不透明的口袋里，装了只有颜色不同的黄球、白球若干只．某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到黄球的概率约是（　　） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黄球的次数m 52 69 96 266 393 507 摸到黄球的频率 m/n 0.52 0.46 0.48 0.532 0.491 0.507 A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7 （二）填空题 9.（24-25·贵阳修文县·期末）某批柑橘做发芽试验，发芽频率稳定在0.92，这批柑橘发芽概率约为________。 10.（2026·贵阳清镇市·一模）不透明盒子中共有25个球，多次摸球试验，摸到黑球频率稳定在0.4，黑球数量约为________。 11.（24-25·贵阳开阳县·期中）抛掷一枚图钉，大量试验后，钉尖着地频率稳定在0.62，则钉尖朝上概率为________。 12.（2026·贵阳息烽县·二模）长方形面积为20m2，随机投点，落在不规则阴影区域频率稳定在0.35，则阴影面积=________m2。 13.（24-25·贵阳南明区·期末）某射击运动员射击，射中10环频率稳定在0.15，则他射击一次，射中10环概率约为________。 14.（2026·贵阳乌当区·三模）池塘中先捕捞150条鱼做标记，放回；再次捕捞120条，其中有15条带标记，估计池塘鱼总数为________。 15、在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球________个． 16、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为________（精确到0.1）． 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 （三）解答题 17.某人承包了一池塘养鱼,他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼,把每条鱼都作上标记,放回鱼塘;过了2天,他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼,结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤,平均每条鱼估计2.3斤,你能帮助他估计一下今年的收入情况吗? 18.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，求你摸到白球的概率P； （3）如果不放回的连续摸两个球，求都摸到白球的概率．（要求画树状图） N摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 M摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 m/n摸到白球的概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 19.如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. （1）④事件发生的可能性大小是； （2）多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； （3）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为_________________. 20．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 六．巩固训练 （一）选择题 1、某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 2.（2026·贵阳观山湖区·二模）下列判断错误的是（ ） A.频率可以用来估计概率 B.概率是事件本身固有的常数，不随试验变化 C.10次试验的频率，一定可以当作概率 D.试验次数越少，频率波动幅度越大 3.（24-25·贵阳清镇市·期末）袋内红球、白球共60个，多次放回摸球，摸到红球频率稳定在0.25，则白球数量约为（ ） A.15  B.30  C.45  D.50 4.分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分概率最小的是(    ) A. B. C. D. 5.（2026·贵州中考·改编）某款种子发芽试验，随着试验批次增大，发芽频率稳定在0.97，若播种2000粒，未发芽的大约有（ ） A.60  B.50  C.40  D.30 6.（24-25·贵阳息烽县·期末）用标记重捕法估算一片池塘鲫鱼数量，第一次捕获300条标记后放回；第二次捕获200条，其中20条带有标记，则鲫鱼总数约为（ ） A.2800  B.3000  C.3200  D.3400 7.（2026·贵阳乌当区·一模）关于频率与概率的关系，下列叙述正确的是（ ） ①概率是固定值；②频率随试验结果改变；③试验次数足够大时，频率稳定于概率；④频率等于概率 A.①②③  B.①②④  C.①③④  D.②③④ 8.（24-25·贵阳开阳县·期末）一个转盘分为红色和白色两个区域，转动转盘多次，指针落在红色区域的频率稳定在0.35，则白色区域占转盘面积的百分比约为（ ） A.35%  B.65%  C.50%  D.70%【答案】：B 【解析】：白色区域概率=1-0.35=0.65=65%。 9.某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果.下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0.904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率是0.875.其中合理的是（  ） A. ①③ B. ②③ C.①  D.② 10.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格， 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花 B.抛一枚硬币，出现反面的概率 C.袋子里有除了颜色都一样3个红球，2个白球,随机摸一个球是白球的概率 D.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数大于4 （二）填空题 11.（2026·贵阳云岩区·二模）某运动员罚球投篮，大量试验后，进球频率稳定在0.72，则他罚球进球概率约为________。 12.（24-25·贵阳南明区·期末）不透明袋子中装有若干白球和15个黑球，经过大量摸球试验，摸到白球频率稳定在0.7，则白球个数为________。 13.（2026·贵阳观山湖区·三模）抛掷啤酒瓶盖，大量试验后，盖口朝下频率稳定在0.58，则盖口朝上概率为________。 14.（24-25·贵阳修文县·期中）一个菱形面积为48cm2，随机投点，落在内部阴影区域的频率稳定在0.45，则阴影面积为________cm2。 15.（2026·贵阳清镇市·一模）一批零件进行质检，次品频率稳定在0.04，现加工1500件零件，次品大约有________件。 16.（24-25·贵阳白云区·期末）在生日试验中，40名学生做试验，多次模拟后，“至少两人同一天生日”的频率稳定在0.91，估计40名学生中至少两人同一天生日的概率为________。 17.（2026·贵阳息烽县·二模）鱼塘中鲤鱼的捕捞频率稳定在0.32，鱼塘共有鱼2500条，则鲤鱼大约有________条。 18.（24-25·贵阳乌当区·期末）抛掷一枚均匀骰子，大量试验后，点数大于4的频率稳定在，则点数大于4的概率为________。 19.如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，连接DE，OF，BF.将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖在阴影部分的概率为________． 20.有两个正方体的积木，如图所示： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 上面是淘气掷 200次积木的情况统计表： 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是________号积木， （三）解答题 21.（2025·扬州仪征期末）（简答）不透明袋子有2红、3白、4黑球。 （1）求摸到白球的概率； （2）取出1个黑球后，随机摸1个，求摸到红球的概率。 22．求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 23、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 24．（2025春•陕西期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）计算：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 25．（2025春•项城市期末）在一个不透明的口袋里装有m个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数s 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数n 65 111 a 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 b 0.70 （1）按表格数据格式，表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1） （3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量m的值． 26．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册26 《第6章概率的进一步认识第2节用频率估计概率》预习讲义 一．学习目标 ( 1.经历抛掷试验，理解频率的稳定性；区分频率与概率的概念；掌握利用大量重复试验的频率估计随机事件概率的方法。 2.会记录试验数据、计算频率，能根据试验数据绘制频率 ‑ 试验次数折线统计图，能借助折线图分析频率变化趋势。 3.体会随机现象的特点，明白单次试验结果具有不确定性，大量试验后存在稳定规律；会利用频率估计概率解决生活实际问题（成活率、合格率、抽样估算数量）。 4.能根据频率稳定值估算概率，利用概率估算总体数量。 ) 二．重点难点 ( 1.重点：理解频率稳定性；掌握用大量重复试验的频率估计概率。 2.难点：区分频率和概率；理解试验次数较少时，频率波动大；试验次数足够大时，频率在固定常数附近摆动；不能用单次或少量试验的频率直接当作概率。 ) 三．知识梳理 （一）抛掷一枚硬币试验 抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，记录如下表： ( 试验次数 )根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率. 在上图中，画出表示频率为0.5的直线，你发现了什么？ 当试验次数较少时（前150次），频率点距离直线y=0.5波动较大；随着抛掷（试验）次数不断增加，“正面朝上”的频率逐渐在直线y=0.5附近摆动，摆动幅度越来越小，逐渐稳定在0.5左右。 下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数 “正面向上”次数 “正面向上”频率 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。因此抛掷一枚均匀硬币，正面朝上的概率可估计为。 （二）频率与概率的关系 1.定义 （1）频率：在n次重复试验中，事件A发生m次，频率=。 频率是试验得到的数值，会随试验次数、试验结果改变，是变化量。 （2）概率：随机事件本身固有的、固定不变的常数，记作P(A)，刻画事件发生可能性大小。 2.二者联系（核心） （1）试验次数很少时，频率波动很大，和概率差距可大可小； （2）大量重复试验时，频率会在概率附近摆动，摆动幅度越来越小（频率的稳定性）； （3）当试验次数足够大时，可以用频率估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 3.二者区别 频率 概率 通过试验计算得出，是实际值 事件本身固有，是理论值 数值不稳定，试验改变，频率改变 数值固定，不会随试验变化 只能近似反映事件发生可能性 准确刻画事件发生可能性 4.频率与概率的关系 四．经典例题 例1.（2026·贵阳云岩区·一模）学习“用频率估计概率”后，兴趣小组模拟试验探究“5个人中有2个人同月过生日”的概率，试验次数不断增加，频率稳定在0.618附近，则估计该事件的概率为（ ） A.0.60  B.0.618  C.0.63  D.0.5 【答案】：B 【解析】：根据频率稳定性定理，大量重复试验后，频率稳定值可近似当作事件发生的概率，本题频率稳定在0.618，所以概率约为0.618。 例2.（24-25·贵阳清镇市·期末）一个不透明口袋有红球、白球共10个，放回式摸球1000次，301次摸到红球，估计红球个数为（ ） A.2  B.3  C.4  D.5 【答案】：B 【解析】：摸到红球频率≈=0.301，红球数量≈10×0.301≈3。 例3.（2026·贵阳观山湖区·二模）下列关于频率与概率的说法正确的是（ ） A.试验次数越多，频率一定越来越靠近概率 B.频率就是概率 C.当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，趋于稳定 D.少量试验的频率也可以当作概率 【答案】：C 【解析】：试验次数增大时，频率摆动幅度变小，但不一定每一次都更靠近概率；频率是试验值，概率为固定理论值，只有大量试验后的频率才可估计概率，A、B、D错误。 例4.（2026·贵州中考改编）抛掷瓶盖试验，随着抛掷次数增加，“盖口向上”的频率稳定在0.55，则“盖口向下”的概率约为（ ） A.0.55  B.0.50  C.0.45  D.0.6 【答案】：C 【解析】：盖口向上、向下为对立事件，概率之和为1；P(盖口向下)=1-0.55=0.45。 例5.（24-25·贵阳白云区·期末）树苗移植试验，移植数量不断增大，成活频率稳定在0.89，估计树苗成活概率为________。 【答案】：0.89 【解析】：大量重复试验，频率稳定值即为概率的近似值。 例6.（2026·贵阳乌当区·三模）数学家皮尔逊抛掷硬币24000次，正面朝上12012次，频率为0.5005，据此估计抛掷一枚均匀硬币，正面朝上概率为________。 【答案】：0.5 【解析】：频率0.5005稳定在0.5附近，硬币正面朝上理论概率为0.5。 例7. 如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地频率随抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是________． 【答案】46.0％ 【解析】随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在46.0％，所以一枚图钉被抛起后钉尖触地的概率估计值是46.0％.故答案为46.0％. 例8. 为了帮助残疾人，某地举办“即开型"福利彩票销售活动，规定每10万张为一组，其中有10名一等奖，100名二等奖．1 000名三等奖，5 000名爱心奖，小明买了10张彩票，则他中奖的概率为_____． 【答案】0.611 【解析】买一张中奖的概率为：P==0.0611，则买10张中奖的概率为0.0611×10=0.611.故答案为0.611. 例9、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 解：（1）“1点朝上”的频率为：16÷100=0.16； “6点朝上”的频率为13÷100=0.13； （2）小亮的判断依据是：（次），依据是错误的； 因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近； 所以小亮的判断是错误的． （3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种情况， ∴P（朝上的点数大于或等于4）=． 例10．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 解：（1），故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近，故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个），故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个），此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为．故答案为：． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（24-25·贵阳息烽县·期末）大量重复试验中，关于频率f和概率P，说法正确的是（ ） A.f的值固定不变 B.P会随着试验次数变化 C.试验次数很大时，f在P附近摆动 D.f一定等于P 【答案】：C 【解析】：频率f随试验改变；概率P是固定常数；试验次数很大时，频率在概率附近摆动。 2.（24-25·贵阳南明区·期末）重复摸球试验，摸到黄球频率稳定在0.3，则摸到黄球的概率约为（ ） A.0.3  B.0.7  C.0.4  D.0.5 【答案】：A 【解析】：频率稳定值即为事件概率近似值。 3.（2026·贵阳云岩区·三模）袋中共有40个球，多次试验后摸到白球频率稳定在0.35，则白球大约有（ ） A.12  B.14  C.16  D.18 【答案】：B 【解析】：白球数量=40×0.35=14。 4.（24-25·贵阳乌当区·期末）抛掷一枚不均匀的骰子，大量试验后点数“6”朝上的频率稳定在0.18，则点数6朝上概率约为（ ） A.0.18  B.0.82  C.0.16  D.0.20 【答案】：A 【解析】：无论试验工具是否均匀，都可通过稳定频率估计概率。 5.（2026·贵阳观山湖区·一模）小明投篮，投中概率经频率估计为0.4，下列说法正确的是（ ） A.投篮10次，一定投中4次 B.投篮1次，有可能投不中 C.投篮4次，必定投中1次 D.投篮次数越多，投中频率一定变大 【答案】：B 【解析】：概率仅代表可能性，单次试验结果不确定；投篮1次，投中、投不中都有可能。 6.（2425·贵阳白云区·期末）在利用标记重捕法估算种群数量时，用到的数学思想是（ ） A.列举法求概率 B.用频率估计概率，样本估计总体 C.公式法直接计算概率 D.树状图法求概率 【答案】：B 【解析】：利用样本中标记个体的频率，估计总体中标记个体概率，估算总体数量。 7.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，∴总面积为，阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为，故选：B． 8、在一个不透明的口袋里，装了只有颜色不同的黄球、白球若干只．某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到黄球的概率约是（　　） 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黄球的次数m 52 69 96 266 393 507 摸到黄球的频率 m/n 0.52 0.46 0.48 0.532 0.491 0.507 A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7 【答案】B 【解析】观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在0.5左右，则P黄球=0.5．故选：B （二）填空题 9.（24-25·贵阳修文县·期末）某批柑橘做发芽试验，发芽频率稳定在0.92，这批柑橘发芽概率约为________。 【答案】：0.92 【解析】：频率稳定值近似等于概率。 10.（2026·贵阳清镇市·一模）不透明盒子中共有25个球，多次摸球试验，摸到黑球频率稳定在0.4，黑球数量约为________。 【答案】：10 【解析】：25×0.4=10。 11.（24-25·贵阳开阳县·期中）抛掷一枚图钉，大量试验后，钉尖着地频率稳定在0.62，则钉尖朝上概率为________。 【答案】：0.38 【解析】：对立事件概率之和为1；1-0.62=0.38。 12.（2026·贵阳息烽县·二模）长方形面积为20m2，随机投点，落在不规则阴影区域频率稳定在0.35，则阴影面积=________m2。 【答案】：7 【解析】：20×0.35=7。 13.（24-25·贵阳南明区·期末）某射击运动员射击，射中10环频率稳定在0.15，则他射击一次，射中10环概率约为________。 【答案】：0.15 【解析】：根据频率稳定性直接求解。 14.（2026·贵阳乌当区·三模）池塘中先捕捞150条鱼做标记，放回；再次捕捞120条，其中有15条带标记，估计池塘鱼总数为________。 【答案】：1200 【解析】：标记鱼频率==0.125；总鱼数=150÷0.125=1200。 15、在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球________个． 【答案】16 【解析】∵共试验50次，其中有10次摸到黑球， ∴白球所占的比例为 = ， 设盒子中共有白球x个，则 =，解得：x=16．故答案为：16． 16、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为________（精确到0.1）． 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 【答案】0.5 【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796， 故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．故答案为：0.5． （三）解答题 17.某人承包了一池塘养鱼,他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼,把每条鱼都作上标记,放回鱼塘;过了2天,他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼,结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤,平均每条鱼估计2.3斤,你能帮助他估计一下今年的收入情况吗? 解：设池塘中共有鱼x条，则=，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元. 18.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，求你摸到白球的概率P； （3）如果不放回的连续摸两个球，求都摸到白球的概率．（要求画树状图） N摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 M摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 m/n摸到白球的概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 解：（1）0.6 （2）∵摸到白球的频率为0.6， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6 （3） 根据题意画图如下：， 共有20种情况，都摸到白球有6种情况，则都摸到白球的概率是= 19.如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. （1）④事件发生的可能性大小是； （2）多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； （3）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为_________________. 解：（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴④指针不指向黄色的可能性大小为= 则④事件发生的可能性大小是 （2）∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴②指针指向绿色的概率为 ，则多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 （3）∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴①指针指向红色的概率为= ，③指针指向黄色的概率为= ，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②＜③＜①＜④. 20．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 解：（1）根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是；故答案为：0.25 （3）列表如下． 第二次第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 六．巩固训练 （一）选择题 1、某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（   ） A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【答案】D 【解析】A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是=；故B选项错误；C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故C选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ≈0.17，故D选项正确．故选：D． 2.（2026·贵阳观山湖区·二模）下列判断错误的是（ ） A.频率可以用来估计概率 B.概率是事件本身固有的常数，不随试验变化 C.10次试验的频率，一定可以当作概率 D.试验次数越少，频率波动幅度越大 【答案】：C 【解析】：只有大量重复试验后的频率才可以用来估计概率，仅10次试验，频率波动大，不能当作概率。 3.（24-25·贵阳清镇市·期末）袋内红球、白球共60个，多次放回摸球，摸到红球频率稳定在0.25，则白球数量约为（ ） A.15  B.30  C.45  D.50 【答案】：C 【解析】：红球数量：60×0.25=15；白球数量：60-15=45。 4.分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分概率最小的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】A选项中阴影部分面积占比最小，故概率最小，故选A． 5.（2026·贵州中考·改编）某款种子发芽试验，随着试验批次增大，发芽频率稳定在0.97，若播种2000粒，未发芽的大约有（ ） A.60  B.50  C.40  D.30 【答案】：A 【解析】：未发芽概率=1-0.97=0.03；未发芽数量=2000×0.03=60。 6.（24-25·贵阳息烽县·期末）用标记重捕法估算一片池塘鲫鱼数量，第一次捕获300条标记后放回；第二次捕获200条，其中20条带有标记，则鲫鱼总数约为（ ） A.2800  B.3000  C.3200  D.3400 【答案】：B 【解析】：标记鱼频率==0.1；总数量=300÷0.1=3000。 7.（2026·贵阳乌当区·一模）关于频率与概率的关系，下列叙述正确的是（ ） ①概率是固定值；②频率随试验结果改变；③试验次数足够大时，频率稳定于概率；④频率等于概率 A.①②③  B.①②④  C.①③④  D.②③④ 【答案】：A 【解析】：频率只是概率的近似值，不一定等于概率，④错误。 8.（24-25·贵阳开阳县·期末）一个转盘分为红色和白色两个区域，转动转盘多次，指针落在红色区域的频率稳定在0.35，则白色区域占转盘面积的百分比约为（ ） A.35%  B.65%  C.50%  D.70% 【答案】：B 【解析】：白色区域概率=1-0.35=0.65=65%。 9.某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果.下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0.904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率是0.875.其中合理的是（  ） A. ①③ B. ②③ C.①  D.② 【答案】D 【解析】①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以此时“移植成活”的频率是0.904，但概率不一定是0.904，故①错误， ②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880，故②正确，③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率也不一定是0.875，因为某一次或几次的频率太高或太低会影响估计概率，概率是一件事情发生的可能性，故③错误.故答案为：D. 10.某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格， 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花 B.抛一枚硬币，出现反面的概率 C.袋子里有除了颜色都一样3个红球，2个白球,随机摸一个球是白球的概率 D.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数大于4 【答案】D 【解析】A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意；C、袋子里有除了颜色都一样3个红球，2个白球，随机摸一个球是白球的概率是，不符合题意；D、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数大于4的概率是，符合题意，故答案为：D． （二）填空题 11.（2026·贵阳云岩区·二模）某运动员罚球投篮，大量试验后，进球频率稳定在0.72，则他罚球进球概率约为________。 【答案】：0.72 【解析】：频率稳定值近似等于概率。 12.（24-25·贵阳南明区·期末）不透明袋子中装有若干白球和15个黑球，经过大量摸球试验，摸到白球频率稳定在0.7，则白球个数为________。 【答案】：35 【解析】：黑球频率=1-0.7=0.3；总球数=15÷0.3=50；白球=50-15=35。 13.（2026·贵阳观山湖区·三模）抛掷啤酒瓶盖，大量试验后，盖口朝下频率稳定在0.58，则盖口朝上概率为________。 【答案】：0.42 【解析】：对立事件概率之和为1，1-0.58=0.42。 14.（24-25·贵阳修文县·期中）一个菱形面积为48cm2，随机投点，落在内部阴影区域的频率稳定在0.45，则阴影面积为________cm2。 【答案】：21.6 【解析】：48×0.45=21.6。 15.（2026·贵阳清镇市·一模）一批零件进行质检，次品频率稳定在0.04，现加工1500件零件，次品大约有________件。 【答案】：60 【解析】：1500×0.04=60。 16.（24-25·贵阳白云区·期末）在生日试验中，40名学生做试验，多次模拟后，“至少两人同一天生日”的频率稳定在0.91，估计40名学生中至少两人同一天生日的概率为________。 【答案】：0.91 【解析】：利用频率稳定性定理直接求解。 17.（2026·贵阳息烽县·二模）鱼塘中鲤鱼的捕捞频率稳定在0.32，鱼塘共有鱼2500条，则鲤鱼大约有________条。 【答案】：800 【解析】：2500×0.32=800。 18.（24-25·贵阳乌当区·期末）抛掷一枚均匀骰子，大量试验后，点数大于4的频率稳定在，则点数大于4的概率为________。 【答案】： 【解析】：频率稳定值即为概率。 19.如图，在平行四边形纸板ABCD中，点E，F，O分别为AB，CD，BD的中点，连接DE，OF，BF.将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖在阴影部分的概率为________． 【答案】　 【解析】∵E为AB的中点，∴S△BED＝S△ABD.∵F为CD的中点，∴S△BFD＝S△CBD.∵O为BD的中点，∴S△BOF＝S△BFD＝S△CBD.∵S△ABD＝S△CBD＝S▱ABCD，∴S阴影＝S△BED＋S△BOF＝S▱ABCD＋S▱ABCD＝S▱ABCD，∴飞镖落在阴影部分的概率为. 20.有两个正方体的积木，如图所示： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 上面是淘气掷 200次积木的情况统计表： 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是________号积木， 【答案】②； 【解析】①号积木为三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都为＝50%，②号积木为一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性为≈16.7%，是白色的可能性为≈83.3%，由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为＝16%，白色的频率为＝84%，故他选择的是②号积木． （三）解答题 21.（2025·扬州仪征期末）（简答）不透明袋子有2红、3白、4黑球。 （1）求摸到白球的概率； （2）取出1个黑球后，随机摸1个，求摸到红球的概率。 解：（1）P(白球)==。 （2）总球数8，红球2个，P= 22．求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 解：（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 23、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 解：（1）“1点朝上”的频率为：16÷100=0.16； “6点朝上”的频率为13÷100=0.13； （2）小亮的判断依据是：（次），依据是错误的； 因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近； 所以小亮的判断是错误的． （3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种情况， ∴P（朝上的点数大于或等于4）=． 24．（2025春•陕西期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）计算：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 解：（1）∵a==0.94，b＝1000×0.95＝950，故答案为0.94，950； （2）∵随着n增大，优秀频率稳定在0.95附近，∴估计该市学生作业优秀的概率大约是0.95． 25．（2025春•项城市期末）在一个不透明的口袋里装有m个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数s 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数n 65 111 a 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 b 0.70 （1）按表格数据格式，表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1） （3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量m的值． 解：（1）a＝200×0.68＝136，b==0.71，故答案为：136，0.71； （2）将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.7．故答案为：0.7； （3）摸到白球的概率为0.7，因此球的总个数为：14÷0.7＝20（个），红球个数为：20﹣14＝6（个）．即红球数量m的值为6． 26．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 解：（1），； 补充完整表格如下： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 （2）折线统计图如下： 由图知，摸出白球的概率估计值是；故答案为：． （3）由（2）知，摸出白球的概率估计值是，则袋中200个球，白球可能为：（个）故答案为：66． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $