精品解析：山西省大同市平城区2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题

山西省大同市平城区2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则男生应抽取的人数是（ ） A. 22 B. 18 C. 16 D. 14 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（ ） A. 20排 B. 21排 C. 22排 D. 23排 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角对边分别为，若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若等比数列，且（为常数），则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. 在定义域上没有最值 C. 若有三个零点，且有两个极值点，则成等差数列 D. 若有三个零点，且有两个极值点，则成等比数列 11. 我们把双曲线过焦点弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（ ） A. 的离心率 B. 线段AB长度的最小值是 C. 一定是线段AB的中点 D. 的面积是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量满足，则与的夹角大小为__________. 13. 若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 14. 在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 16. 已知抛物线仅经过中的一点. （1）求的方程； （2）过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 17. 如图，四棱锥中，，，且. （1）求证：； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若关于的方程有唯一实数根，求实数的值； （2）若当时，关于不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小明答4道题后积分小于5的概率. （2）设小明答5道题后积分为，求. （3）若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则. （i）证明：为等比数列； （ii）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省大同市平城区2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高三年级有1200名学生，其中男生有660人，现按男女生人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则男生应抽取的人数是（ ） A. 22 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用分层抽样等比例性质即可求解. 【详解】依题意，男生应抽取的人数是人. 故选：A 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法，结合复数概念求解判断. 【详解】复数，所以所求虚部为. 故选：D 3. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的交集运算的结果，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得，解得， 由，得且，解得且且且， 即且且且， 由，得，因此，即，则或（舍去）， 所以实数的值为. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. 【详解】由，得. 故选：A 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由，解得， 由，解得，因，所以， 所以原不等式组的解集为， 故选：C 6. 某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（ ） A. 20排 B. 21排 C. 22排 D. 23排 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案. 【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等面积法可得，结合可得，继而利用比例的性质可得，即得答案. 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得， 所以， 对于有， 故，即的离心率为. 故选：A 8. 在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且（为常数），则 【答案】CD 【解析】 【分析】求出判断A；求出通项公式进而判断B；利用等差数列性质判断C；找出通项公式，结合等比数列意义判断D. 【详解】对于A，，， 数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，，满足上式，因此，当时， 数列不是等比数列，B错误； 对于C，是等差数列，，C正确； 对于D，当时，，， 由是等比数列，得，因此，，D正确. 故选：CD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个单调区间 B. 在定义域上没有最值 C. 若有三个零点，且有两个极值点，则成等差数列 D. 若有三个零点，且有两个极值点，则成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，再求出单调区间及极值判断AB；求出的值判断CD. 【详解】函数定义域为，求导得 对于A，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增，A正确； 对于B，由选项A知，在处取得极大值， 在处取得极小值，而， ，因此在上没有最值，B正确； 对于CD，，由选项AB，得， ，，不成等差数列，成等比数列，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系xOy中，双曲线，且为常数）的左、右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两渐近线于点，则（ ） A. 的离心率 B. 线段AB长度的最小值是 C. 一定是线段AB中点 D. 的面积是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD. 【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得， 由双曲线的通径为，得，解得，双曲线， 对于A，，因此的离心率，故A正确； 对于B，设，不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）， 由得，所以， 则在点处的切线斜率为， 所以在点处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为，该方程具有一般性， 设是切线与渐近线在第一象限的交点，是切线与渐近线在第四象限的交点，双曲线的渐近线方程为， 由，解得，所以点， 同理可得， 则， 又因为，所以，即，故B错误； 对于C，由B知，， 所以是线段AB的中点，故C正确； 对于D，如图，设交轴于点，因为在点处的切线方程为， 令，得，所以点， 则，是定值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量满足，则与的夹角大小为__________. 【答案】 【解析】 分析】由可得，利用平面向量数量积求解夹角即可. 【详解】因为，所以， 得，且，所以， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 故答案为：. 13. 若函数的两个极值点均为正数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将的两个极值点均为正数转化为有两个正根，由一元二次方程根的分布可求得结果. 【详解】由，则， 由的两个极值点均为正数，得有两个正根，显然， 故需满足，解得. 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法确定二面角的平面角，再利用直角三角形边角关系求出目标值. 【详解】在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得， 在平面内过作于，连接FG，由平面，平面,得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又平面，则平面， 平面,故, 故二面角的平面角，即，依题意，，又，， 因此，所以. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，，结合辅助角公式对函数进行化简，再根据正弦函数的图象和性质得出的对称轴方程； （2）求出在内的值域，结合题给方程求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为的对称轴为， 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 当时，，当，即时，取最大值1， 当，即时，取最小值，则， 因为，使得成立，则有解， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 16. 已知抛物线仅经过中的一点. （1）求的方程； （2）过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【小问1详解】 抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点. 17. 如图，在四棱锥中，，，且. （1）求证：； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用直角梯形特征证得，再利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的判定，结合定义法求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 在直角梯形中，，，连接， ，， 则，，而，平面， 因此平面，又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 则，，又，平面， 因此平面，而平面，则，作交于，连接， 则，而平面，于是平面， 又平面，则，是平面与平面所成的角， ，又，则， 所以平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若关于的方程有唯一实数根，求实数的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，借助图象求出值. （2）等价变形恒成立的不等式，构造函数，再利用导数分类探讨求出的的范围. 【小问1详解】 由，得，令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减，， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 且当时，，当时，且， 作出的大致图象如图： 又，且有唯一的实数根，所以. 【小问2详解】 依题意，不等式在时恒成立， 设，求导得， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增，则，不满足条件； 当时，令，则， 当，即时，，则当时，， 函数在上单调递减，因此，满足条件； 当，即时，由，得， 当时，，则，在上单调递增， 当时，有，不满足条件， 所以实数的取值范围为. 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予5分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分.已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小明答4道题后积分小于5的概率. （2）设小明答5道题后积分为，求. （3）若小明一直答题，直到积分为0或10时停止，记小明的积分为时最终积分为10的概率为，则. （i）证明：为等比数列； （ii）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分小明4题都答错，或答对1题，答错3题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小明答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）（i）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明； （ii）根据（i）的结果并结合累加法和等比数列求和即可得到答案. 【小问1详解】 小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题， 故所求概率为． 【小问2详解】 设小明答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． 【小问3详解】 （i）当小明的积分为时，若小明接下来一题答对， 则积分变为，若小明接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有． 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $