26.4 二次函数与实际问题3 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与抛物线形实物及运动轨迹问题，通过温故知新回顾二次函数顶点式和一般式性质、建立函数关系的常用方法及求最大利润步骤，为新知识学习搭建衔接支架。 其亮点在于以投掷实心球、拱形隧道等实际情境为载体，通过不同坐标系建立方法（如例2两种建系方式）培养学生推理能力与模型意识，课堂小结提炼解题步骤，助力学生提升数学建模与转化能力，教师可借助系统例题与方法指导优化教学。

第26章 二次函数 26.4二次函数与实际问题 第3课时 抛物线形实物与运动轨迹问题 学习目标： 1.能够根据实际情境建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式。 2.利用二次函数解析式，解决拱桥、投掷、喷水等实物模型问题。 3.学会合理建系简化计算，提升数学建模与转化能力。 教学重点：建立适当坐标系，求抛物线解析式，解决实际问题。 教学难点：结合实物情境，选择合适原点建立坐标系。 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质 温故知新 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 温故知新 温故知新 在几何图形问题中建立二次函数关系的常用方法： (1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系； (2)勾股定理法：利用勾股定理建立函数关系； (3)和差法：利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系 . 在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： （1）列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式、画出函数简图或配方法求出二次函数的最大值. 需要注意的是：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值. 温故知新 例1.掷实心球是初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目，一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系如图26.4-2 所示，已知该男生掷球时的起点高度是2 m，当水平距离为 5 m时，实心球行进至最高点4 m处. 例题讲评 (1)求y关于x的函数解析式； (2)投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4 m，则此项考试得分为满分.按此评分标准，该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由. (1)求y关于x的函数解析式； 例题讲评 (2)投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于12.4 m，则此项考试得分为满分.按此评分标准，该男生在此项考试中能否得满分？请说明理由. 例题讲评 例2.如图一拱形隧道的轮廓是抛物线形，拱高6m，跨度为 20 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在 抛物线的解析式 . 例题讲评 (2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽 2 m，高3 m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由 . (1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式 . 例题讲评 已知抛物线与x轴的 两个交点，可设交点式 建立的平面直角坐标系不同，解析式也不同，但实际问题的结果不变 (1)建立适当的平面直角坐标系，求拱形隧道所在抛物线的解析式 . 例题讲评 (2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽 2 m，高3 m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由 . 例题讲评 建立的平面直角坐标系不同，解析式也不同，但实际问题的结果不变 (2)拱形隧道下地平面是双向行车道(正中间是一条宽为2 m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶三辆宽 2 m，高3 m 的汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由 . 例题讲评 方法二： 判断汽车能否并排或货车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法： （1）固定汽车(货车) 的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小)； （2）固定高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小) . 方法小结 1.如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m， 若水位上升3 m， 水面就会达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m. (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； 同步练习 (2)若点O的正前方4 m(OC=4 m)处有一个截面为矩形的球筐(矩形CDEF)，其中CD为2 m，DE 为1 m，要使小球落入筐(小球落在点E或点F均视为入筐)中，求b的取值范围. (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； 同步练习 (1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式； 同步练习 2.某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的 . 每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流 均呈抛物线形 . 当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水 . 如图 26.4-10，点 A 和点 B 是一个柱形喷泉装置 OB 上的两个喷头， A 喷头喷出的水流的落地点为 C. 以 O为原点，以 OC 所在直线为 x 轴， OB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(柱形喷泉装置的粗细忽略不计). 同步练习 (2)一名游人站在点 D 处， OD=4 m. 当围观游人喊声较大时， B 喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点 D 处？ 同步练习 课堂小结 抛物线实物模型解题一般步骤： 1.合理建立平面直角坐标系 2.提取关键点坐标 3.求抛物线解析式 4.代入求解问题 5.还原实际意义作答。 $