26.4 实际问题与二次函数 课时3 非最值类抛物线形实际应用问题 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决非最值类抛物线形实际应用问题，通过生活中拱桥、喷泉等抛物线实例导入，连接二次函数图象与实际轨迹，引导学生思考如何转化为数学模型，搭建从生活现象到数学表达的学习支架。 其亮点是以“问题探究—模型构建—实际应用”为主线，突出建立适当坐标系的关键（数学眼光的几何直观），通过拱桥问题选顶点为原点建系、运动轨迹用顶点式求解析式等实例归纳解题步骤（数学思维的推理能力），强化用二次函数模型解决问题（数学语言的模型意识）。学生能提升建模能力，教师可依托结构化流程高效教学。

我们知道二次函数的图象是抛物线，生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等． 生活中还有哪些抛物线型轨迹呢？怎样将轨迹表示出来解决相关问题呢？ 新课导入 BY YUSHEN 22051 第二十六章 二次函数 26.4 课时3 非最值类抛物线形实际应用问题 BY YUSHEN BY YUSHEN 22051 1.能根据题意建立适当的平面直角坐标系,求出二次函数解析式，解决拱桥类型、抛物线形运动轨迹类型的问题. 学习目标 BY YUSHEN 22051 探究1：“拱桥”类型的问题 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少? 小组讨论解决下列问题： (1) 该拱桥可抽象成我们学过的哪种函数？ (2) 怎样建立直角坐标系，求抛物线对应的函数解析式更简单？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 (2) 方案3中顶点在原点，没有一次项和常数项，计算量最小，是最适当的坐标系。 =² =² =² =² (2) 即以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，这个二次函数的形式为 y=ax2. 建立坐标系通常优先选择 顶点为原点 + 对称轴为坐标轴的方案 (3) 求出拱桥的函数解析式 A（5，-4） (3)已知水面宽10米时，拱顶离水面高4米，因此点A（5，-4）在抛物线上，由此得出-5=·42，解得= 因此，这条抛物线对应的二次函数为=- 新知探究 BY YUSHEN 22051 (4) 水面上升 后，水面的位置发生了什么变化？对应的纵坐标是多少？ （5，-4） （？，-3） 原来水面在 的位置，上升 后，水面的纵坐标为 令 ，代入解析式得： 解得 ， 水面宽度为 注意：①水面在拱顶下方，纵坐标为负数 ②水面宽度是左右两个交点横坐标的绝对值之和，不要忘记乘以 新知探究 BY YUSHEN 22051 转化 回归 （二次函数的图象和性质） （实物中的抛物线形问题） 实际问题 数学模型 归纳 BY YUSHEN 22051 1.右图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面4 m时，水面宽8 m．水面上升3 m，水面宽度减少多少？ 解：如右下图，建立平面直角坐标系. 由题意知，抛物线过点(4,－4). 设抛物线的解析式为 y=ax2. 将点(4,－4)代入上式，得 16a=－4. 解得 a= . 所以抛物线的解析式为y= x2. 当y=－1时， x2=－1. 解得 x=2 或 x=－2. 这时水面宽度为2×2=4(m). 则水面的宽度减少了8－4=4(m)． 巩固练习 BY YUSHEN 22051 分析：如何建立直角坐标系，利用二次函数的图象和性质求解？ 探究2：“抛物线形运动轨迹”类型的问题. 如图，一名运动员在距离篮球框中心4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m.若篮框中心距离地面3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？ 新知探究 BY YUSHEN 22051 解：建立平面直角坐标系如图. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 解得 a = －0.2， k = 3.5. 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5. 当 x = －2.5 时，y = 2.25 . 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 1.52·a + k = 3.05， k = 3.5. 新知探究 BY YUSHEN 22051 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的平面直角坐标系，并将已知条件转化为点的坐标； (2) 合理地设出所求函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出表达式； (3) 利用表达式求解实际问题. 归纳 BY YUSHEN 22051 2.某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球 飞行高度与水平距离之间的函数表达式为， 则此次该同学实心球训练的成绩为（     ） A． B． C． D． 解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为. C 巩固练习 BY YUSHEN 22051 说说本节课学到了哪些知识？ 拱桥问题 运动中的抛物线问题 建立适当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 转化的关键 转化 回归 （二次函数的图象和性质） （实物中的抛物线形问题） 实际问题 数学模型 课堂小结 BY YUSHEN 22051 2. 某桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB 为(　　) A．-20 m B．10 m C．20 m D．-10 m C 1.某广场有一喷水池,水从地面喷出，如图所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分，则水喷出的最大高度是____米. 4 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h=20时，t=1s或5s．④小球抛出2秒后的高度是35m．其中正确的有（　 ） A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③ A 随堂小练 基础 BY YUSHEN 22051 4.某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m. 现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m. 这辆汽车能否顺利通过大门？若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 解：如图，以AB所在的直线为x 轴，以AB的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) ，B(2,0) ∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为 y=ax2+4.4 ∴抛物线所表示的二次函数为 y=-1.1x2+4.4 ∴汽车能顺利经过大门. 当 x=1.2时，y=-1.1×1.22+4.4=2.816>2.7 ∵抛物线过A(-2,0) ∴4a+4.4=0. ∴a=-1.1 随堂小练 提升 BY YUSHEN 22051 $