1.4.2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦“利用二次函数图象求一元二次方程的近似根”，通过基础辨析、性质应用、综合探究三层设计，构建从表格数据读取到函数性质迁移的知识巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|表格数据读取与根范围判断|以选择、填空题为主，直接应用函数值正负确定根区间，如第1、7题| |提升层|函数性质与根的综合辨析|结合对称轴、开口方向分析根分布，如第3、6题，培养推理意识| |综合层|跨情境问题解决与迁移|通过解答题（第11、12题）实现知识迁移，构建方程与函数模型，发展模型意识|

1.4.2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根—浙教版数学九年级上册同步练习 一、选择题 1．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（　　） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 2．如图，点A（2.26，-0.32），B（2.56，0.41）在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 3．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（　　）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 4．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（　　） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 5．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（　　） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 6．二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 若，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 二、填空题 7．下表给出了二次函数 中 x，y的部分对应值，估计方程 的一个解 x的取值范围是　 　 . x ... 0.25 0.5 0.75 1 ... y ... -1.69 -0.25 1.31 3 ... 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是　 　. 9．如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是　 　．（精确到0.1） 10．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是　 　． 三、解答题 11． 【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求 的解． 思路：在二次函数 中，若取x的值为 使得相应的函数值 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，方程 至少有一个解在 与 之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程 的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围． 12．已知二次函数． （1）填表： 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，的取值范围是　 　直接写出结果 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【分析】应该在与之间，结合表格信息即可求出答案. 2．【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】 解：∵点A(2.26，-0.32)，B(2.56，0.41)在二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象上， ∴当x=2.26时，y=-0.32，当x=2.56时，y=0.41 ∴当y=0时，2.26<x<2.56， ∴选项C符合， 故答案为：C 【分析】先根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间，由此解答即可. 3．【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间∴另一个交点的横坐标在之间， 结合选项可得，方程的另一个近似根为x＝2.3， 故选：C． 【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间，根据对称性求解即可． 4．【答案】B 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表可知，当时，； 当时，； 方程的一个近似根， 两个数中，更接近于0， 方程的一个近似根是1.2， 故答案为：B. 【分析】结合表格中的数据可得方程的一个近似根，再结合更接近于0，从而得解. 5．【答案】A 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根.观察表格的函数值可得：当时，；当时，，再结合，据此可求出方程的根x的值的取值范围． 6．【答案】D 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】根据表格可知 若， A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意 B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意 C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意 D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意 故选：D 【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；，当x=0时，故 函数图象与轴的交点在轴的上方；由零点定理，函数必有一个交点在对应的x值之间。 7．【答案】0.5<x<0.75 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】 解： 方程ax2+ bx+c=0的解即为函数y=ax2+bx+c的零点对应的x的值； 由表格数据可知，当x=0.75时， y= 1.31>0， 当x=0.5时，y=-0.25 <0， 由于函数连续，故在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0， 因此0.5<x<0.75. 故答案为：0.5<x<0.75. 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可得在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，写出x的范围解答即可. 8．【答案】x1＝－3，x2＝2 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3，0)，(2，0)， ∴当x=−3或x=2时，y=0， 即方程 的解为 故答案为： 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点的坐标可得抛物线方程的解。 9．【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可． 故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可． 【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小． 10．【答案】①②③④ 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 【分析】 先根据已知点坐标求出二次函数表达式，确定开口方向、对称轴位置，再结合函数性质及给定条件判断四个结论的正确性. 11．【答案】（1）解：将 代入得， 当 时， 所以 所以方程的解落在1和2之间． （2）解：将 分别代入得 由题意得，m(m-3)<0，所以0<m<3． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】(1)将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； (2)将x=-4和x=-3分别代入 得到 根据 结合判别式大于0求出m的取值范围. 12．【答案】（1）3；0；-1；0；3 （2）画出函数的图象如下： （3）或 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；作图-二次函数图象 【解析】【解答】解：（1） 已知二次函数， 当x=0时，y=3； 当x=1时，y=0； 当x=2时，y=-1； 当x=3时，y=0； 当x=4时，y=3； 故答案为：3，0，-1，0，3. 【分析】（1）根据二次函数解析式，当x=0，1，2，3，4时，分别得到函数值即可； （2）根据表格里面的数据，得到二次函数上的5个点，然后在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象，y>0时，图象位于x轴上方，进而可得x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根—浙教版数学九年级上册同步练习 一、选择题 1．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（　　） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【分析】应该在与之间，结合表格信息即可求出答案. 2．如图，点A（2.26，-0.32），B（2.56，0.41）在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象 【解析】【解答】 解：∵点A(2.26，-0.32)，B(2.56，0.41)在二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象上， ∴当x=2.26时，y=-0.32，当x=2.56时，y=0.41 ∴当y=0时，2.26<x<2.56， ∴选项C符合， 故答案为：C 【分析】先根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间，由此解答即可. 3．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（　　）（精确到0.1） A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3 【答案】C 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间∴另一个交点的横坐标在之间， 结合选项可得，方程的另一个近似根为x＝2.3， 故选：C． 【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在之间，根据对称性求解即可． 4．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 那么方程的一个近似根是（精确到0.1）（　　） A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【答案】B 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表可知，当时，； 当时，； 方程的一个近似根， 两个数中，更接近于0， 方程的一个近似根是1.2， 故答案为：B. 【分析】结合表格中的数据可得方程的一个近似根，再结合更接近于0，从而得解. 5．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（　　） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【分析】本题考查图象法求一元二次方程的近似根.观察表格的函数值可得：当时，；当时，，再结合，据此可求出方程的根x的值的取值范围． 6．二次函数中，自变量与函数的对应值如下表： 若，则下面叙述正确的是（　　） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与轴的交点在轴的下方 C．对称轴是直线 D．若是方程的正数解，则 【答案】D 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】根据表格可知 若， A：该函数图象开口向上，叙述错误，图象开口应向下，不符合题意 B：该函数图象与轴的交点在轴的下方，叙述错误，函数图象与轴的交点在轴的上方，不符合题意 C：对称轴是直线，叙述错误，对称轴是直线，不符合题意 D：若是方程的正数解，则，叙述正确，当 时，，有，符合题意 故选：D 【分析】根据表格分析，m=0和m=2时y值相等，对称轴为x=1；x由1增大到4，y值由m减小到 可知对称轴右侧图象递减，图象开口向下；，当x=0时，故 函数图象与轴的交点在轴的上方；由零点定理，函数必有一个交点在对应的x值之间。 二、填空题 7．下表给出了二次函数 中 x，y的部分对应值，估计方程 的一个解 x的取值范围是　 　 . x ... 0.25 0.5 0.75 1 ... y ... -1.69 -0.25 1.31 3 ... 【答案】0.5<x<0.75 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】 解： 方程ax2+ bx+c=0的解即为函数y=ax2+bx+c的零点对应的x的值； 由表格数据可知，当x=0.75时， y= 1.31>0， 当x=0.5时，y=-0.25 <0， 由于函数连续，故在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0， 因此0.5<x<0.75. 故答案为：0.5<x<0.75. 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可得在x= 0.5与x=0.75之间必然存在一点使y=0，写出x的范围解答即可. 8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是　 　. 【答案】x1＝－3，x2＝2 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3，0)，(2，0)， ∴当x=−3或x=2时，y=0， 即方程 的解为 故答案为： 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点的坐标可得抛物线方程的解。 9．如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是　 　．（精确到0.1） 【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可． 故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可． 【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小． 10．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 0 … 其中，，现有以下表述：①当时，随的增大而减小；②图象不经过第二象限；③关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根；④当时，．其中正确的结论序号是　 　． 【答案】①②③④ 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：①，，，当时，随的增大而减小，故此项正确；②时，，且经过，由①得：图象不经过第二象限；故此项正确；③当时，，当时，，由②得：关于的一元二次方程一定有一个小于3的正数根，故此项正确；④当时，，当时，，，，，当时，，当时，，，，， ，解得：，故此项正确； 故答案：①②③④． 【分析】 先根据已知点坐标求出二次函数表达式，确定开口方向、对称轴位置，再结合函数性质及给定条件判断四个结论的正确性. 三、解答题 11． 【阅读理解】 同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法． 例如，求 的解． 思路：在二次函数 中，若取x的值为 使得相应的函数值 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 与 之间，也就是说，方程 至少有一个解在 与 之间． （1）【尝试探究】 小明按照上述方法求方程 的一个解，过程如下表： x的值 0 1 2 3 a b c 请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间． （2）【迁移应用】 若关于x的方程 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围． 【答案】（1）解：将 代入得， 当 时， 所以 所以方程的解落在1和2之间． （2）解：将 分别代入得 由题意得，m(m-3)<0，所以0<m<3． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】(1)将点的横坐标代入解析式得到纵坐标，根据两点纵坐标之积小于零，判断解的范围； (2)将x=-4和x=-3分别代入 得到 根据 结合判别式大于0求出m的取值范围. 12．已知二次函数． （1）填表： 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）由图象可知，当时，的取值范围是　 　直接写出结果 【答案】（1）3；0；-1；0；3 （2）画出函数的图象如下： （3）或 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；作图-二次函数图象 【解析】【解答】解：（1） 已知二次函数， 当x=0时，y=3； 当x=1时，y=0； 当x=2时，y=-1； 当x=3时，y=0； 当x=4时，y=3； 故答案为：3，0，-1，0，3. 【分析】（1）根据二次函数解析式，当x=0，1，2，3，4时，分别得到函数值即可； （2）根据表格里面的数据，得到二次函数上的5个点，然后在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象，y>0时，图象位于x轴上方，进而可得x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $