1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课时练习 2026～2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦二次函数与一元二次方程关系，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，覆盖从概念理解到实际建模的知识路径，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|交点个数、根与坐标对应|选择填空为主，如抛物线与x轴交点判断（选择1-5）| |中档|判别式、对称轴、顶点性质|计算与推理结合，如顶点在x轴上求参数（填空14）| |提升|实际问题建模|生活情境应用，如饲养室面积最值探究（解答20）|

浙教版九年级数学上册 第一章二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课时练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 抛物线y=x²−4x+3与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 2. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（）和(3,0)两点，则一元二次方程ax²+bx+c=0的根是（ ） A. x₁=-1，x₂=3 B. x₁=1，x₂=-3 C. x₁=-1，x₂=-3 D. x₁=1，x₂=3 3. 若二次函数y=x²+2x+m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ） A. m>1 B. m<1 C. m≥1 D. m≤1 4. 抛物线y=2(x−4)(x+6)与x轴交点的横坐标是（ ） A. 4和-6 B. -4和6 C. 4和6 D. -4和-6 5. 若一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根是x₁=-3，x₂=2，则二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点坐标是（ ） A. ，(2,0) B. ，(3,0) C. (3,0)， D. ， 6. 二次函数y=ax²+bx+c的值永远为负数的条件是（ ） A. a>0，Δ>0 B. a>0，Δ<0 C. a<0，Δ>0 D. a<0，Δ<0 7. 已知抛物线y=x²−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m²−m+2024的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 二次函数y=kx²−6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. k<3 B. k<3且k≠0 C. k≤3 D. k≤3且k≠0 9. 已知二次函数y=ax²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)在函数图象上，当1<x₁<2，3<x₂<4时，则y₁与y₂的大小关系是（ ） A. y₁>y₂ B. y₁<y₂ C. y₁=y₂ D. 无法确定 10. 若方程ax²+bx+c=0的根是x₁=1，x₂=3，则抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线（ ） A. x=2 B. x=1 C. x=2 D. x=3 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 二次函数y=x²−2x+1与x轴有______个交点，交点坐标是______。 12. 若抛物线y=2x²−bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为______，抛物线与x轴的交点个数是______。 13. 已知二次函数y=x²−3x+m的图象与x轴交于两点，那么m的取值范围是______。 14. 已知抛物线y=x²−2kx+k²−k+2，如果抛物线顶点在x轴上，那么k=______。 15. 二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1,0）(3,0)，且顶点到x轴的距离为4，那么顶点坐标为______。 三、解答题（共50分） 16.（8分）已知二次函数y=x²−4x+3。 （1）求这个二次函数的图象与x轴的交点坐标； （2）画出这个函数的大致图象，利用图象指出当y>0时x的取值范围。 17.（8分）已知关于x的二次函数y=(k−1)x²+2kx+k+3。 （1）当k为何值时，函数图象与x轴有两个交点？ （2）当k为何值时，函数图象与x轴只有一个交点？ 18.（10分）已知二次函数y=x²−(m+1)x+m。 （1）求证：无论m取何实数，此二次函数的图象与x轴总有公共点； （2）若二次函数图象与x轴交于A(1,0)，B两点，求点B的坐标。 19.（12分）二次函数y=−x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C。 （1）求m的值； （2）求点B和点C的坐标； （3）根据图象，直接写出当y>0时x的取值范围。 20.（12分）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙，其余三面用总长50m的建筑材料围成。设饲养室垂直于墙的边长为x m，饲养室的面积为y m²。 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当饲养室面积为300m²时，求x的值； （3）能否围成面积为320m²的饲养室？请说明理由。 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A A D D D B C 二、填空题 11. 1；(1,0) 12. 4；1 13. m< 14. 2 15. (1,4)或 三、解答题 16. 解：（1）令y=0，则x²−4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，因此二次函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)； （2）二次函数开口向上，顶点坐标为，当y>0时，x的取值范围是x<1或x>3。 17. 解：（1）若函数图象与x轴有两个交点，则判别式Δ>0且k−1≠0。Δ=(2k)²−4(k−1)(k+3)=4k²−4(k²+2k−3)=−8k+12>0，解得k<3/2，又k−1≠0即k≠1，因此当k<3/2且k≠1时，函数图象与x轴有两个交点； （2）当函数图象与x轴只有一个交点时，若k−1=0即k=1，此时函数为一次函数y=2x+4，与x轴只有一个交点，符合题意；若k−1≠0，则Δ=0即−8k+12=0，解得k=3/2。因此当k=1或k=3/2时，函数图象与x轴只有一个交点。 18.（1）证明：对于二次函数y=x²−(m+1)x+m，判别式Δ=[−(m+1)]²−4×1×m=m²+2m+1−4m=m²−2m+1=(m−1)²≥0，因此无论m取何实数，判别式恒大于等于0，即二次函数图象与x轴总有公共点； （2）解：将A(1,0)代入函数得0=1²−(m+1)×1+m=0恒成立，令y=0，解方程x²−(m+1)x+m=0，因式分解得(x−1)(x−m)=0，解得x₁=1，x₂=m，因此点B的坐标为(m,0)。 19. 解：（1）将A(3,0)代入y=−x²+2x+m得0=−9+6+m，解得m=3； （2）二次函数解析式为y=−x²+2x+3，令y=0得−x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=−1，因此点B坐标为；令x=0得y=3，因此点C坐标为(0,3)； （3）由图象可知，当y>0时，x的取值范围是−1<3。 20. 解：（1）由题意得，平行于墙的边长为(50−2x)m，因此y=x(50−2x)=−2x²+50x，自变量x的取值范围是0<25； （2）令y=300，则−2x²+50x=300，整理得x²−25x+150=0，解得x₁=10，x₂=15，均符合0<25，因此x的值为10或15； （3）不能，理由：令y=320，则−2x²+50x=320，整理得x²−25x+160=0，判别式Δ=25²−4×1×160=625−640=−15<0，方程没有实数根，因此不能围成面积为320m²的饲养室。 学科网（北京）股份有限公司 $