2.2.4 均值不等式及其应用（分层作业练题型）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C组及高考拓展的分层设计，构建从均值不等式概念理解到综合应用的递进式巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|均值不等式的理解、比较大小、证明、基础与条件最值、应用题、恒成立问题|以选择、填空题为主，结合几何直观（如圆的直径弦图）强化概念理解| |B组能力进阶|综合最值求解、跨情境应用|增加解答题比重，融入实际问题（如储水池造价）提升应用能力| |C组思维拔高|新定义（权方和不等式）、跨学科（物理电路功率）、几何融合|创新题型设计，培养数学抽象与逻辑推理能力| |拓展链接高考|高考真题再现|直接对接高考考点，强化应试能力|

2.2.4均值不等式及其应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 对均值不等式的理解 题型02 利用均值不等式比较大小 题型03 利用均值不等式证明不等式 题型04 利用均值不等式求最值 题型05 利用均值不等式求条件最值 题型06 利用均值不等式解应用题 题型07 均值不等式恒成立问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对均值不等式的理解题型01 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确，故选B 2．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【解析】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立.故选：C. 3．（25-26高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误， 对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误， 对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确， 对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误， 故选：C 4．（25-26高一·全国·课后作业）在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ） A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 【答案】D 【解析】当，根据均值不等式得，当且仅当时，等号成立； 令，，则，如果，都不为零，则 ，当且仅当时，等号成立． 故选：D 利用均值不等式比较大小题型02 5．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】，当且仅当时，等号成立，故. 6．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号．故选：A． 7．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，则， 因此.故选：C 8．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由基本不等式得，故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故，所以.故选：B 利用均值不等式证明不等式题型03 9．已知，，，，求证：，并指出何时取等号． 【解】因为，，，， ，当且仅当时，等号成立． 10.已知正数，，满足：，求证：． 【解】． 根据柯西不等式，有 ， ，当且仅当时，等号成立． 11．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【解】因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++， 当且仅当时等号成立. 12.已知a、b是正数，求证：． 【解】因为a、b是正数， 则， 当且仅当时，等号成立，所以. 利用均值不等式求最值题型04 13．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】当时，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 14．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为.故选：C 15．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）求的最大值（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【解析】法一：因为， 所以当时取得最大值. 法二：因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为.故选：A 16．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【解析】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 利用均值不等式求条件最值题型05 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 18．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故选：A. 19．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 20．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】由可得， 因为实数，，所以， 因此可得，即， 解得或（舍）， 当且仅当时，即时，等号成立, 所以的最小值为6. 利用均值不等式解应用题题型06 21．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 【答案】B 【解析】设年平均利润为u，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此这批机器的年平均利润值最大为8万元，故选：B 22．（25-26高一上·河北·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设年平均利润为，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，这批机器的年平均利润值最大为万元.故选：C． 23．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 24．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ 【解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 均值不等式恒成立问题题型07 25．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数m的取值范围是.故选：D． 26．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立，即， 因，则，则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故．故选：C． 27．（25-26高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号，， ，即， 解得，故实数的取值范围是.故选：C 28．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 1．（25-26高一上·云南·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【解析】，当且仅当时，等号成立．故选：D 2．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误. 故选：C 3．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立.的最大值为 4．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2．故选：C. 5.（河南南阳市2025-2026学年高二下学期期终质量评估数学试题）某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为，如果该池底的造价为元，池壁的造价为元，则该储水池的最低总造价为（    ） A．36.4万元 B．36.6万元 C．36.8万元 D．37万元 【答案】C 【详解】设池底的长为，宽为，则长方体的体积为，则， 因为池底的造价为万元，池壁的造价为万元， 则储水池的总造价为， 因为，等号成立时， 故该储水池的最低总造价为万元. 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 7．（25-26高一上·江西·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解析】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得．故选：B 8．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：，由基本不等式得， 故，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：由题意得， 则， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 9．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 11．（河北省部分学校2025-2026学年度高二下学期期末联考数学试题）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 12．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为正实数，满足，则， 所以， 当且仅当时取等号， 存在这样的，使不等式有解，则， 则，所以实数的取值范围是 13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 15．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 16．（新定义问题）（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 17．（与物理融合）（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，总电阻，电路电流， 所以滑动变阻器功率为， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围，所以此时最大，且为. 18．（与几何融合）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的半径为2，所以，由射影定理可知， 所以， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 因此的最小值为. 19．（与方程融合）（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】已知正实数满足，所以， 当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得.所以. 20.（拓展问题）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【解】（1）由题，于是， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为7． （2）（ⅰ）注意到，即，当且仅当时，等号成立， 而直角三角形面积，得直角三角形面积最大值为1． （ⅱ） ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为， 当且仅当，即，时，等号成立,所以的最小值为9. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确，故选C. 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4均值不等式及其应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 对均值不等式的理解 题型02 利用均值不等式比较大小 题型03 利用均值不等式证明不等式 题型04 利用均值不等式求最值 题型05 利用均值不等式求条件最值 题型06 利用均值不等式解应用题 题型07 均值不等式恒成立问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 对均值不等式的理解题型01 1．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 2．（25-26高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 3．（25-26高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 4．（25-26高一·全国·课后作业）在均值不等式中，令，，则得到的对应结论为（    ） A．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 B．如果，都是正数，那么，当且仅当时，等号成立 C．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 D．如果，都不为零，那么，当且仅当时，等号成立 利用均值不等式比较大小题型02 5．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 6．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 利用均值不等式证明不等式题型03 9．已知，，，，求证：，并指出何时取等号． 10.已知正数，，满足：，求证：． 11．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 12.已知a、b是正数，求证：． 利用均值不等式求最值题型04 13．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 15．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）求的最大值（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 16．（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 利用均值不等式求条件最值题型05 17．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 18．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·河北张家口·一模）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 利用均值不等式解应用题题型06 21．（25-26高一上·新疆昌吉·期末）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 22．（25-26高一上·河北·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A． B． C． D． 23．一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 24．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ 均值不等式恒成立问题题型07 25．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 27．（25-26高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 1．（25-26高一上·云南·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 2．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5.（河南南阳市2025-2026学年高二下学期期终质量评估数学试题）某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为，深为，如果该池底的造价为元，池壁的造价为元，则该储水池的最低总造价为（    ） A．36.4万元 B．36.6万元 C．36.8万元 D．37万元 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 7．（25-26高一上·江西·阶段检测）若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A．或 B． C． D．或 8．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 11．（河北省部分学校2025-2026学年度高二下学期期末联考数学试题）已知，则的最小值为_______. 12．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 14．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 15．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 16．（新定义问题）（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 17．（与物理融合）（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．（与几何融合）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（与方程融合）（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 20.（拓展问题）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $