2026年1月世界少年奥林匹克思维能力测评活动（地区赛）九年级数学竞赛试题

2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 九年级答案 一、填空题 第一题 第二题 第三题 第四题 7.4 23或14 12 9 第五题 第六题 第七题 第八题 saxo 4 35π 4V2+4 4-3 9 二、解答题。 9.解：当3≤x时，3*x=10, .3x=10, x=0 23 r-6x=-o-9g0-6小-7 [x2-6x]=17 当3>x时，3*x=10 .32-3x+x2=10, .x2-3x-1=0, .x2=3x+1, x3-而或x3+正（不符合题意，舍去）， 2 2 .x2-6x =x(x2-6) =x(3x+1-6) =3x2-5x =33x+1)-5x =9x+3-5x =4x+3 =4x3-E+3 2 =9-213, 23=V52,49<52<64, .√49<V52<64,即7<23<8， ∴.-8<-23<-7 ∴.1<9-213<2 [x2-6x]=1 综上：[x-6x]的值为17或1。 10.设每期治理中废气减少的百分率是x,据题意得 450(1-x)2=288 解之得x=0.2=20%,x2=1.8（舍去) 答：每期治理中废气减少的百分率是20%。 450×（1-20%)=360, ,第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元 ∴.第一期治理费用为：(450-360)×3=270（万元）： ,第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元 ∴.第二期治理费用为：(360-288)×4.5=324（万元) 所以两期治理完成后共需投入270+324=594万元。 11.解：y=x2-(m+2)x+3, ∴该二次函数的图像的对称轴为直线x=m+2 2, ①当2≤1，即m≤0时， 在1≤x≤2的范围内，y随x的增大而增大， ∴.当x=2时，该函数有最大值M=3-2m, 当x=1时，该函数有最小值N=2-m,(3-2m)-(2-m)≤2， 解得m2-1, .-1≤m≤0； ②当1<生2<号即0<m<1时， 在1≤x≤2的范围内，y先随x的增大而减小，再随x的增大而增大， 且x=2处的函数值大于x=1处的函数值， M=3-2m,N=12-(m+2y2 3-2m-12-m+2ys2, 4 ∴.2-2√5≤m≤2+2√2， .0<m<l: ©当5”生<2，即15m<2时， 2 在1≤x≤2的范围内，y先随x的增大而减小，再随x的增大而增大，且x=1处的函数值大于x=2处的函 数值， M=2-m,N=12-(m+22 4 2-m-12-m+2y≤2， 4 .-2W2≤ms25, 此时1≤m<2; 国消2≥2，即烟≥2时， 在1≤x≤2的范围内，y随x的增大而减小， .M=2-m,N=3-2m, .(2-m)-(3-2m)s2, 解得m≤3， .2≤m≤3。 综上，实数m的取值范围为-1≤m≤3； 12.解：∠AED=90°， ∴∠CEA+∠BED=180°-∠AED=90°， :∠ACE=90°， .∠CAE+∠CEA=90°， ∴.∠CAE=∠BED=∠BAE, EC⊥AC,EP⊥AB, ∴CE=EP, :CG⊥AB,即∠CGA=90, ∴.∠EAB+∠AFG=90, ∠CFE+∠EAB=90, :∠BED+∠CEA=90,∠BED=∠EAB, ∠CFE=LCEA, ..CE=CF=EP, :CG⊥AB,EP⊥AB, .EP CG,即CF∥EP, .四边形CFPE是平行四边形， 过点F作FH⊥AC于H,则FH=FG, C E SACG=S.AFC+SG ∴4C-FH+54G-FG=4G-CG,即15H+4GFG=24G, 2 在RtaACG中，AC=15,CG=12, .AG=√AC2-CG2=V152-122=9, 15FH+9FG=12×9,即15FH+9FH=108, G=阴-号 CF=CG-GF=12-)=3, 在RtaACE和RteAPE中， (AE=AE EC=EP .Rt△ACE≌RtaAPE(HL), .AP=AC=15, .PG=AP-AG=15-9=6, Sm=CF.PG×6=45 ,四边形CFPE的面积为45。 13.（1)解：如图1，连接OA、OB :PA,PB为⊙O的切线， ∴.∠PAO=∠PBO=90°， ∴.∠AOB+∠MPN=180°， ,∠MPN=80°， ∴.∠AOB=180°-∠MPN=100°， ∠ACB=5∠AOB=50: ny B N 图1 (2)解：当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形， 理由如下： 如图2：连接OA、OB 由(1)可知∠AOB+∠APB=180°， ∠APB=60°， ∴.∠AOB=120°， ∴.∠ACB=60°=∠APB, ,点C运动到PC最大， PC经过圆心， ,PA、PB为⊙O的切线， ∴.四边形APBC为轴对称图形， ,PA=PB,CA=CB,PC平分∠APB和∠ACB, ∴.∠APB=∠ACB=60°， ∴.∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°， ∴PA=PB=CA=CB, ∴.四边形APBC为菱形： M A B 图2 14解：把点450)代入y=+s中， -×25+5b=0, 解得、b= ty-x 作CE⊥OA于E,DF⊥OA于F, y D B/C E 当x=1时，m=-x12+x1=2, 2 2 ∴.点B坐标为(1,2)， 设AB解析式为：y=a+b(k≠O), [2=k+b 0=5k+b' 1 k=- 解得 2 5 b= 15 .y=-二x+ 2 2 :0c5 CD=4' % :CE⊥OA于E,DF⊥OA于F, ∴.CE∥DF, ∴.aOCE~aODF, 0S=05-cE5 OD OF DF9' 设E点坐标为(m,0), ∴点C坐标为 -+引成F坐标为目m,点D整标为列？m品m引 、点D在抛物线上， .599,9 10 +21 m+ ∴.9m2-30m+25=0, 解得m=m三3' .点D坐标为(3,3)。 (2)解：作过O、P、A三点的圆M,连接OM,AM,PM,作MN⊥OA于N, .∠OPA=45°， ∴.∠AMO=90°， .'OM=AM,OA=5, 又MN⊥OA, ∴.ON=AN=MN=2.5, 点M坐标为(2.5，-2.5)， ∴.AM=OM= 5v2 2 .PM=5 2 设点P坐标为(x,y), 86-25*0*25j-2 .x2-5x+y2+5y=0, 归+ ∴.y2+3y=0, ·乃=0，（不合题意舍去），乃=-3， y=-3, 5 .x1=-1,为3=6， ∴点P坐标为(-1，-3)或(6，-3)。 15.(1)如图，连接AB、BB和AB, B ,四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=6,BC=AD=10,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， 矩形ABCD沿EF折叠，点B的对应点B恰好落在CD上，点A的对应点为点A, ∴.AA'⊥EF,BB⊥EF, AA∥BB, 由平行线间的距离相等，得SABg=SrBr, ,BG⊥A'B, ÷Bxac-8xBG, 由折叠性质可知，AB=AB, ∴.BC=BG=10, AG=BG2-AB2=102-62=8, ∴.GD=AD-AG=10-8=2, BG⊥A'B, ∴.∠BGB=∠C=90°， BB'=BB',BC=BG, ,'RtaBGB'RtABCB'(HL), .BG=B'C, 设BG=BC=x,则DB=CD-B'C=6-x, 在Rt△DGB中，DB2+GD2=GB2, .(6-x)2+22=x2, 解得：x=0, ·BC= 3, BC的长为号： (2)如图，连接AC,交BE于点2，过B作BM⊥AC于点M,过H作HN⊥AC于点N, ,四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=40,BC=AD=30cm,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°， AC=√AB2+BC2=V402+302=50(cm), S.c 2AC×BM=)ABX BC, 1 2 ÷×50xBM=3×40x30, 2 ∴.BM=24, 同(1)理得，BH=BC=30cm,B'H=B'C, ∴点H在以点B为圆心，BC为半径的圆上运动，如图， 由四边形ABCH面积为SABC+S,ABH =ACxBM+AC×HN 2 2 =2×50x24+号×50xHN 1 =600+25HN, ∴.当四边形ABCH面积最大，则需HN最大，即M与N重合时，HN最大，如图， D (N ∴.MH=BH-BM=30-24=6(cm), ,BM⊥AC,BH⊥A'B, ∴.∠B'HM=∠B'HM=90°， 由折叠性质可得，∠A'B'E=∠ABE=90°，BE=BE, ∴.∠AB'E=∠ABE=∠B'HM=90°， ∴.四边形BHMQ是矩形， ∴.BE∥BH, ∴.∠B'EC=∠MBC, ,∠ABM+∠BAM=∠MBC+∠ABM=9O°， ∴.∠BAM=∠MBC, tan∠BAM=30 =tan∠MBC, 0 .3 :tan ZMBC=tan ZB'EC= tan∠B'EC= B'C 3 EC-4' 设BC=3a,则EC=4a, ∴.BE=BC-EC=30-4a, 由勾股定理得：BE=VB'C2+EC2=V(3a)2+(4a)}2=5a, ∴.BE=30-4a=5a, 10 解得：a= 3 50 ∴.BE=5a= (cm), 3 .BE的长为 50 3cm。绝密★启用前 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 (2026年1月) 选手须知： 1.本卷共两部分，第一部分：填空题，共计72分；第二部分：解答题，共计78分。 2答题前请将自已的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置。 毆 3测评时不能使用计算工具。 4.测评完毕试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 总分 核查人 如 得分 露 7O777 邮 九年级试题 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 一、 填空题（每题9分，共计72分） 评卷人 1.如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调。通过实验 毁 K 发现，当水而高度BC与瓶高AC之比为黄金比时，可以发出“so”的音符。若AC=12cm,则水 面高度BC为 cm. (结果保留一位小数) 杯 2.己知x,y为正整数，满足y+(x-8)y-8)=0,则x+y= 3.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水。 御 水克火，火克金”，将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种 物质不相邻”，则事件A出现的概率是 (结果用数值表示)。 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E是BC的中点，连接AE,AF平分∠DAE 交CD于点F,连接BF交AE于点G,则AG= A 九年级 第1页 5.设关于x的方程a2+(a+2)x+9a=0,有两个不相等的实数根x、x,且，<2<3<书， 那么实数a的取值范围是 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2。以点A为圆心， 以AD为半径作DE交AB于点E,以点B为圆心，以BE为半径作E亦交BC于点F,连接FD交E亦 于另一点G,连接CG。图中阴影部分面积是 (结果保留x) D G 7.如图：在半圆O中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠交直径AB于点D,点E是 AD的中点，连接OB,若OE的最小值为2，则AB一· B 8.如图所示，半径为r的圆O内切于正△POR,M为边PQ上一点，N为边PR上一点，且直 F点E,△PN的内切圆C与MN相切于点F,若圆C的半 值为 8 九年级 第2页 得分 二、解答题（第9题~第13题每题10分，第14题13分，第15题15分，共计78分） 评卷人 9.对实数a,b定义运算·如下：当a≤b时，ab=ab:当a>b时，ab=d-ab+b2,若3*x=10, 求[-6x]的值([表示不超过x的最大整数)。 10.环保，现在是目前世界上最热门的话题之一，我国的环境问题主要表现在：污染物排放量 相当大，远远高于环境的自净力。某厂工业的废气年排放量为450万立方米，为改善我市的大气环 境质量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少 的百分常相同。预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立 方米废气需投入4.5万元，问两期治理完后共需投入多少万元？ 1山.已知二次函数y=x2-(m+2)x+3。设函数y=x-(m+2)x+3在1≤x≤2范围内的最大值 为M,最小值为N,且M-N≤2，求实数m的取值范围。 九年级 第3页 12.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E, 过点C作CG⊥AB交AB于点G,交AE于点F,过点E作EP⊥AB交AB于点P,∠EAD=∠DEB。 连接PF,若CG=I2,AC=15,求四边形CFPE的面积 13.已知∠MPN的两边分别与圆O相切于点A,B圆O的半径为r, M M N B B N 图1 图2 备用图 (1)如图1，点C在点A,B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数： (2)如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？ 请说明理由。 九年级 第4页 14.如图，抛物线y= 2+x与x轴皎于点46.0). D 0 A 备用图 (1)点B(L,m)是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D,若 0C=5 CD,求点D的坐标 (2)抛物线上是否存在点P,使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由。 九年级 第5页 I5.如图①，己知矩形ABCD,BC>AB,点E、F分别在BC和AD上，将矩形ABCD沿EF折叠， 点B的对应点B恰好落在CD上，点A的对应点为点？。 D A 马到成 B 11111101111110 E 设计方案 图① 图② 图③ (1)如图②，若AB=6,BC=I0,AB与CD交于点G,且BG⊥AB于点G,求BC的长。 贸 (2)元旦将至，某平面创意公司计划用矩形硬卡纸与信纸制作元旦贺卡，以此喜迎马年。制作时，如 o 图③将信纸完整贴合在硬卡纸的矩形ABCD区域上，为融入数学对称之美，设计师在BC、AD上分别取点 知 E和点F,连接EF,把四助形ABEF区域沿EF折叠，使点B的对应点B怡好落在CD边上。为使贺卡的 色彩布局更具美感，对折叠后的平面进行区域划分与者色，即过点B作BH⊥AB,连接AH、CH,将四 o/ 边形ABCH区域作为着色重点区域。经设计验证：当四边形ABCH的面积达到最大值时，贺卡的视觉效果 部 最为端庄大气。己知在矩形ABCD中，AB=4Ocm,BC=30cm,当四边形ABCH面积最大时，求BE的 长度。 长 K 蜥 杯 相 九年级 第6页