2026年2月7日江苏省世界少年奥林匹克思维能力全国总测评九年级一试试题+二试试题

绝密责启用前 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 (2026年2月) 温馨提示： 1.本卷共20题，每题5分，共计100分。 2.答案请写在答题卷上，答在试卷上无效。 圜 3.答题前请将自己的地区、学校、姓名、试场、活动证号写在规定的位置。 4.考试时不能使用计算工具。 5.考试完毕试卷和答题卷将被收回。 铷 九年级试题（一试） 置 77 (本试卷满分100分，考试时间90分钟) 酃 1.己知非零实数a,b满足2a-4+b+2+√(a-3b2+4=2a,则a+b等于 长 2.已知关于x的一元二次方程x2-+2k-1=0的两个实数根分别为x2,且x2+x子=7，那么 (x-x2)的值为 K 3.若二次函数y=(x-3)-2的图像与x轴交于两点(x,0),(:2,0)，则 V西++- x2+√水2-√ 4.已知一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=3,抛物线y=a(x-1)+bx-b+c(a≠0) 杯 的对称轴为直线x=2,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的另一个根为 777 解 5.点A,O,C在同一直线上，点B,O,D在同一条直线上，∠BAO=∠DCO=90°，部分数据 如图所示，将△OAB沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，涂色部分的面积记为S。将△OCD 沿虚线剪成三块，三块均为三角形，涂色部分的面积记为S2,则S:S,=」 B 如 九年级一试试题卷第1页 6.如图，a是正十边形两条对角线的夹角，则α的度数是 度。 E D 7.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、1、2。随机摸出一个小球（不放回） 其数字记为p,再随机摸出另一个小球其数字记为q,则满足关于x的多项式x+px+q能在实数范围内 因式分解的概率是 _0 8.如图，点C在半圆O上，且AC=2BC,AB是直径，CF⊥弦AD于点E,交AB于点F,若CE=3, EF=5,则AE的长为 FB 9现定义[y表示不超过实数x的最大整数，如[V]=1,[12]=-2,[=3,则方程[y=子的 解为x= 0 10.近年来，机器人产业发展迅猛，据报道某地区2024年机械手的市场规模约为225亿元，估计 2026年的市场规模将达到324亿元，如果2025年、2026年的年增长率相同，那么这个相同的增长率是 o 11.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC且AC=10,点D在BC上，点P是线段AC上一 个动点，以PD为直径作⊙O,点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ,则AQ的最小值为_一一一一-。 0 九年级一试试题卷第2页 12.若多项式x3+x2-61x-36能被2x+1和3x-4整除，则m-n= 13.己知同一个平面直角坐标系中有三点A~28,a人、B。9 C(2a,0),其中a>0,如果二次 函数y=x2-(5a-3)x-a的图像上有一点D,使得以点A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，则 满足条件的点D的个数有一个。 14如图所示，O0可以在等边三角形ABC内部任意位置移动，记∠AB0=a,若mu≤3y5 则tanc 4 的最小值为 B 15.如图，在OO中，将AB沿弦AB翻折，连结AO并延长交翻折后的弧于点C,连结BC,若AC=4, tam<CMB子则AB的长为 B 16.在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在直线AB上，CD 2 垂直x轴于点D,CB垂直y轴于点五，反比例函数y=《的图像经过点C,若S。c:S4=4:1,则k的 值为 17.对于抛物线y=ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P,当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该 抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y=ax2+bx+c的内点。现 有抛物线么：=+2x+2和乙=+子分，如果点M既是抛物线乙的内点，又是弱物线马的内 3.1 4 点，那么点M的纵坐标yw的取值范围是 0 九年级一试试题卷第3页 18.己知OO的直径AB=20。弦CD交AB于G,AG>BG,CD=16,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F, 则AE-BF为 777 19.如图，一张直径为40的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，图中涂色部分面积的最小值为 /0 A 45 B 20.如图，曲线1是由函数y=6在第一象限内的图像绕坐标原点0逆时针旋转45°得到的，过点 扣 A(-4W2,4V2),B(22,2V2)的直线与曲线1相交于点MN,则△OMW的面积为 / 邮 4 B 郑 长 区 杯 舡 郝 御 九年级一试试题卷第4页 绝密责启用前 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 (2026年2月) 温馨提示： 1.本卷共6题，第1-4题每题15分，第5、6题每题20分，共计100分。 2.答题前请将自己的地区、学校、姓名、试场、活动证号写在规定的位置。 圜 3.考试时不能使用计算工具。 4.考试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 如 题号 二 三 四 五 六 总分 核查人 置 每分 鄜 九年级试题（二试） 长 (本试卷满分100分，考试时间60分钟) 1.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3水+2=0。若△ABC的两边AB、AC的长是方程 的两根，第三边BC的长为5。则： (1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？（本小题9分） (2)k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长。（本小题6分） 怒 辐 解 九年级二试试题卷第1页 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM。 (1)求证：∠ACM=∠ABC:(本小题6分) (2)延长BC到D,使CD=BC,连接AD与CM交丁点，若⊙0的半径为号，BD=3,请补全 图形，并求△ACE的外接圆的半径。（本小题9分） 3.若函数∫(x)在m≤x≤(m<n)上的最大值记为M,最小值记为N,且满足M-N=1,则称函 数f(x)是在m≤x≤n上的“1阶差函数”。已知函数：f(x)=ar2-4w+3aa>0)。 (1)当a=1时，函数f(x)是在t≤x≤t+1上的“1阶差函数”，求t的值；（本小题7分） (2)函数f(四是在m+2≤x≤2+1(m为整数)上的1阶差函数，且存在整数k,使得k=M 求a的值。（本小题8分） 九年级二试试题卷第2页 4.如图1是小鸟牙签盒实物图，图2是牙签盒在取牙签过程中一个状态的部分侧面示意图，D、E为连 接杆AB上两个定点，通过按压点B,连接杆AB绕点E旋转，从而带动连接杆DF上升，带动连接杆FH 与FG绕点G旋转，致使牙签托盘亚向外推出，在取牙签过程中固定杆EG位置不变且DF与EG始终平 行，牙签托盘Ⅲ始终保持水平，现测得PG=H=1c,BB=8 c,DF=EG=7cI,∠HFG=46°与 3 ∠B=90°，杆长与杆长之间角度大小不变，已知，牙签盒在初始状态，D、H、F三点共线，在刚好取到 牙签时，B、H、G三点共线，且点C落在线段H上，（参考数据：tan23°=5） 12 (1)从初始状态到刚好取到牙签时，牙签托盘Ⅱ在水平方向被向外推出多少厘米。（本小题6分） (2)鸟嘴BC的长为多少厘米。（本小题9分） 图1 B H 图2 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=2+bx+c的图像经 2。 过点A,B,与x轴分别交于点E,P,且点E的坐标为30 二，0，以OC为直径作半圆，圆心为D。 (1)求证：直线BE是⊙D的切线：（本小题10分） (2)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点（点M与点B,C不重合）， 过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数 关系式，并写出自变量t的取值范围。S是否存在着最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由。 (本小题10分) A A 九年级二试试题卷第3页 6.△ABC内接于⊙O,AB为OO直径，弦CD交AB于点E,连接AD,点N在弧AD上，连接AN, ∠BCD+∠NAD=∠CAB。 B B E E OE B 图1 图2 图3 (1)如图2，连接ND,过点A作AH⊥CD于点H,求证：CD-ND=2CH;(本小题10分) (2)如图3，在(2)的条件下，作BF∥AN交OO于点F,BF交CD于点M,点M为CE中点，BC=15, AE=18,求DN的长。（本小题10分） 圜 如 酃 长 区 杯 舡 蜥 都 韵 九年级二试试题卷第4页2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 九年级一试答案 第一题 第二题 第三题 第四题 1 13 6万 X=-1 第五题 第六题 第七题 第八题 49:48 54° 1-3 45+3√万 第九题 第十题 第十一题 第十二题 x=0或x=25 20% 5√5 -10 3 第十三题 第十四题 第十五题 第十六题 3 语 310 2 号或12 第十七题 第十八题 第十九题 第二十题 -1<w<3 12 300元-200√2 8 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力全国总测评 九年级二试答案 1.(1)解：：△=[-(2k+3)-4(k2+3+2)=4k2+12k+9-4k2-12k-8=1>0, 方程有两个不相等的实数根： 由题意，得AB+AC=2k+3,AB·AC=2+3k+2, :△ABC是以BC为斜边的直角三角形， .AB2+AC2=BC2, .(AB+AC)2-2AB.AC=BC2, (2k+3)2-2k2+3k+2)=52, 解得k=-5,或k=2, AB+AC=2k+3>0, 多 k=2 且当k=2时，方程为x2-7x+12=0, 解得x=3或4，符合题意， ∴.当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形： (2)若△ABC是等腰三角形，分两种情况： 当AB=AC时，方程有两个相等的实数根，这与△>0不符，不合题意，舍去； 当AB或AC与BC相等时，5是方程的根， .52-5(2k+3)+k2+3k+2=0, 解得k=3或4， 当k=3时，AB+AC=2k+3=9,△ABC的周长为9+5=14： 当k=4时，AB+AC=2k+3=11,，△ABC的周长为11+5=16， 2.解：(1)证明：如图，连接0C, ,AB为⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠BAC=90°， ,CM是⊙0的切线， .OC⊥CM, ∴.∠ACM+∠AC0=90°， .C0=A0, .∴.∠BAC=∠ACO, ∴.∠ACM=∠ABC: M B (2).BC=CD,∠ACB=90°， ∴.∠OAC=∠CAD, ,0A=0C, ∴.∠OAC=∠0CA, ∴.∠0CA=∠CAD, .0C∥AD, ,0C⊥CE, ∴.AD⊥CE, ∴.△AEC是直角三角形， ∴.△AEC的外接圆的直径是AC, ,∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°， ∴.△ABC∽△CDE, 带器 :⊙0的半径为2，D=3, AB=9, “品警 ∴.BC2=27, ∴.BC=3V5 ∴.AC=VAB2-BC2=3√6 ·△AC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACB的外接圆的半径为3V6 M C 3.(1)当a=1时，函数f(x)=ax2-4r+3a(a>0)为f(x)=x2-4x+3,对称轴为直线x=2. 当x=t时，y=t-4t+3,当x=t+1时，y2=(t+1)2-4(t+1)+3=t2-2t, 当x=2时，y3=-1. 若t>2,M=y,N=;则y2-乃=1，解得t=2(舍去)： 2N=,则%⅓=1，解得t= 若1<1<M=为N=,则y-%=山，解得1=11=3〔含去为 若t<1,M=,N=y2,则y-y2=1,解得t=1（舍去)。 综上所述，t=1或t=2: （2)f(x)=ax2-4ax+3a=a(x-2)2-a ∴.抛物线的对称轴为直线x=2, 又：m+2≤x≤2m+1,, .21, .2<m+2≤x≤2m+1 .当2<m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大， ∴.当x=2m+1时取得最大值，x=m+2时取得最小值， 函数f(x)=ax2-4ax+3a在m+2≤x≤2m+1(m为整数)上的“1阶差函数”， ∴.M=a(2m+12-4a(2m+）+3a=4at-4am N=a0+2)2-4a(2+2)+3a=mm2-a, :4为整数， :4.4为整数，即4L为整数， am2-a +1 “4且m为整数. +1 .m+1是4的因数，又m≥1， .l=1或m=3,而m=1时，M=N不符合题意，舍去， m=3,把m=3代入M-N=1得：36a-12a-9a+a=1, a=16 4.解：(1)如图2，牙签盒在初始状态，D,H,F三点共线，∠HFG=46°，杆长与杆长之间角度大小不变， FG=FH=1cm, B HM G 图2 连接HG,过F作F0LHG于O, ∴∠GFO= ×46=23,H0=G0. 2 OG OF -tan23 12 设OG=5xcm,则OF=12xcm, ..FG=VOG2+OF2=13x (cm), x=3 1 12 10 ∴.F0=12x= 13cm,GH=10i3m, 13 13 S△rG)FO.HG=M,HF 2 12.10120 .'.HM= (cm), 1313169 120 故答案为： 169 (2)如图3，延长HC/DB交于M, D B G 图3 ,'FD∥EG,DF=EG=7cm, ∴.四边形DFGE是平行四边形， .DE∥FG, ,∠HFG=46°，杆长与杆长之间角度大小不变，FG=FH=1cm, ∴.∠FGH=∠FHG=67°， 过F作FN⊥HG于N, ∴.∠GFN= ×46°=28°，H=6N, 紧 an3 设NG=5xcm,则NF=12xCm, ∴.FG=13x(cm), 1 ∶X13 ∴.NG=5x= 5 cm.GH=- 10 3cm, .'EG=7cm, 8-器c 81 81 BB-12 cm,EC-BC. ∴.Rt△EBC≌Rt△EHC(HL), ..BC=HC, ,DE∥FG,∠FGH=67°， ∴.∠GEM=67°， .∠M=23°， tan23° 12,∠B=90°，∠M=90°， EH BC 量丽 tan23°7 设BC=HC=5xcm,则MB=12xcm, ∴.MC=13x(cm), 15 18x12 5x12×盟12X1354. 18 18 13 BC=54 5.(1)解：，四边形OABC是边长为2的正方形， .A(0,2),B(2,2). 二次函数y=+伽+c的图像经过点4Q2.B2,2).气号0小 9 a=- c=2 9 .{4a+b+c=2,解得b= 0a-2b+c=0 c=2 3 ∴该二次函数的解折式为=+}+2 8 41 如图，过点D作DG⊥BE于点G,则∠EGD=90°， B 8/ O D C ,四边形OABC是边长为2的正方形， ∴.OC=BC=2,∠BC0=90° ,OC是直径， 0C=cD=0c=1, 2 BD=OR+OD-+=3 BC=OB+0C=2+2-8 3 3 3 ∴.在RtABCE中，BE=√EC2+BC 8 3 29 ,∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°， .△EGD∽AECB, .DG DE 即 DG 3 2=0 3 ∴.DG=1. OD的半径是1，且DG⊥BE, ∴.BE是⊙D的切线。 (2)解：设直线BE的解析式为y=c+h, 直线g过点822.A（号0： [2k+h=2 3 k= -2k+h=0 解得， 3 h= 3 1 ∴.直线BE的解析式为y=二x+ 4 2 9 9 抛物线为y=-三x2+二x+2, 84 9 4 .对称轴为x=- -=1 9 2× (8 ,直线BE与抛物线的对称轴交点为P, 把c=1代入函数y=3x+, 5 4+2得= ,MN∥BE, ∴.MNC∽ABEC, 瓷 CN MC CN 1 3 Cw=4. 3 DN=4-1. 3 8号wm-仔-- S.MINC= 23 -24 5=8a+w5e=子+--+号0t<2 抛物线S=-旷+号(0<t<2)的开口方向向下， S存在最大值，当t=1时，S子 3 6.(1)连结OC,OW, BD=ED ∴.∠BCD=∠BAD, :'∠BCD+NAD=∠CAB, .∠BAD+∠NAD=∠CAB, .∠BAN=∠CAB, :∠BOC=2∠CAB, :∠BON=2∠BAN, .∠BON=∠BOC :∠BOC+∠AOC=180°，∠BON+∠AON=180°， .∠AOC=∠AON. ..AC=AN. B D 在CD上取一点G,使DG=DN,连接AG, AC=AN, ·Ac=AN .∠ADC=∠ADN, .AD=AD, .△ADG2AADN(SAS), .∠AGD=∠AND, ,∠AGD+∠AGH=180°，∠AND+∠ACH=180°， .∠AGH=∠ACH, AH⊥CD, .∠AHG=∠AHC=90°， AH=AH, .△AHG≌△AHC(AAS), .HG=HC, .CD-ND=CD-GD=CG=2CH. B (2)解：延长CB至Q,使BQ=CB,连接EQ, 作OR⊥AB交AB延长线于点R,连接NC交AB于点L,连接DO并延长交OO于点P,连接NP, ,M是CE的中点，BQ=CB, BM∥EQ, .∠BEQ=∠ABF, ∴.∠BEQ=∠CAB, :∠CAB=∠NAB,AN=AC, AB⊥CN, ∴.∠CLB=∠R=90° ∠CBA=∠RBQ,CB=OB ∴.△CBL≌△QBR(AAS), .CL=OR,BL=BR, .ACAL≌AQER(AAS), ∴.AL=ER, .LR=AE=18, ..BL=BR=9, BL 3 ∴.CoS∠CBL= BC-5' :AB为OO直径， .∠ACB=90°， :Rt△ABC中，cos∠ABC-BC=3 AB 5' AB=3BC=25, 3 :BE=AB-AE=7,LE=BL-BE=2,DP=AB=25. RACLE中，tan∠ICg-ZE_1」 CL 6 Rt△CLE中，CI+LE2=CE2, :sin∠LCE= LE 37 CE 37 DN=DN' ∠P=∠LCE, DP为OO直径， .∠DNP=90°， RtADNP中，sin∠P= DW√37 DP 37 DP=25, DW=2537 37