第1章 1.5 1.5.1 全称量词与存在量词-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，承接命题概念，系统梳理全称量词（如“所有”“任意”）与存在量词（如“存在”“至少”）的意义，明确全称量词命题（∀x∈M,p(x)）与存在量词命题（∃x∈M,p(x)）的定义、符号表示及真假判断方法，构建从概念到应用的学习支架。 资料以罗素理发师悖论情境引入，通过问题链驱动学生思考，结合丰富例题、变式训练及分层练习题，助力学生提升数学抽象（符号化表达）和逻辑推理（命题真假判断）素养。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，体现数学语言表达现实世界的学科特色。

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 课程标准 素养解读 1.了解命题的概念，能判断真假 2．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，重点提升数学抽象、逻辑推理素养 [情境引入] 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，他们说他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 这就是著名的“罗素理发师悖论”问题． [问题]　(1)文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？ (2)上述词语都有什么含义？ 提示：(1)任意一个，全部，每个． (2)表示某个范围的整体或全部． [知识梳理] [知识点一]　命题的概念　 [知识点二]　全称量词与存在量词　 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 　∀　 　∃　 1.常见的全称量词、存在量词还有哪些？ 提示：常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“凡是”等． 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． [知识点三]　全称量词命题与存在量词命题　 1．定义和表示方法 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有　全称量词　的命题，叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题，叫做存在量词命题 表示 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：　∀x∈M，p(x)　 存在量词命题“存在M中的元素x.p(x)成立”可用符号简记为：　∃x∈M，p(x)　 2.本质：全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”． 3．应用：全称量词、存在量词是数学和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语，数学中存在大量的全称量词命题和存在量词命题． 2.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？ 提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形、相应的集合M是这些元素的某一特定的范围，p(x)表示集合M的所有元素满足的性质，也可以用q(x)，r(x)等符号表示． [预习自测] 1．将“x2＋y2≥2xy对任意实数x恒成立”改写成符号形式为(　　) A．∀x，y∈R，x2＋y2≥2xy B．∃x，y∈R，x2＋y2≥2xy C．∀x>0，y>0，x2＋y2≥2xy D．∃x<0，y<0，x2＋y2≥2xy 答案：A 2．下列命题中，不是全称量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 答案：D 3．给出下列命题： (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x2＋x＋1≤0； (3)∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q. 其中真命题的个数为　________　. 答案：1 　 　　全称量词命题与存在量词命题的识别 [例1] 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． [思路点拨]　依据全称量词命题与存在量词的概念判断． [解析]　(2)(3)的存在量词“有的”“有一个”为存在量词命题，(1)(4)是省略了全称量词的全称量词命题． 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [提醒]　全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． [变式训练] 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)矩形有一个外接圆； (2)非负实数有两个平方根； (3)有一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立． 解：(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题． (2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题． (3)可以改写为“∃x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题． 　　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 [例2] 判断下列命题的真假： (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P. [思路点拨]　依命题真假的判断方法作出结论． [解]　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． 全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． [变式训练] 2．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题并判断其真假： (1)自然数的平方大于零； (2)存在一对整数x0，y0，使2x0＋4y0＝3； (3)存在一个无理数，它的立方有理数． 解：(1)∀x∈N，x2>0，因为0也是自然数，0的平方是0.所以，全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题． (2)∃x0，y0∈Z,2x0＋4y0＝3.由2x0＋4y0＝3，得x0＋2y0＝，若x0，y0∈Z，则x0＋2y0也是整数，不可能等于，所以，存在量词命题“存在一对整数x0，y0，使2x0＋4y0＝3”是假命题． (3)∃x0∈{无理数}，x∈Q，是无理数，()3＝3是有理数． 所以，存在量词命题“存在一个无理数，它的立方是有理数”是真命题． 　　　全称量词命题、存在量词命题的应用 [例3] (1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是　________　. (2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围． [思路点拨]　(1)∀x∈A＝{x|1≤x≤2}在一次函数y＝x＋m的图象，在x轴的上方，则1＋m>0. (2)由题意，分a＝0和a≠0两种情况讨论． (1)[解析]　当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}． [答案]　{m|m>－1} (2)[解]　由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． [变式训练] 3．(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围． 解：(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1. 1．下列命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0 B．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 C．∀x∈R，x2＞|x| D．已知集合A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B＝∅ 答案：B 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 答案：C 3．下列存在量词命题是真命题的序号是　________　. ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x，使x2＋2<0； ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 答案：①③④ 4．已知命题“∃x∈R,2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　________　. 答案：{a|－1<a<3} 5．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5<3－4m<x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解析：假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5<3－4m<x＋1”是真命题． 因为当x≥－时，x＋1≥， 所以－5<3－4m<，解得<m<2. 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－，－5<3－4m<x＋1”是真命题. 1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 答案：C 2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B. ∃x∈Z，x2>2 C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0 答案：B 3．下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－3x＋5＞0 B．任意两个无理数之和仍是无理数 C．∃x∈R，x2－3x＋＞0 D．至少存在两个质数的平方是偶数 答案：C 4．“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于(　　) A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C．∀x∈R，f(x)＞0成立 D．∀x∈R，f(x)≤0成立 答案：A 5．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3成立 B．对有些x∈R，使得x2＞3成立 C．任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 解析：ABD　[C选项是全称量词命题，A，B，D选项符合题意．] 6．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 解析：ABD　[A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD.] 7．下列命题中，是全称量词命题的是　________　；是存在量词命题的是　________　. ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案：①②③　④ 8．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是　________　. 解析：∵x≥3，∴2x－1≥5，∴m≤5. 答案：{m|m≤5} 9．若“∃x0∈R，ax＋2x0＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是　________　. 解析：当a≤0时命题为真；当a＞0时命题为真，必使Δ＝4－4a2＞0，即－1＜a＜1，∴a＜1. 答案：a＜1 10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2π. (2)有一个有理数x0满足x＝3. (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解：(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π， (2)∃x0∈Q，x＝3， (3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1. 11．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x，使得＝2. 解：(1)存在量词命题，用符号表示为“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”，是假命题． (2)全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． (3)存在量词命题，用符号表示为“∃x∈R，＝2”，是假命题． 12．对任意实数x，不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：不等式2x＞m(x2＋1)恒成立，即：不等式mx2－2x＋m＜0恒成立． (1)当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m＜0恒成立，则解得m＜－1. 综上可知，所求实数m的取值范围是{m|m＜－1}． 13．若∀m∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R； (2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ′＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立． 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.由(1)(2)同时成立，故实数a的取值范围为{a|－1≤a≤1}． 学科网（北京）股份有限公司 $