2026-2027学年江西省抚州市高二上学期数学开学自编模拟卷

**基本信息** 2026-2027学年抚州高二数学开学模拟卷，聚焦直线与圆、向量等核心内容，通过轨迹方程、切线问题等设计，考查数学抽象与几何直观，适配北师大版选择性必修第一册开学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线方向向量、圆的弦长、向量模的最值|结合两圆相切扇形弧长（几何直观）、多选型对称问题（推理能力）| |填空题|3题15分|直线斜率、圆的公切线、曲线距离|融入数学美情境（曲线最小距离）| |解答题|5题77分|轨迹方程、直线与圆相切、定点存在性|综合考查运算能力（如切线方程求解）与创新应用（曼哈顿距离探究）|

2026-2027学年江西省抚州市高二数学上学期开学自编模拟卷（北师大版2019） 一、单选题 1．已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 3．设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 4．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 5．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 6．如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 7．已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为．    8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 【答案】C 【分析】对于A，B选项，联立，化简即可求解，对于C，分别求出，，由四边形的面积等于即可求解；对于D，分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用圆的弦长公式化简可得，结合向量数量积不等式即可求出最大值. 【详解】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 二、多选题 9． (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AC 【分析】根据中点坐标公式求解判断即可. 【详解】两点关于对称，即为两点连线的中点. 选项A：和的中点为，A正确. 选项B：和的中点为，B错误. 选项C：和的中点为，C正确. 选项D：和的中点为，D错误. 10．已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（    ） A．直线恒过定点 B．若圆上恰有三个点到的距离为，则 C．若为等边三角形，则 D．若，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求出直线所过定点判断A；由圆到直线距离为求解判断B；利用圆的切线性质求解判断C；求出点的轨迹，再利用直线与圆有公共点求解判断D. 【详解】对于A，对任意实数，当时，恒有，因此直线恒过定点，A正确； 对于B，由圆上恰有三个点到的距离为，得，解得，B错误； 对于C，由为等边三角形，得，而，则，C正确； 对于D，由，得四边形是正方形，则， 点在以点为圆心，为半径的圆上，即直线与圆有公共点， 因此，解得或，D正确. 故选：ACD 11．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（   ） A．的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．到直线的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】由题意求出点的轨迹方程，可判断A；由，可由点的轨迹方程由得当的最大值，从而求得的面积的最大值，判断B；对于C，D，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，判断C；根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值，判断D. 【详解】点，，设， 由，得， 整理得. 所以A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即. 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 因为的面积为，所以当取最大值时，的面积取得最大值，最大值为. 所以B正确； 对于C，当共线时，； 当不共线时， . 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以. 所以.所以的最大值为.所以C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为； 当不共线时，点到直线的距离. 由选项C知，，所以，所以点到直线的距离. 综上点到直线的距离的最大值为.所以D正确. 故选：ABD.    三、填空题 12．直线的斜率与的斜率相同，则的值为________. 【答案】3 【分析】由直线的一般式可得两直线的斜率，由题意可得它们的斜率相等，由此即可求得的值. 【详解】直线的斜率为1， 所以直线：的斜率， 整理得，解得或3， 又因为，所以且，所以， 故答案为：3. 13．已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______． 【答案】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 则曲线上任意点到直线的距离， 结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 且到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为. 故答案为：. 四、解答题 15．求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）分直线经过原点、直线不经过原点两种情况讨论，根据条件求出方程即可； （2）得出直线斜率，利用点斜式求方程. 【详解】（1）当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 因直线过点，则直线的方程为； 当直线不经过原点时，若它在两坐标轴上的截距相等，则斜率， 因直线过点，则直线的方程为，即． 综上所述，所求直线方程为或； （2）因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为1或， 因直线过点，则直线方程为，即或． 16．已知圆过点且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)，或. 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法，结合圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆过点且圆心在直线上， 所以， 所以圆的方程； （2）由圆的方程可知，圆心的坐标为，半径为， 当直线不存在斜率时，直线的方程为， 把代入中，得， 此时直线被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线存在斜率时，直线的方程设为， 圆心到直线的距离为， 因为直线过点，且被圆截得的弦长为， 所以有， 此时直线方程为， 综上所述：直线的方程为，或. 17．已知点，点B为圆C：上的动点，D为的中点，记D的轨迹为曲线E． (1)求过点A且与曲线E相切的直线方程； (2)若点P在直线上，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，则，再代入圆C即可得到曲线E的方程，再设切线方程为，再根据圆的切线方程求解方式求解即可； （2）先求点A关于直线l的对称点为的坐标，再根据即可求解． 【详解】（1）设，则，代入圆C的方程整理可得曲线E的方程为． 由题可知切线的斜率必存在，设切线方程为，即， 则圆心到切线距离，解得或， ∴所求直线方程为或； （2）设点A关于直线l的对称点为， 则有，解得， 曲线E的圆心为，半径为， ∵， ∴当且仅当P，，D，F四点共线时，取得最小值为． 18．已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. (1)求圆C的方程； (2)设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①②存在， 【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程； （2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可. 【详解】（1）由题意可设圆C的圆心C的坐标为，∵圆C的圆心C在直线上， ∴，解得：，即圆心为， ∴圆心到直线l的距离为， 设圆C的半径为r，则弦长为，由已知得 所以，所以圆C的标准方程为； （2）①设，，则，， 由得：，所以 D在圆C上运动， 整理可得点T的轨迹方程E为：    ②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB， 当直线AB斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为， 联立化简可得， 方程的判别式 ， 设，，，则 ， 若x轴平分∠ANB，则，所以， 又，，所以， 所以， 所以 所以 解得， ∴存在时，能使x轴平分∠ANB. 19．已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，能成立，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由①可得，圆，设，从而，由，在圆上，解关于的方程组并化简，转化为直线和圆有交点的问题，可得，结合“曼哈顿距离”的定义表示并计算得到两点的“曼哈顿距离”，最后由满足的不等式求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为. 所以过点的圆的切线方程为或. （2）①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知，，，所以点，圆， 设，是线段的中点，则， 又，在圆上，即关于的方程组有解， 化简得有解， 即直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离， 化简得：，解得， 又，，由“曼哈顿距离”的定义知两点的“曼哈顿距离”为 ，因为， 所以， 解得， 又能成立，且恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江西省抚州市高二数学上学期开学自编模拟卷（适用于：北师大版 选择性必修第一册） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 7．已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9． (多选题)下列选项中两点关于对称的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（    ） A．直线恒过定点 B．若圆上恰有三个点到的距离为，则 C．若为等边三角形，则 D．若，则的取值范围是 11．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则（   ） A．的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．到直线的距离最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的斜率与的斜率相同，则的值为________. 13．已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）求适合下列条件的直线方程： (1)经过点，且在两坐标轴上的截距相等． (2)经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 16．（15分）已知圆过点且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 17．（15分）已知点，点B为圆C：上的动点，D为的中点，记D的轨迹为曲线E． (1)求过点A且与曲线E相切的直线方程； (2)若点P在直线上，求的最小值． 18．（17分）已知圆C的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，圆C被直线截得的弦长为4. (1)求圆C的方程； (2)设点D在圆C上运动，且点T满足，（O为坐标原点）记点T的轨迹为E. ①求曲线E的方程； ②过点的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，能成立，且恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $