江西省赣州市2025-2026学年高二上学期开学摸底考试数学模拟试卷

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：北师大版2019必修第二册第一章~第六章（平行关系） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1.已知复数2=2+1 1-i 则z的实部与虚部的差为() 3. 1 A.-1 B.1 2 2 2.“α是第四象限角是：？是第二或第四象限角的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 3.已知a6,c分别为△ABC的三个内角4，B,C的对边，若iC-sinB_a-b 则C=() sin A c+b A, 6 B.4 c. D. 5π 3 12 4.设a= 2cos36-号sin36, b 2tan16 1-c0s52° 1+tan216’c= ,则有() A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 5.光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年(1374年)，它是迄今为止全国现存古代建筑 中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱 台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m,下底面边长约为34.5m,高约为9m,则该墩台的斜高约为（参 考数据：√1321≈36.35)() A.9.1m B.10.9m C.11.2m D.12.1m 1/20 6.己知sina-+cosa= 3 sinacosa,sina+cosa= 4 A.3 B.3 c.-3 3 4 3 n月 7.(2025山东淮坊·开学考试)在△ABC中，2BD=BC,3BE=BA,且CE与AD交于点P,若 CP=xCA+yCB(x,y∈R),则x+y=() D.1 8.已知函数f)= -sinx cosx- n'x+,记方程f(x)=2在x∈ π19元 6’8 上的根从小到大依次为 2 4 6 5,x2,x,则x+2x2+2x3++2x1+x的值为（) A.29n B. 32π C.34r 37π D. 3 3 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 2 9,(2025甘肃张披：开学考试)已知复数21+V'其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（） A.复数z的共轭复数的模为1 B.复数z在复平面内对应的点在第一象限 C.复数z是方程x2+x+1=0的解 D..=1 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为4，b,c,则下列说法正确的是() A.若sin2A<sin2B+sinC,则△ABC是锐角三角形 B.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB 若b=4,c三3，C=及，则满足这组条件的三角形有 D.若c2-b2=ab,则C=2B 11.己知正方体ABCD-ABCD中，AB=2,点M,P,N分别是线段CD,CC,AD的中点.则以下选 项正确的是() D M A B P D N B A.直线MP∥平面ABC B.平面MPNI∥平面ABC 2/20 C.直线AM、BP、B,C三线共点 D.过M,N,P三点作正方体的截面，截面的周长为√2+2W10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(225照龙江大庆开学考试)已知m+哥引子则？ 13.己知△ABC是边长为4的正三角形，点P为△ABC内一点，且PA+2PB+3PC=0,则PA.PB等于 14.(2025·河南许昌·开学考试)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F 在棱BC上，满足C=2B,G在棱PB上满是D,2,R,G四点共面，则P阳的值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤 15.(13分)（2025·江苏南京·开学考试)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 √3 asin C+acosC-b=c. (1)求A; (2)设AB的中点为D,若CD=a=√7，求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，M为BC边中点，N为AC边上靠近点C的 三等分点，线段AM、BN相交于点P. (I)求M.BN的值； (2)求∠MPN的余弦值. R 17.(15分)(2025湖南邵阳·开学考试)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB 的中点. (1)求证：BC1//平面A1DC; (2)求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值. 3/20 18.(17分)(2025安徽马鞍山开学考试)如图，某公园有一块扇形人工湖OMN,其中圆心角∠MON=严 半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形ABCD(四个顶 点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为△DAM,记∠MOD=. (1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. (2)若在OA的位置架起一座观景桥，己知建造观景桥的费用为每千米8万元（不计桥的宽度）；且建造观景 台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围。 D a B AM 19.(17分)定义：区间[m,n]的长度为n-m,区间，n[a,b的长度为n-m+b-a. 0记不5式-合君引号a业的解装为A,求的长度 1 (②已知2<a<2,函数f(闭=(2sinr-a(2 it+-). ①求f(x)在[0,2π上的零点之和： ②若不等式f(x)≥0在[0,2π]上的解集为B,求B的长度的最大值. 4/20 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.已知复数z= 则：的实部与嘘部的差为() 2+i A.-1 B.1 1-3 C.22 3-1 D.22 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算得出复数的实部及虚部即可求解 【详解】化简复数，得到：+：所以复数：的实部为，童部为号 则：的实部与虚部的差为} =-1. 22 故选：A 2.“a是第四象限角”是是第二或第四象限角的() 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断 【详解】当u是第四象限角时，3+2kr<a<2π+2kπ，k∈Z,则3+k红<g<r+kπ，k∈Z,即g是第二 4 2 或第四象限角当父为第三象限角，但α子不是第四象限角，故“α是第四象限角”是令是第或第 四象限角”的充分不必要条件， 故选：A 3.已知a,6c分别为△ABC的三个内角AB,C的对边，若snC-sinB_a-b c+b' 则C=() sin A B.4 c 5π D. 【答案】C 【分析】根据正弦定理，由角化边，得到a2+b2-c2=ab,再根据余弦定理求出C. 【详解】根据已知条件snC-sinB=a-b ac+b a+b-c=ab, A=c+→得—6-a-6 :.c0sC-abi-c-ab=1.C= 2ab2ab 2 31 故选：C 5/20 4.设a=5cs36n36,b-中m16,c 2tan16° 1-cos 52 则有() A.a>b>c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简a、b、C,结合正弦函数的单调性可得出a、b、c的大小关系。 【详解】a=5cos361sn36=sin60c0s36-c0s60sn36=s60-30=si24, 2 2sin16 2tanl6° c0s16° 2sin16°cos16° b= =sin32°， 1+tan216 1+ sin216 sin216°+c0s216 cos216 1-cos 52 (1-2sin226°） sin26°， 2 2 因为函数y-mx在(0》上为增函数，且0<24<26<32<90， 故sin24°<sin26°<sin32°，即a<c<b 故选：C 5.光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年(1374年)，它是迄今为止全国现存古代建筑 中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜之誉光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱 台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m,下底面边长约为34.5m,高约为9m,则该墩台的斜高约为（参 考数据：V1321≈36.35)（) A.9.1m B.10.9m C.11.2m D.12.1m 【答案】A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可 【详解】如图所示，设该正四棱台为ABCD-AB,CD,上下底面中心分别为O,O, 分别取BC,BC1的中点E,F,连接OO,OF,OE,EF， 在平面OOFE内，作FH⊥OE交OE于H, 6/20 D C 则00-9,0g-4B-1725,0P-号4B-16, 显然四边形OOFH是矩形，则FH=OO=9,OH=OF=16, 所以EH=OE-OH=1.25= 4 在直角△FHE中，EF=√FH+EH /92 (s) √132136.35 4 4 9.1 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 6.己知sina+cosa= -sinacosa,sing+cosa=( 4 A.3 B C.、3 3 4 3 D._ 【答案】D 【分析】由题意得sina+cosa= 3 (sina+cosa)2-1 ，解一元二次方程即可得解。 4 2 【详解】因为sinacosa (sina&+cosa'-1,所以sina+cosa= 3 (sina+cosa)2-1 2 4 化简得3(sina+cosa)2-8(sina+cosa)-3=0, 1 解得sina+cosa=- 3 或sina+cosa=3(舍去). 故选：D 7.在△ABC中，2BD=BC,3BE=BA,且CE与AD交于点P,若CP=xCA+vCB(x,y∈R),则x+y= () 2 A5 3 4 B. C. D.1 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理得到AP=2AD,CP=CE,利用CA、CB分别表示出CP,再根据平面 向量基本定理得到方程组，解得入、山，再代入计算可得 【详解】因为2BD=BC,3BE=BA, 7/20 所似c而号，正=， 依题意A、P、D三点共线，故AP=1AD, 所以CP=CA+AP=CA+AD=CA+CD-CA) -aA而a-m1-ca C、P、E三点共线，故CP=CE, 则=@+)u@+亚网+ =ui+a西-网列c1+u西， y u1- 4 1= 5 所以 ·解得 3 =5 x= 所以CP=2cB+上cA,又C=xC+C丽，所以 y= 5 所以号 D B E 故选：B 8已脚腰数创9morn一比调君在居 上的根从小到大依次为 6’8 x1,x2,Xn,则x+2x2+2x+…+2x1+x的值为() A. 29r B. 32元 37π D. 3 3 C.34r 3 3 【答案】C 【分折】由辅助角公式格方程转化成m(2x君-兮：再结合正弦函数图像及对称性求解即可 8/20 【详解】fx)=5s 号inx co--nx+子单m2x+子o2x-2m+ 1 1 2 4 2 66 即si血2x+=} 63 π19π ',x∈ 68 2x+∈「59元 6 2'12 令0=2x+6 则8∈ π59r 212 函数y=sin0在日e π59π 212 上的图象如下图所示， y=sing 3π 7π y3 元22元f3元24元大 025π0 7049π055π0 1 由图可知，y=血8与y=3共有5个交点， 所以： 其中6+02=3元，0+6=5π，6+0=7m,0,+0=9m, 即2++2，+君3元2%++2%+85元2%+君+2+君-7,2%+2+名-9， 6 6 6 解得经否名19 3 3 所以x+2x2+2x3+L+2x4+x=(化+x2)+(2+x)+(+x)+(4+x)= 34π 3 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数：= 2 1+,其中1为虚数单位，则下列结论正确的有() A.复数z的共轭复数的模为1 B.复数z在复平面内对应的点在第一象限 C.复数z是方程x2+x+1=0的解 D.s三=1 【答案】AD 【分析】先将复数二化简后，再逐个分析判断即可 20-m=20-3-151. 【详解】三=1+5i1+V300-6 422 9/20 对于A,因为：-}5，所以：=5，所以日 1, 所以A正确， 22 2 2 2 对于B,因为：=15 i,所以复数z在复平面内对应的点 1V3 在第四象限，所以B错误， 22 2-2 对于C,因为z2+z+1 +1=1-5i-3+15i+1=-5i+1≠0. -1- 42422 所以复数z不是方程x2+x+1=0的解，所以C错误， 对于D,因为z 故选：AD 10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若sin2A<sin2B+sin2C,则△ABC是锐角三角形 B.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB C。若b=4,c=3,C-子则满足这组条件的三角形有两个 D.若c2-b2=ab,则C=2B 【答案】BD 【分析】由正弦定理化角为边可得a2<b2+c2,结合余弦定理可得A为锐角，举反例判断A,根据条件可得 0<A<行，0<B<号A+A>子，结合正弦函数性质及诱号公式判断B,根据正弦定理解三角形求mB, 2 2 根据结果判断C,由条件结合余弦定理可得a-b=2 cosC,根据正弦定理化边为角，化简可得C=2B,判断 D. 【详解】设△ABC的外接圆半径为R, 白正孩定可得血4及m8员，mC=京 对于A,因为sim2A<sim2B+sim2c,所以a2<b2+c2, 由余弦定理可得cos4=+c-a>0,又A∈(0，， 2bc 所以A为锐角，由于无法确定B,C的大小，故无法判断△ABC是否为锐角三角形， 例如：当A=名B-名C=受时，mA<如8+mC,此时△ABC为能角三角形，A错误， 3 对于B,因为△ABC是锐角三角形， 所以0A号0<B<号AB>受 所以4>B,0<B<0<4<经 10/20