江西省九江某校2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试卷

2025年秋季学期高二开学质量检测卷 数学参考答案 1.B由题意得之=2i一2=2+2i,则|x|=√/2+22=2√2. 2.C 3.A由余弦定理得AC=/3+4-2×3×4×(-)-√37. 4.C易得OC⊥OA,OC=O'C'=4,OA=20'A'=2√6，则S=OC·OA=4×2√6=86. 5.C如图，连接AC交BD于点E.易得AC⊥BD,AC⊥DD1,DD1∩BD= D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AE的长即为直线AA1到平面BDD1B1A 的距离.因为AC=√(W2)2+(W2)2=2,所以AE=1. 6.B由题意可得9停s。一名ma）一合me十停ose,即4omsa 5sina,所以tana=sinc_4V3 cos a 5 7.B画出示意图，如图所示，则PM=40海里，∠PMC=90°-75°= 15°，∠MPC=90°+45°=135°，所以∠PCM=180°-135°-15°=30°， 根据正弦定理可得 in30°=sin135,解得MC=√2MP-402海里， 40 MC M 则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40√2海里. 8D易得-A+萨-店+号成-店+号（衣-）-号店+号-青市十 3A应.因为D,F,E三点共线，所以哈x+号y=1,所以x十y=5. fm-4=0, 9.ABD若之为实数，则一m=0,即m=0,A正确.若x为纯虚数，则 解得m=4,B 一m≠0， 正确.若复数之的实部与虚部相等，则m一4=一m,解得m=2,则之=一2一2i,x=一2十2i,C |m-4>0, 错误.若之在复平面内对应的点位于第一象限，则 不等式组无解，所以之在复平面 -m>0, 内对应的点不可能位于第一象限，D正确， DBCD图可知A=2W3.号MN=2B,则MN- 3×2=4,得T-2x-8,解得 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 w-于，A错误.因为线段MN的中点坐标为(3,0)，所以平×3+g-受+2x(k∈Z),解得 9=-至+2kxk∈Z,因为1g<受，所以9=一至，B正确.因为f(7)=25sim(2经-） =25sm--2,5,所以直线x=7为f(x)图象的一条对称轴，C正确.f(x+2) 25sin(于x+纤-)=25sm(平x+）,D正确， 11.ACD 根据题意可得直线AH与直线DD1所成的角为∠AHD,则 tan∠AHD= 品=1am牙-1，所以AD=DH,因为AD=AB=4,所以 A B DH=4,A正确.连接AD.VcA,H=VHA,Be=VHA,cn=VCAHD=3X 合×4X4X4=号，B结误.连接AC.因为A,A1底面ABCD,所以直线 A,C与底面ABCD所成的角为∠A,CA,cos∠A,CA=AC 4√2 AC√42)2+8 3,C正确. 取BB,的中点M,连接A,M,MC,HM,易得AM∥HC,AHMC,所以四边形AMCH 即为平面A,HC截正四棱柱ABCD-A,B,C1D1所得的截面，且四边形A,MCH的面积为 号A,C·MH=号×8++FX42=165,D正确. 12.√2 设球O的半径为R,则4πR2=8π，解得R=√2， 13.9 根据题意可得BC·BP=|BC1IBP1·cos∠CBP=BCI?=9 14. 任 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系 求斜率范围 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围， 【解析】如图所示，直线l与线段AB没有公共点，若α为直线l的倾斜角， 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 直线1可从直线P8逆时针旋转到直线PA的位置，注意包含直线1倾斜角为C的情况 4=42-1,k。02 -1-1=1, 0-1 直线1的区域包含倾斜角为二的情况， 斜率k<k4=-1或k>k阳=1，从而tana<-l或tana>l, 又a∈[0，)，结合正切曲线可得a44 π3π 15.解：(1)由题意得a-b=(x-1,-x),… …1分 则(x-1)2+(-x)2=1,即2x(x一1)=0， 2分 解得江=1或0.…3分 因为a为非零向量，所以x≠0，所以x=1.……4分 (2)由(1)得a=(1,0),b=(1,1),所以a=1,b|=√2，a·b=1,…6分 所烈omab一合洛克号 …8分 因为a,b)∈[0，]，所以(a,b)-开，即向量a,b的夹角为平 ……9分 (3)向量a在b方向上的投影向量的模为6一方2 a·b1_12 ……13分 11得：因为是+A-_生新以2+e- sin C sin B bc b bc ,…2分 则b2+√3ac=a2+c2.… 4分 由余弦定理可得coSB=Q十c-b25 6分 2ac 又因为0<B<π，所以B=T」 6 8分 (2)证明：因为sinA=√5sinC,所以a=√3c,…10分 又b2十√5ac=a2+c2,所以b2十3c2=3c2十c2,即b=c,…13分 所以△ABC为等腰三角形.… ....... 15分 l7.解：(1)tan(&一B)=1十tan atan tan a-tan B +日 …3分 1+号×(- 1-cos2a_1-(1-2sin2a) 1 (2) …7分 sin 2a 2sin acos a =tan a- 3 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 （8X方法一)油(1)得1ana-B)-2·则tam2a-2p》=-a㎡(a-月)1- 2tan(a-B) 1 3… 4 …9分 41 所以tan(2a-g)=tan(2a-23+B)=-an(2a-29)·tanB tan(2a-28)+tan B 37 1-×(-》 12分 因为ana=号<1，所以a∈(0，)，2a∈(0，）， 13分 因为8（受），所以一B(-元，-罗），所以2a一（一元，0，… 14分 所以2a-日=-3 15分 2 (方法二)因为ana-了，所以1an2a 2tan a 3 …9分 1-tan'a 1-(3 所以an(2a1+an2a·1an91+3×(-) 0000000000年0000000000000000000 12分 因为ane=号<1，所以a∈(o,),2a∈(0，》， …13分 因为B∈(，x),所以-B∈(-元，-受），所以2a一B∈（一元，0， …14分 所以2a-8=-3r …15分 18.(1)证明：连接AD1.因为AA1⊥底面ABCD,所以AA1⊥CD.…1分 因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD,又AD∩AA1=A,所以CD⊥平面AD1DA, …2分 因为AEC平面A1D1DA,所以CD⊥AE.…3分 易得AD1=√A1A十A1D?=√48十16=8，则AD1=AD,因为E为侧棱DD1的中点，所 以AE⊥DD1…4分 因为CD∩DD1=D,所以AE⊥平面CDD1C1.…5分 (2)解：过点E作EM∥AA1,EM∩AD=M,过点M作MK⊥AC,垂足为K,连接EK. 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 因为AA1⊥底面ABCD,所以EM⊥平面ABCD,所以EM⊥AC.·6分 因为MK⊥AC,EM∩MK=M,所以AC⊥平面MEK.…7分 因为EKC平面MEK,所以AC⊥EK,则∠MKE为二面角E-AC-D的平面角.·8分 因为EBM=25,MK-×BD=3E, …9分 所以an∠MKE-张一令，即二面角EAC-D的正切值为号 EM√6 …10分 (3)解：在线段D,C上存在点H,使得平面BHD⊥平面AEC,且 DH 1 HC 2 11分 证明如下： 取AD的中点O,连接OC交BD于点N,连接HN,OD1 易得D1O∥A1A,因为AA1⊥底面ABCD,所以D1O⊥平面B ABCD. 12分 ON OD 1 DH 因为XC一B2HC,所以D,0/HN,所以HNL平面ABCD,.13分 因为ACC平面ABCD,所以HN⊥AC.… 14分 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC, 15分 因为HN∩BD=N,所以AC⊥平面BHD,… …16分 因为ACC平面AEC,所以平面BHD⊥平面AEC,所以在线段D1C上存在点H,使得平 面BHDL平面AEC,且HC-之： DH_1 …17分 19.解：(1)由题意，得f(x-)+g(x-）=cos(x-)+sin(x-）=sinx-cosx,… …1分 则h(x)=(cosx十sinx)(sinx-cosx)=sin2x-cos2x=-cos2.x,…3分 由x[花若]得2x[-吾]… 4分 则c0s2.x∈号，l 5分 故hx)的值鼓为-1，号]， …6分 (2)k()=[l cos xl-sin x]sin xl+cosx]=sin xcos xl+cos xl cos l-sin x lsin S1 n xcos乙.* 年中●年。。年中。。年。0年00年。00.0年40。年0.0.0。。年。。。单0。年0。。。年年。。年。。。●年。●年来丁入 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ①当x∈[2x,2x+2](k∈Z时，sinx≥0.c0sx≥0， 则k(x)=C0s2x一Sinx=c0s2x,k(x)单调递减，…8分 所以k(x)m=g(2k元十）=-1，b(x)x=k(2k)=1.… 9分 ②当x∈[2k元+受，2kx+元](k∈Z)时，sinx≥0，cos≤0， 则）=-2 in1osx-nx=-n2x-1,k)在[2x+艺，2kx+](k∈ Z上单调递塔，在2kx+交2kx十]以∈Z上单洞递减，…10分 所以k(r)m=k(2km+）=k(2kx十x)=-1,gx)=g(2kx+）=0.…11分 ③当x∈[2kx十，2kx+3](k∈ZD时，mx<0os0, 则k(x)=sinx一cos2x=一cos2x,k(x)单调递增， …12分 所以k（x)m=k(2k十)=-1，k（x)-(2k+）=1.13分 ④当x∈[2kx+经，2kx+2]∈Z时，sinx0,cosx≥0， k(x)=-2 sin zcos+simx+c0sx=1-sin2x,k(x)在2kx+3次，2kπ+号 7kr(k∈Z) 4 上单调递增，在[2kx+乐，2kx十2x]k∈Z上单调递减… …14分 所以k(x)m=k(2k+）=k(2kπ十2x)=1,k(x)=k(2k元+7T)=2.…15分 因为a,b∈R,Hc∈R,k(a)≤k(c)≤k(b),所以k(a)=k(x)mm=-l,k(b)=k(x)mx=2, 所以当a一6取最小值时，a一1-至-。-竿 …17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】2025年秋季学期高二开学质量检测卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册、选择性必修一第一章第一节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的： 1.若复数x=2i(1-i),则|x|= A.√2 B.2√2 C.2 D.4 2.已知A(-2,3)、B(2,1),若斜率存在的直线1经过点P(0,-1),且与线段AB有交点，则1的 斜率的取值范围为 A.[-2,1] B.[-1,2] C.(-n,-2]U[1,+o) D.(-0,-1]U[2,+0) 3.在△ABC中，∠ABC-5,AB=3,BC=4,则AC A.√/37 B.13 C.√31 D./19 4.如图，平行四边形OA'B'C'是水平放置的四边形OABC的直观图，OC'=4,OA'=√6，则四 边形OABC的面积S= A.46 B.8/3 A C.8√6 D.166 5.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为2，则直线AA1到平面BDD1B1的距离为 A.2 B.√2 C.1 D.2√2 6.已知9cos(a+)=sin(e+5),则tana 4 A.5 B.4/3 5 C.、43 D 53 5 12 【高二数学第1页（共4页）】 7.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东 北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航 行的最短距离是 A.20√2海里 B.40√2海里 C.403海里 D.30海里 8.如图，设店=A心.衣-花，线段DE与BC交于点F,且序=号BC则4x+y A.4 B.3 c B F D.5 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若复数x=m一4一mi(m∈R),则 A.当之为实数时，m=0 B.当之为纯虚数时，m=4 C.当之的实部与虚部相等时，x=2一21 D.之在复平面内对应的点不可能位于第一象限 10.已知函数f(x)=Asin(wx十p)(A>0,w>0,pl<)的部分图象 2 如图所示，其中△CMN为等边三角形，点M的坐标为(1,0)，则 Am=君 B9=-子 C.直线x=7是f(x)图象的一条对称轴 D.将∫(x)的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数g(x)=2Bsim(不x+不)的 图象重合 11.在正四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，AA1=2AB=8,点H在棱DD1上，且直线AH与直线 DD1所成的角为于，则 A.DH=4 B,三棱锥CAB1H的体积为26,5】 C,直线A,C与底面ABCD所成角的余弦值为】 D.平面A1HC截正四棱柱ABCD-A,B1C1D1所得截面的面积为16√3 【高二数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若球O的表面积为8π，则该球的半径为 13.在矩形ABCD中，BC=3,P为边CD上一点，则BC·BP-▲ 14.经过点P(0,-1)作直线1，若直线1与连接点A(1,-2),B(2,1)的线段没有公共点， 则直线I的倾斜角α的取值范围是▲· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知非零向量a=(x,0),b=(1,x),且|a-b|=1. (1)求x的值； (2)求向量a与b的夹角； (3)求向量a在b方向上的投影向量的模， 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为abc,且m+a十C bc (1)求B的大小； (2)已知sinA=√3sinC,证明：△ABC是等腰三角形， 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知ana号tam月=号，且a∈(o,受)9e(受x). (1)求tan(a一B)的值； (2)求气2的值： sin 2a (3)求2a-3. 18.(17分) 在四棱台ABCD-A,B,C1D1中，AA,⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，E为侧棱DD1 的中点，AD=8,A1D1=4,AA1=4√5. (1)证明：AE⊥平面CDD1C1. (2)求二面角E-AC-D的正切值 (3)在线段D,C上是否存在点H,使得平面BHD⊥平面AEC?如果存在，求HC的值：如 DiH 果不存在，请说明理由. B C 19.(17分) 已知函数f(x)=cosx,g(x)=sinx. (1设函数h(x)=[fx)+g(x]·[/(x-)+g(x-)]x∈[-是，石]，求h(x)的 值域。 (2)设函数k(x)=[lf(x)-g(x)]·[f(x)+|g(x)I门.已知a,b∈R,Hc∈R,k(a)≤ k(c)≤k(b),求|a-b|的最小值. 【高二数学第4页（共4页）】