第四章 基本平面图形 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 基本平面图形 知识归纳与题型总结 题型01 线段，射线，直线 一、直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示． 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量．“延长直线”的说法是错误的． 二、射线 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示． 2. 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 三、线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 3. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 6. 点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说成直线经过点或直线不经过点． 7. 线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算． 8. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 9. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 【典例1-1】在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【典例1-2】同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【典例1-3】一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 题型02 角 1、 角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 2、 角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 3、 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 4、 角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 5、 角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 6、 角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 【典例2-1】利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【典例2-2】如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【典例2-3】如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 题型03 多边形和圆的初步认识 1、 多边形及有关概念 1. 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形． 2. 如下图，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点；线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角）；AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线． 3. 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形． 2、 圆 1. 如下图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径． 2. 圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角． 【典例3-1】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【典例3-2】下列叙述正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3次； B．在数轴上，点、分别表示有理数、．若，则A到原点的距离比B到原点的距离大； C．从八边形的一个顶点出发，最多可以画六条对角线； D．六棱柱有8个面，24条棱； 【典例3-3】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形，该多边形有______条对角线． 一、选择题 1．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 3．银川葡萄酒储存使用圆柱形酒桶，侧面镶嵌最短金属箍，沿母线剪开侧面，展开图正确的是（     ） A． B． C． D． 4．以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 5．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和即（    ） A． B． C． D． 10．如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 二、填空题 11．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 12．如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 13．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 14．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 15．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是___________． 三、解答题 16．完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 17．完成以下问题： (1)如图1，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． (2)如图2，利用直尺和圆规，以点为顶点，射线为一边，作出． 18．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 19．如图，线段，，点是的中点． (1)求线段的长度； (2)在上取一点，使得．求的长． 20．已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 第四章 基本平面图形 知识归纳与题型总结 题型01 线段，射线，直线 一、直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示． 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量．“延长直线”的说法是错误的． 二、射线 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示． 2. 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 三、线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 3. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 6. 点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说成直线经过点或直线不经过点． 7. 线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算． 8. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 9. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 【典例1-1】在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 【典例1-2】同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【答案】或 【分析】需要根据三点在同条一直线的位置关系分类讨论求解，先根据中点性质求出的长度，再结合已知条件求出和的长度，最后分情况计算的长度． 【详解】解：点是的中点，厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 当点位于点的左侧，三点顺序为时， 厘米； 当点位于点和点之间，三点顺序为时， 厘米； 综上所述，线段的长为或． 【典例1-3】一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 【答案】12 【分析】车票是有方向的，从站点A到站点B与从站点B到站点A属于不同的车票，每个站点均可作为起点前往其余 个站点，利用计数原理计算总数即可． 【详解】解：由题意可知，一条铁路线上有4个站点， 每个站点都可以作为起点， 对于每一个起点，除自身外还有 个站点可以作为终点， 所以一共要设计的车票种数为：． 故答案为：12． 题型02 角 1、 角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 2、 角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 3、 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 4、 角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 5、 角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 6、 角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 【典例2-1】利用一副三角尺的两个角拼叠一次，能画出不同度数的角，下面不符合的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一副三角尺包含一个、、三角板和一个、、三角板，可用角度为、、与、进行拼接重叠．拼叠一次指将两个角的度数相加或相减得到新角度． 【详解】解：一副三角尺拼叠一次可得到以下角度（列举部分）： 加法：，，，，，． 减法：，（结果为正且有效）． A．可由得到，符合； B．无法由、、、中任意两个角度的和或差得到，因此不符合． C．可由得到，符合； D．可由得到，符合． 【典例2-2】如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】 /120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 【详解】解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【典例2-3】如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 题型03 多边形和圆的初步认识 1、 多边形及有关概念 1. 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形． 2. 如下图，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点；线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEA是多边形的内角（可简称为多边形的角）；AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线． 3. 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形． 2、 圆 1. 如下图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径． 2. 圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形；顶点在圆心的角叫作圆心角． 【典例3-1】如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 【典例3-2】下列叙述正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3次； B．在数轴上，点、分别表示有理数、．若，则A到原点的距离比B到原点的距离大； C．从八边形的一个顶点出发，最多可以画六条对角线； D．六棱柱有8个面，24条棱； 【答案】A 【分析】本题考查单项式，有理数与数轴，多边形的对角线，棱柱，根据单项式的系数和次数定义、数轴上距离的含义、多边形对角线的计算以及棱柱的面和棱数量进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3次，正确，符合题意； B、在数轴上，点、分别表示有理数、．若，则A到原点的距离比B到原点的距离大；原说法错误，不符合题意； C、从八边形的一个顶点出发，最多可以画条对角线，原说法错误，不符合题意； D、六棱柱有 个底面和 个侧面， 共 个面， 但棱数为 条，原说法错误，不符合题意； 故选A． 【典例3-3】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形，该多边形有______条对角线． 【答案】 七 14 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以． 即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线． 故答案为：七；14． 一、选择题 1．如图所示，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 又， ， ， 射线所在的方位是北偏西． 3．银川葡萄酒储存使用圆柱形酒桶，侧面镶嵌最短金属箍，沿母线剪开侧面，展开图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图是长方形，结合“两点之间，线段最短”，确定和是线段． 【详解】圆柱的侧面展开图是长方形，点C是展开的长方形的边的中点， ∵侧面镶嵌最短金属箍， ∴展开后A与C的金属箍应是两条线段． 故选：A． 4．以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据反比例关系的判定，线段性质，角度换算，代数式的意义，直线的性质逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①：∵总质量=装箱数×每箱质量，总质量一定，即装箱数与每箱质量的乘积为定值， ∴装箱数与每箱质量成反比例关系，故①正确.； ②：“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点之间，线段最短”，不是“两点确定一条直线”，故②错误； ③：∵，， ∴，故③正确； ④：代数式的意义是与的和的倍，故④正确； ⑤：钉两个钉子固定木条，依据是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故⑤错误； 综上，正确的说法为①③④． 5．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 6．将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解． 【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ， 三角板在直线上的角为 ， ∴ 与 的邻补角构成直角， ， ， ， ． 7．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查射线、线段、两点间距离、线段中点的基础概念，只需根据对应定义逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①∵射线的端点是A，射线的端点是B，端点不同，延伸方向也不同， ∴二者不是同一条射线，说法①错误； ②∵两点之间，线段最短，直线不可度量，∴说法②错误； ③∵连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，不是线段本身，∴说法③错误； ④∵根据线段中点的定义，若点P是线段的中点，则，∴说法④正确； 综上，正确的说法只有1个，故选A． 8．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 9．如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和即（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算和线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键； 根据线段之间的关系求得，，从而得出规律，进而可以代入求值，即可求解． 【详解】解：∵，、分别是线段和的中点， ∴； ∵、分别是线段和的中点， ∴， 根据规律得到； ∴， 故选：B． 10．如图，直线，点、、在直线上，直线上有4个点，将点、、与直线上的4个点分别相连，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段交点问题．画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，在直线、之间（不包括在直线、上）有个交点，则的最大值为18， 故选：C． 二、填空题 11．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 12．如图，请准确描述：科技馆在小方家______方向______处． 【答案】 北偏东 800 【分析】先求出，，得到科技馆在小方家北偏东方向处，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴科技馆在小方家北偏东方向处． 13．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 14．汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 【答案】/度 【分析】利用角的和差进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是___________． 【答案】406 【分析】设，则第1种第倍小角为，第2种第倍小角为，第3种第倍小角为，先得到三种分法中无同时重合情况，再看每两种分法重合情况，从而得出的内部射线总数量为条，即可得解． 【详解】解：设， 第1种是将分成10等份，中间有9条射线，每个小角度数为， 第2种是将分成12等份，中间有11条射线，每个小角度数为， 第3种是将分成15等份，中间有14条射线，每个小角度数为， 则第1种第倍小角为，第2种第倍小角为，第3种第倍小角为， 若3种射线同时重合，则， 此时，除、外没有重合； 若第1种射线和第2种射线重合，则， 此时，即第1种第5条射线和第2种第6条射线重合，共重合1条射线； 若第1种射线和第3种射线重合，则， 此时，即与重合，共重合4条射线； 若第2种射线和第3种射线重合，则， 此时，即与重合，共重合2条射线； 则在的内部共有射线条， 所有这些射线连同､可组成的角的个数是． 三、解答题 16．完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)；． 理由见解析 【分析】（1）欲求，需求，已知，需求，由中点的性质可知，， 已知，从而求解即可，由即可得解； （2）欲求，需求，已知，需求，由角平分线的性质可知，， 即可得解；与同理可证． 【详解】（1）解：∵，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， ； （2）解：射线和射线分别平分和： ，， ， ， ， ． 理由如下： 射线和射线分别平分和， ， ． 17．完成以下问题： (1)如图1，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． (2)如图2，利用直尺和圆规，以点为顶点，射线为一边，作出． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由尺规作图的痕迹得到； （2）根据题意，作一个角等于已知角即可． 【详解】（1）解：由尺规作图的痕迹得； （2）解：如图，或即为所求作， 18．如图，已知O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)若将图1中的放置到图2所示的位置，其他条件不变；若，求的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含的代数式表示出） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再由角平分线的定义得，从而可求的度数； （2）由题意可得，由角平分线的定义可得，利用邻补角即可求得． 【详解】（1）解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19．如图，线段，，点是的中点． (1)求线段的长度； (2)在上取一点，使得．求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段和差关系可求得的长，再由中点的性质可得的长； （2）由线段之间的数量关系可求得的长，再由求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 点是的中点， ； （2）解：，， ． ， ． 20．已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）解：如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $