2026年山东省实验中学强基自主招生数学试卷

2026年山东省实验中学综合评价强基项目招生数学试卷 1.(6分)函数f(x)=K-1H2x-3的最小值为 2.(6分)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC上靠近B的三等分点，BD与AE交于点F,若 AF=FE,则A=」 A F B E 3.(6分)设a=5-1,则a5+a4-2a3-a2-a+2- 2 a-a 4.(6分)已知多项式x2+y-22-2x+my-3=(ax+b+c)(dx+e+f),其中a,b,c,d,e,f均为整数， 则m= 5.(6分)如图，ABCDEF是一个正五边形，则cOs∠ACD= A 6.(6分)如图，小明从A点出发到B点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点M的概率 为 B M 7.(6分)如图，⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为，O1A、O1B分别切⊙O2于点A、B,交⊙O1于点M、 N,O2C、O2D分别切⊙O1于点C、D.已知圆心距O1O2=10,r=2,∠CO2D=60°，则MW= 第1页（共10页） D A M C 8.(6分)关于x的方程x2-ax+4a=0只有整数根，则满足条件的所有正实数a的和为 9.(6分)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)-2是奇函数，∫(x+1)是偶函数，若∫(1)=0，则f (1)+f(2)+f(2026)的值为 10.(16分)由平方非负，(a-b)2≥0台a2+2≥2ab,可知x≥0，y≥0时，x+y≥2Vxy,当且仅当x=y 时取等号，这就是基本不等式 (1)请仿照题千中的方法，试证：对a≥0，b≥0，c≥0，有03+b3+c3≥3abc当且仅当a=b=c时取等 号 (2)如图，已知一一次函数y=a+b的图象过点M(1,8),且交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴 于点B,∠MAO=C. ①试用a表示AB的长度： ②求AB长度的最小值.（可利用第~问结论） B M(1,8) A 第2页（共10页） 2026年山东省实验中学综合评价强基项目招生数学试卷 参考答案与试题解析 1.【解答】解：结合题意，令x-1=0, 解得x=1: 令2x-3=0, 解x号 这两个零点将实数轴分为x<1,1≤x≤号x>3三个区间， 2 当x<1时， x-1<0,2x-3<0, 则f(x)=·(x-1)-(2x-3)=-x+1-2x+3=-3x+4. 当1Kx<号. x-1≥0， 2x-3≤0， 则f(x)=(x-1)-(2x-3)=x-1-2x+3=-x+2. 当x>,1≥0,2-3P0, 则f(x)=(x-1)+(2x-3)=x-1+2x-3=3x-4. 当x<1时，f(x)=-3x+4, 一次项系数-3<0， 所以f(x)在(-∞，1)上单调递减， 则f(x)>f(1)=-3×1+4=1. 1<<号： f(x)=-x+2, 一次项系数-1<0， 所以f(x)在[1， 上单消适说 则()<(x)<f(1, f(1)=-1+2=1, 第3页（共10页） 所以号<f(x)<1 当x>: f(x)=3x-4, 一次项系数3>0， 1w在 ,0)上单调递增， 则(：)>》3×2-4号 综合以上三种情况， x 所以函数了)的显小值为号 放答装为：号 2.【解答】解：作EH∥AC,交BD于点H, :在△ABC中，D是AC的中点， ∴.AD=CD, ,E是BC上靠近B的三等分点， .BE=-BC, 3 ,EH∥CD, ∴，△BEH∽△BCD, ..EH-BE_1 CD BC 3 ∴.AD=CD=3EH, .EH∥AD, ∴.△EFH∽△AFD, :E=H=1, AF AD 3 ∴AF=3FE, ,AF=λFE, ∴.FE=3FE, λ=3， 第4页（共10页） 故答案为：3. A B E C 3.【解答】解：2=5-1)2=3=5=1-a 2 2 ∴.a2+a=1, a5+a4-2a3-a2at2-a3a2h)-2a3-(a2h)2-a3-2a3-1+2-1-a3-（1+ad) a3-a a-a2-a a-(1-a）-a-a2 =-(1+1)=-2. 故答案为-2. 4.【解答】解：将原式视为关于x的二次多项式x2+(y-2)x+(-22+my-3), 若该式能分解为整系数一次式的乘积， 则其判别式是完全平方式： △=(y-2)2-4(-22+m-3)=9y2-4(1+m)y叶16=(3y±4)2， 所以4(1+m)=24或-24， 当4(1+m)=24,此时m=5, 当4(1+m)=-24,此时m=-7, 综上所述，m=5或-7， 答案：5或-7 5.【解答】解：如图，连接AD,过点A作AH⊥CD于点H,作∠ADC的平分线交AC于点F, ,五边形ABCDE是正五边形， ÷∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=(5-2)X180°=10g°，AB=BC=CD=DE=EA, 5 在△ABC中，∠ABC=108°，AB=BC, ÷∠BC4=∠B4C=180°-108°=36°， 2 .∠ACD=108°-36°=72°， 同理，∠ADC=72°， 在△ACD中，∠ADC=∠ACD=72°， 第5页（共10页） ∴∠CAD=180°-72°-72°=36°， ,DF平分∠ADC, .∠CDF=∠ADF=1∠ADC=36°=∠CAD. ∴AF=DF, ,∠CDF=∠CAD=36°，∠DCF=∠ACD=72°， ∴.△DCF∽△ACD, .CD_CF AC CD 即CD2=CF·AC, 设CD=x,则AF=DF=x,CF=AC-x, ..x2=(AC-x).AC, 即AC2-x…AC-x2=0, 解得4C=1W5x或AC=1-5<0(舍去)， 2 2 在R△4CH中，CH=CD=Lx,4C=1W5, 2 2 2 cos∠ACD=CH =5-1 AC 15 4 2 故答案为： V5-1 E 1 H D 6.【解答】解：从A点到B点的最短路径长度为7个单位，其中要向右走4个单位，向上走3个单位，所 以最短路径一共有35种， 其中经过M点的路径，即A→M→B,一共有18种， 所以不经过M点的路径有35-18=17种， ·不经过点M的概率为17 35 故答案为： 1 35 第6页（共10页） 7.【解答】解：连接O1D、O2A,MN,MN交O1O2于P点， ,O2C、O2D分别切⊙O1于点C、D, ∴.O1O2平分∠C02D,O1D⊥O2D, ∠0102D=1∠C02D=1×60°=30°，∠01D02=90°， 2 2 0D=200:=5. :O14、O1B分别切⊙O2于点A、B点， .O2A⊥O1A,O1O2平分∠AO1B, ∴.∠01A02=90°， .0M=0N, .O1P⊥MN,MP=NP, .∠PO1M=∠AO1O2, .Rt△O1PMRt△O1AO2, :PH=01 A020102 即PM=5 210 解得PM=1, ∴.MN=2PM=2. 故答案为：2. M B C 8.【解答】解：设方程的两个整数根为m,n, 根据题意得△=a2-16a≥0， 当a>0时，a≥16， 根据根与系数的关系得m+n=a≥16，mn=4a≥64， ∴m、n同号且为正整数， .(m-4)(n-4)=16, 第7页（共10页） 不防设m≤n, .m-4=1,n-4=16或m-4=4,n-4=4或m-4=2,n-4=8, 解得m=5,n=20或m=8,n=8或m=6,n=12, .a=25或16或18， ∴.满足条件的所有正实数a的和=25+16+18=59. 故答案为：59 9.【解答】解：f(x+1)是偶函数， f(1-x)=f(1+x), f(2-x)=f(x), f(x+2)-2是奇函数， f(2-x)-2=-(f(x+2)-2), f(2-x)+f(x+2)=4, 令x=0,得f(2)=2, f(x)+f(x+2)=4, ∴f(x+4)=f(x+2+2)=4-f(x+2)=4-(4-f(x)=f(x), .函数周期为4， f(1)=0, f(2)=2,再依次将x=1,2代入f(x)+f(x+2)=4, ∴f(3)=4,f(4)=2, ∴.一个周期的和为0+2+4+2=8， 而2026=506×4+2， ∴f(1)+f(2)+…f(2026)=f(1)+f(2)再加上506个完整周期， .f(1)+f(2)+f(2026)=0+2+506×8=4050. 故答案为：4050. 10.【解答】(1)证明：(a+b+c)(2+b2+c2-ab-bc-ca)=a+b3+c3-3abc, 当a≥0，b≥0，c≥0时，a+b+c≥0， a2+b≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, ∴.2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca, ∴.a2+62+c2≥ab+bc+ca, ∴.a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0， 第8页（共10页） ∴.(atb+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca）≥0， ∴.a3+b+c3-3abc≥0，即a3+b+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号： (2)解：①设点A的横坐标为m,点B的纵坐标为n, 把A(m,0),B(0,n)代入y=x+b得： (km+b=0 b=n k-卫 解得 m, (b=n ∴y=-nx+n, m 名+义=1， m n 把M1,8)代入得：上+8=1， m n 由三角函数定义有n=mtand, … 8 mm"tana .'.m=tana +8 tana IAB |=Vm2+n2-Vm2+m2tan2a Vm2(1+ta n2 a)= m1+sin2a cos2a m cos2a+sin2 a cos2a =m1 cosa sina -+8 ..AB=tand+8.1 cosa 1 =1 8 tana cosa sina cosa cosa sina cosa ②a3+b3+c3≥3abc, 23 ai,bi,ci= ≥3 a1+a2b1+b2c1+c2 Val+a2 b1+b2 c1+c2 3a;bici (a1+a2)(b1+b2)(c1+c2》 当=1时，a1十b1十C1≥ 3a1bic1 a1+a2b1+b2c1+c2(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2) a2+b2+c2 3/a2b2c2 当=2时， a1+a2b1+b2c1+c2(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2) 第9页（共10页） 两式相加得：1+1+1产 3(a1b1c1+a2b2c2) (a1+a2)(b1+b2)(c1+c2】 “/(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2)≥a1b1c1+a2b2c2' (a+a)(b1+b)(a+o2)≥(3a1b1c1+a2b2c2)3 1 1 cosasina +.8)(1+.8)(cos2a+sin2a) cosa sina cosa sina 1 1 Vsina sinasin2a)3 "cos2a+3 8.8 cosa =V(1+64)3 =√125 =5V5,等号成立的条件为tana=2, AB长度的最小值为5V5 第10页（共10页）