2026年1月世界少年奥林匹克思维能力测评活动（地区赛）七年级数学竞赛试题

绝密★启用前 2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 1101111110111. (2026年1月) 选手须知： 1本卷共两部分，第一部分：填空题，共计72分；第二部分：解答题，共计78分。 2答题前请将自己的姓名、学校、试场、活动证号码写在规定的位置。 3测评时不能使用计算工具。 7O777y 4.测评完毕试卷和草稿纸将被收回。 题号 总分 核查人 铷 得分 露 707 的 七年级试题 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 一、填空题（每题9分，共计72分） 评卷人 1.高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称。现有一种高斯定义的计 毁 K 算式。已知用)表示不大于x的最大整数，如8]=1。现规定{=x-,如 {2}=2-[2]=2-2=0:{-3.1}=-3.1-【3.=-3.1-（4)=0.9。则当a>0时，{a}+{a}的值 为 紧 77 2已知关于×的方程x-2-3的解为正整数。且当y=0时，恰好-2+-取得 5 770 最小值，则满足条件的整数a的值为 杯 3.小张的四位朋友A、BCD想破译他在电脑中设置的登录密码。但是他们只知道这个密码 共有六位不同的数字，他们根据小张平时开电脑时输入密码的手势，分别猜测密码是“530126”、 “508342”、“613254”、“732659”,实际上他们每个人都只猜对了密码中对应位置不相邻的 御 两个数字，且A和C猜对的数字所在位置完全不同。由此你知道小张设置的密码是 4.把如图1的两张大小相同的长方形卡片放置在图2与图3中的两个相同大长方形中，己知这 两个大长方形的长比宽长10cm,若记图2中阴影部分的周长为C,图3中阴影部分的周长为C:, 那么C-C,= cme 图① 图② 图③ 七年级第1页 5已知(（0+1+2x-200y-2+by+003:-3到+上+0=12，则x+2y+3:的最大值是 6.如图1，点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数是-2，b,8。某同学 将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点小，发现点B对齐刻度1.2cm,点C对 齐刻度6.0cm。数轴上在点B的右侧有一点R,它距离原点5a(a>0)个单位长度，若将刻度尺向左 平移使得刻度尺上的刻度2与数轴上点A对齐，此时与点P对齐的刻度尺上的刻度是 A B C 0 2345 6 图1 图2 7.已知∠A0B=30°，过点0作射线0C,使∠B0C=m ,且m,n使关于x的方程 ∠AOCn (m-n)x+3=n(-x)+2xr有无数个解，再过点O作射线OM使得oM平分∠AOC,则∠C0M的度 数为 8.如图，点M在线段AW的延长线上，且线段N=2,第一次操作：分别取线段AM和AN的 中点M,N:第二次操作：分别取线段AM,和AN,的中点M,N:第三次操作：分别取线段AM, 和AN,的中点M,N,:…连续这样操作2025次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 从，N+M2N2+…+M22sNxs= ANMM№NM M 得分 二、解答题（第9题~第13题每题10分，第14题13分，第15题15分，共计78分） 评卷人 9.若a+b+c=0,a>0,c<0.且a+c<0,求出日 2a+b+c a+2b+c a+b+2c 的值 七年级 第2页 1®已知为常数，关于：的方程巡”=1+，无论长为何恤.它的解总是2. 2 则n的值为。 11.我们规定x的一元一次方程a=b的解恰好等于b-a,则称该方程是“差解方程”，例如： 3x=4.5,解得：x=3,因为4.5-3=1.5，所以方程3x=4.5是“差解方程”，己知关于x的一元 一次方程4x=m+m和-2x=mn+n都是“差解方程”，求代数式 -3m+1+4n+2m+mj-cam+n-2n]的值。 七年级 第3页 12.对有理数a,b,定义G(a,b)的计算方式为：当a≤b时，Ga,b)=a-b:当a>b时， G(a,b)=a+b。例如：G(L,3)=1-3=-2:G(2,-)=2+(-)=1。设代数式 M=GL,a+b)+G(2,a+2b)+G(3,a+3b)++G(199,a+199b),已知A,B是数轴上的两个点，分 别表示有理数a和b,线段AB的长为4。若数a满足关系式G-a+1,I)=0,求M的值。 13.如图1，AB分别为数轴上的两点，点A表示的数为-20，点B表示的数为100。 A B、A B -20 100-20 100 图1 图2 B 图3 将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上。 (1)将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数： (2)如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这 三张纸条的长度之比为1：山：3：把纸条复原后，求出折痕处的点在数轴上表示的数。 七年级第4页 14.将一一个数轴弯折成如图所示的样子，我们称这样的数轴为“过山车数轴”，在这个数轴上每个点对 应的数就是把数轴拉直后对应的数 规定：AB(线段AB的张度)为A,B两点在拉直后的数轴上的距离。点A表示的数是-7，点B表 示的数是3，则AB=10。 A 2 g 7-6-5 -4 -3 在“过山车数轴”的上坡阶段（从E到D或从C到D),点运动的速度是点在水平路线上运动速度的 一半：在下坡阶段（从D到C或从D到E),点运动的速度是点在水平路线上运动速度的2倍。动点P从 点A出发以每秒4个单位的速度向右运动，经过点E,点D,点C,到点B后立即以原速度沿反方向运动， 回到点A时停止。在点P出发的问时，点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，经过点C,点D, 点E后继续运动。点P停止运动时，点Q也停止运动。设点P运动的时间为1秒，问： (1)点P和点Q在第几秒时重合？ (2)当lPg=lC,求的值。 七年级 第5页 15.如图，在数轴上，点A表示的数是最大的负整数，点B在点A的右侧，在数轴上方以点A为圆心， AB长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点C,且BC=12。 0 备用图 11111101111110 点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动到点B,再沿半圆弧以每秒20°的速度（即射线 AP绕者点A逆时针每秒旋转20°)运动到点C后停止。点2从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左 运动到点C,再沿半圆弧以每秒15°的速度（即射线AQ绕者点A顺时针每秒旋转15°）运动到点B后停止。 國 点P和点Q同时出发，设运动时间为1秒。 (1)当P点和Q点都在线段BC上时，若AP=2AQ,求1的值： (2)当点Q在半圆弧上时，连接AP,AQ,D为半圆弧上一点，连接AD,且∠BAD=80°，射线AE 7777 铷 为∠PAQ的角平分线。试探究：是否存在1的值，使得∠EAD=5°？若存在，请直接写出1的值：若不存在， 请说明理由。 酃 /90 长 K 纸 和 相 七年级 第6页2025-2026年度世界少年奥林匹克思维能力测评活动 七年级答案 一、 填空题 第一题 第二题 第三题 第四题 1 4 638152 20 第五题 第六题 第七题 第八题 8 3a+3.2 45°或9° 22点 二、解答题。 9.解：a+b+c=0, :.-b=a+c, .a+c<0, .-b<0, .b>0, 2a+b+c.a+2b+c.a+b+2c 1网 atatb+c,b+a+b+c.c+a+b+c a 同骨司 a>0,c<0,b>0, abtc=0+b+cll-1=l。 :原式=问闷*问ab-c 10,解：“x=2总是5+m=1+-心的解， 2 3 代入方程：水：2+m 2 1+2-h 3， 化简得10k+m=5-k 2 3 两边同乘6得：3(10k+m)=2(5-k), 即30k+3m=10-2nk, 移项得：30k+2nk+3m-10=0, 即k(30+2n)+(3m-10)=0, 该式对任意k成立， [30+2n=0 3m-10=01 解得n=-15,m=10 , %1=-50. ..m= 11.解：一元一次方程4x=mn+m和-2x=mn+n都是“差解方程”， m+m-4=”m本m，m+n+2怎-m+n 4 2 ，m+n=-行，两式相减得，m-n= mn+m=16 4 3 ∴-3(m+1)+4n+2(m+m-m网2【mn+月-2]=-fm-》-3+em+办mm+力 -593+2x9(凯 =-100-33+512_8 3 99 =-100-33+504 3 9 100-33+56 = 3 -100+23 3 =-10069 3+3 12.解：l420, .-a]s0, .-la+1s1, G(-a+l,)=0, -la+1-1=0, .a=0, ,线段AB的长为4， ∴b=4。 ①当a=0,b=4时，则1<a+b,2<a+2b,3<a+3b,…,199<a+199b, ∴.M=G(,a+b)+G(2,a+2b)+G(3,a+3b)+…+G(199,a+199b) =1-b+2-2b+3-3b+…H99-199b =(1+2+3+..199)-(1+2+3+199)b =+199)x199+199x199b 2 =19900-19900b =19900-19900×4 =-59700: ②当a=0,b=-4时，则1>a+b,2>a+2b,3>a+3b,…199>a+199b, ∴.M=G(l,a+b)+G(2,a+2b)+G(3.a+3b)+…+G(199,a+199b) =1+b+2+2b+3+3b++199+199b =(1+2+3+..199)+(1+2+3+.199)b =1+199)x199+199x199b y 2 =19900+19900b =19900+19900×(-4) =-59700: ∴.M=-59700。 13.解：①，将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为AB的中点，其表示的数为20+100 40， 2 设与原点重合的点表示的数为×，则O牛=40，解得：x=80, 2 ∴.与原点重合的点表示的数为80： ②三条纸条的长度之比为ll:3,AB=120, ∴.120÷(1+1+3)=24， 三条纸条的长度为24,24,72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24,24,72， 1224A 48 B 则折痕到A的长度是24+12=36， ,A点对应的数为-20， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是-20+36=16： b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24,72,24， 36 24A(B) 则折痕到A的长度是24+36=60， ,A点对应的数为-20， ∴.折痕处对应的点在数轴上所表示的数是-20+60=40： c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72,24,24， 1224B 48 则折痕到A的长度是72+12=84， ,A点对应的数为-20， ∴.折痕处对应的点在数轴上所表示的数是-20+84=64。 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16,40,64。 4,(1)点P从点A到点E的时间为1秒，到点D的时间为+1=2秒，到点C的时间为2+日？秒，到点 B的时间为 7+3=2 848 848 29+1_3秒，返 秒，再返回到点C的时间为号+}-号秒，返回到点D的时间为受+号号 回到点E的时间为33+'-35 8+年8，返回到点A的时间为华秒 8 又由题意可得，点Q从点B到点C的时间为3+1=3秒，到点D的时间为3+1÷二=5秒，到点E的时间为 2 5+2+2=6秒，到点A的时间为6+4÷1=10秒， ∴当点P向右运动时，与点Q在线段BC上相遇， 则有0+4-=3-1， 解得得 当点P向左运动时，与点Q在点C、D间相遇， 则由0+2-)=0+分-或. 解得1=6： 23 综上，点P和点Q在名或22秒时重合， 106 故答案为： 10 (2)当点P和点C重合时，有PQl=|2C,此时1=？或=2 8 当点P在线段BC上且点P是线段CP的中点时，有PO=|OC|, 17 0+4 则3-1 8) 2 解得1=29， 12 当点P在D、E之间且点O是线段CP的中点时，有PQ=QC, 0+-1-8- 期北-列 2 解得1=29 综上，当1=骨或9或器或9时，1Pg=l0d, 8 8121 15.(1)解：：点A表示的数是最大的负整数， 点A表示的数是-1， ,BC=12, ·4C=BC=6, 2 ∴.点C表示的数是-1-6=-7， ①当点P在点A左侧，点Q在点A右侧时， .CP=21,BO=4t,AC=AB=6, .'AP=AC-CP=6-21,A0=AB-BO=6-4t, 又AP=2A0, ∴.6-21=2(6-41）， 解得t=1: ②当点P,Q都在点A左侧时， .CP=2t,BO=4t,AC=AB=6, .AP=AC-CP=6-2t,AO=BO-AB=41-6, :AP=2A0, .6-21=2(41-6), 解料1号 综上所述，当4P=240时，1的值为1或号： (2)由题知BC=12, `.点2从B到C的时间为12÷4=3秒，点Q从C到B的时间为180÷15=12秒，点P从C到B的时间为 12÷2=6秒， ①当点P在AB上，点Q在弧CD上，AE在AD左侧时，如图， E D A P B ,∠BAD=80°，∠EAD=5°， .∠BAE=85°， AE平分∠PAQ, ∴.∠PAQ=2∠BAE=170°， ∴.∠CAQ=10°， 即15(1-3)=10， 解得1-的 ②当点P在AB上，点Q在弧CD上，AE在AD右侧时，如图， 此时∠BAE=75°， ∴.∠PAQ=2∠BAE=150°， .∠CA0=30°， 即15(1-3)=30， 解得1=5： ③当点P在弧BD,点Q在弧CD上，AE在AD右侧时， A B 此时∠BAE=75°，∠BAP=20(I-6)=(20t-120)°， ∴.∠PAE=∠BAE-∠BAP=(195-20r)°， 同理可得∠QAE=∠CAE-∠CAQ=105°-15(1-3)=(150-15r)°， AE平分∠PAQ, ∴.∠PAE=∠QAE, 即195-201=150-151， 解得1=9： ④当点P在弧CD,点Q在弧BD上，AE在AD左侧时，如图， ED D C A B 此时∠BAE=85°， ∴.∠PAE=∠BAP-∠BAE=(201-120)°-85°=(201-205)°， 同理可得∠QAE=∠CAQ-∠CAE=15(1-3)-95°=(151-140)°， :AE平分∠PAQ, ∴.∠PAE=∠QAE, 即20-205=151-140， 解得1=13： 综上所述，的值为号5,9,13。