精品解析：江苏南京市第十二中学2024-2025学年第二学期3月学情调研高一数学

南京市第十二中学2024～2025学年度第二学期3月学情调研 高一数学 命题人：沈颖 审核人：徐伯衔 注意事项： 1.本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 2.考生务必用黑色墨水签字笔将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔准考证号填涂在答题卡相应位置上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得. 3. 已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 所以在方向上的投影向量为， 故该投影向量的模为. 4. 已知正方形的边长为1，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和垂直向量的数量积为0可求题设中向量的模. 【详解】， 故选：D． 5. 函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式判断函数的区间单调性，进而得到，结合不等式恒成立即可得参数范围. 【详解】由，在上单调递增，则在上单调递增， 且时，时，所以， 在上恒成立，所以. 6. 已知，，则（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和差的正切公式分别计算即可. 【详解】由题意，， ，故. 故选：A 7. 早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算出的值，然后利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，，，则， ，，所以，. . 8. 如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可． 【详解】解：，F为BC的中点， ， 设 ， 又， ，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量平行，垂直及模长的坐标表示可得解. 【详解】A，B选项：，则，即，A选项正确，B选项错误； C选项：由已知，又，即，即，C选项正确； D选项：，解得，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 时，的最小值为，的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】化简已知可得，即可判断A项；代入求出，即可判断B项；求出平移后的函数解析式，即可判断C项；求出的范围，结合正弦函数的单调性，即可得出函数的最值，进而判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以周期，故A正确； 对于B项，，故B不正确； 对于C项，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D项，因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为2； 又时，，时，， 所以当时，取得最小值，最小值为，故D不正确． 故选：AC． 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】平方得到，根据得到，AB正确，根据，，故进行求解，D正确，由二倍角公式判断C错误. 【详解】对选项A：，则，即， 故，，故，则，，正确； 对选项B： ，正确； 对选项D：，，故， 则，正确； 对选项C：，错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】选定原点，建立平面直角坐标系，分别利用坐标表示，然后再利用建立方程组，求解方程组即可得到. 【详解】以的起点作为坐标原点，水平与垂直方向作为轴与轴，上方与右方作为坐标轴正方向. 则，， 因为 所以 13. 已知向量．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为 若，的夹角为钝角，则，所以，解得 若，其中，则 由，解得，从而． 此时，两向量夹角为，不是钝角，故应舍去． 因此实数的取值范围为 14. 如图，已知点，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算，结合辅助角公式求解即可. 【详解】设，，则， 又，所以. 因为，所以，则， 所以. 故的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 化简，求值： （I）已知，求； （II）. 【答案】（I）；（II）16. 【解析】 【分析】（I）由同角三角函数基本关系、二倍角公式化简所求式子，再化弦为切即可求解； （II）利用同角三角函数基本关系、二倍角公式，辅助角公式和诱导公式化简即可求解. 【详解】（I）原式化简得： 将代入，原式； （II）原式 16. 在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足. （1）求与的值； （2）若三点坐标分别为，求点坐标. 【答案】（1）；（2）点的坐标为. 【解析】 【分析】先引入平面向量的基底，如，然后将分别用基底表示，最后得到，而另一方面，再根据平面向量的基本定理得到方程组，求解方程组即可；（2）先确定的坐标，设，再结合，得到，从而得到，求解即可得到点的坐标. 【详解】（1）设 则, ， ， 故, 而 由平面向量基本定理得，解得. （2）、、，由于为中点，, 设，又由（1）知 所以, 可得，解之得, 所以点的坐标为. 考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理；3.平面向量的坐标运算. 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）使用平方关系计算出，再使用半角公式求解； （2）分析出已知角与未知角的关系，使用两角差的正弦公式求解，最后结合象限角的符号判断. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以 又因为，所以，与上述计算结果矛盾， 故的值不存在，即无解. 18. 已知函数． （1）求的定义域及最小正周期； （2）若关于的方程在上有两个实根，求的取值范围． 【答案】（1）定义域为，最小正周期为； （2） 【解析】 【分析】（1）通过分母不等于0求解定义域，使用三角恒等变换将函数解析式化为，再计算周期； （2）使用整体代换法分析函数单调性及关键点处的函数值求解. 【小问1详解】 由，得， 则定义域为， 则的最小正周期为， 【小问2详解】 当时，，令，得， 则在上递增，在和上递减， 当时，，又，， 要使方程在上有两个实根，则且， 故的取值范围为：. 19. 奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：. （1）若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； （2）若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奔驰定理以及内切圆的性质可得，即可根据得，进而根据线性运算得,由共线即可求解， （2）根据奔驰定理以及外接圆的性质可得，即可得，结合三角恒等变换可得，即可根据函数的性质求解. 【小问1详解】 由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设， 故， 设，则, 故, 由于与共线，而与不共线， 因此必然，故， 【小问2详解】 设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故, 故当时，取最小值， 当或时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第十二中学2024～2025学年度第二学期3月学情调研 高一数学 命题人：沈颖 审核人：徐伯衔 注意事项： 1.本试卷共4页，共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 2.考生务必用黑色墨水签字笔将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔准考证号填涂在答题卡相应位置上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，向量，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知正方形的边长为1，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 函数在上恒有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. 7 B. C. D. 7. 早在公元前十一世纪，西周数学家商高就提出了“勾三股四弦五”，《周髀算经》中也有相关记载，故勾股定理也称“商高定理”．现有的三边满足商高定理，其中勾的长为3，，点在弦上的射影为点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 时，的最小值为，的最大值为1 11. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值为______． 13. 已知向量．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为______． 14. 如图，已知点，，，是曲线上一个动点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 化简，求值： （I）已知，求； （II）. 16. 在平面直角坐标系中，给定，点为的中点，点满足，点满足. （1）求与的值； （2）若三点坐标分别为，求点坐标. 17. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 18. 已知函数． （1）求的定义域及最小正周期； （2）若关于的方程在上有两个实根，求的取值范围． 19. 奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：. （1）若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； （2）若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $