湖北省某重点中学2026-2027学年高一上学期分班考试数学试题

**基本信息** 高一分班试题通过分层设计（如规律探究、新定义问题）与核心素养融合（如米勒问题考查数学眼光与思维），实现对学生基础与创新能力的有效区分。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|15/60|分式意义、二次函数图像、三角形内心、双曲线面积等|结合几何直观（折叠问题）与抽象能力（新定义“超过实数的最小整数”）| |解答题|6/60|一元二次方程根、几何旋转证明、米勒问题应用|突出推理能力（旋转证明）与模型意识（抛物线最大视角问题）|

高一数学答题卡 学校 一、填空题（本大题含有15小题，每小题4分，共60 分). 1 姓名 考号 10、 11、 12、 13、 14、 15、 二、解答题（本大题含有6小题，共60分). 16.(满分8分) 17.(满分8分) 18.(满分10分) (:0I鳅)6I (21文0)02 品 )…满 21.(满分12分) 此 高一分班试题 一、 填空题：15 小题，每小题 4 分，共 60 分。 1.要使分式有意义，则的取值范围为 . 2.已知,则12m-7n的算术平方根等于 . 3.观察下列等式，从计算结果中找规律，用规律计算 . 4.记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的 的取值范围为 . 5.设满足关系式，则的最小值为 . 6.二次函数图象如图所示，则代数式：中，结果为正数的有 个. 7.在式子中代入不同的的值，得到对应的值，这些对应的值中，最小值是 . 8.已知三角形三内角平分线相交于一点（记为三角形的内心），过作三角形边的垂线，垂足为，已知三角形的面积为18，周长为9，则 . 9.在三角形纸片中，在边上 取一点，以为折痕，使一部分与重合，与延长线 上的点重合，则的长为 . 10.如图分别是双曲线在第一，三象限上的点，，垂足分别为，PB与AQ相交于M,记的面积为，则 0（填，=，<) 11. 设正整数 12.已知三角形三边中垂线交于一点，称为三角形的外心，三角形三边高线交于一点，称为三角形的垂心。如图所示：O,H分别是三角形的外心和垂心，则三角形外接圆的半径为 . 13.如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移 与y轴，x轴分别交于两点，以线段长为边作等边三角形，若反比例函数图象恰好经过点,则k的值为 . 14..如图所示是一个信号灯装置，当t=0时，在原点处的信号灯亮，按照如图所示的方向每隔一秒钟信号灯前进一格，即当t=1时，在(0,1)处的灯亮，当t=2时，在(1,1)处的灯亮，当t=3时，在(1,0)处的灯亮，当t=4时，在(2,0)处的灯亮，当t=5时，在(2,1)处的灯亮，当t=6时，在(2,2)处的灯亮.依此类推，当t=230时，亮的信号灯的位置坐标为 . 15.如图，已知顶角为等腰，内一点，若的 面积为4，则 . 二、 解答题：6 小题，共 60 分。解答题需在答题卡上写出必要的说明、推理或演算过程。 16. （本题满分8分）已知关于x的一元二次方程有实数根 （1） 求实数k的取值范围。 （2） 设方程两个实根分别为，求的最大值. 17. （本题满分8分）已知实数a,b满足，当的三边满足，求的周长和面积. 18. （本题满分10分） 设,求不超过s的最大整数,并求 19.(本题满分10分） 并判断以为边，能否构成三角形？如能，说明三角形的特征。 20.（本题满分12分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE． （1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　 　AD． （2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式． 21.(本题满分12分）1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位视角最大？此最大视角问题称之为“米勒问题”。已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，通过研究得出：当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大. 如图；已知抛物线均在抛物线上，抛物线顶点P经过直线 （1）求抛物线的方程 （2）一动点N从原点O出发，在y轴上沿y轴正方向以每秒1个单位长度的 速度前进，运动时间t为何值时最大？ （3）若动点N在y轴上运动，N点坐标为何值时最大？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.要使分式有意义，则的取值范围为 . 1.答案： 解析：. 2.已知,则12m-7n的算术平方根等于 . 2.答案：9 解析：根据根式和绝对值的非负性，列式得 ，所以12m-7n的算术平方根等于9 3. 观察下列等式，从计算结果中找规律，用规律计算 . 3.答案： 解析：规律：分式分母首尾顺次连接，两个数相差3， 4.记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为 . 4.答案：0<3 解析：等价于 5.设满足关系式，则的最小值为 . 5.答案： 解析： , 的最小值为 6. 二次函数图象如图所示，则代数式：中，结果为正数的有 个. 6.答案：4 解析：由图可知x=1时，图像在x轴下方，即 x=-1时，图像在x轴上方，即，对称轴介于0,1之间， 7.在式子中代入不同的的值，得到对应的值，这些对应的值中，最小值是 . 7.答案：6 解析：可以从两个绝对值，三个绝对值找规律 象上面的所有绝对值中x的系数绝对值为1的，当绝对值个数为偶数时，x在中间区间时取最小值，当绝对值个数为奇数时，x在中间那个数时取最小值，本题中x=0时，取最小值6 8.已知三角形三内角平分线相交于一点（记为三角形的内心），过作三角形边的垂线，垂足为，已知三角形的面积为18，周长为9，则 . 8.答案：4 解析：根据角的平分线到角两边距离相等的性质，可知到AB,BC,AC三边距离相等，记为 9.在三角形纸片中，在边上 取一点，以为折痕，使一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为 . 9.答案： 解析：根据勾股定理 根据折叠的性质，BA=BD,DE=AE,所以CD=8，设AE=x,则CE=12-x,对直角三角形CDE使用勾股定理，有 10.如图分别是双曲线在第一，三象限上的点，，垂足分别为，PB与AQ相交于M,记的面积为，则 0（填，=，<) (=) 10.答案： = 解析：连结AB，记 同时减去 11.设正整数 11.答案：21，18 解析：，令 12.已知三角形三边中垂线交于一点，称为三角形的外心，三角形三边高线交于一点，称为三角形的垂心。如图所示：O,H分别是三角形的外心和垂心，则三角形外接圆的半径为 . 12.答案 解析：连结BO并延长至E，交圆于E ，则BE为直径，易知CH,AE均垂直于AB，AH,EC 均垂直于BC，所以四边形AHCE为平行四边形。所以AH=CE，又，所以R=. 13.如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线向右平移 与y轴，x轴分别交于两点，以线段长为边作等边三角形，若反比例函数图象恰好经过点,则k的值为 . 13. 答案： 解析：平移后直线变为，易知 ,代入中其中 14..如图所示是一个信号灯装置，当t=0时，在原点处的信号灯亮，按照如图所示的方向 每隔一秒钟信号灯前进一格，即当t=1时，在(0,1)处的灯亮，当t=2时，在(1,1)处的灯亮， 当t=3时，在(1,0)处的灯亮，当t=4时，在(2,0)处的灯亮，当t=5时，在(2,1)处的灯亮，当t=6时，在(2,2)处的灯亮.依次类推，当t=230时，亮的信号灯的位置坐标为 . 14. 答案：(5,15) 解析：到达（0，1）位置时，共前进1格，到达（0，3）位置时，共前进9格，到达（0，5）位置时，共前进25格，依此类推，到达（0，15）时，共前进225格，再向右前进5格，t=230 坐标为（5，15） 15.如图，已知顶角为等腰，内一点，若的 面积为4，则 . 15. 答案 解析：设AB=x,以AC为底高为。 将AB绕A顺时针旋转,B旋转到F，P旋转到E，则三角形APE为 等边三角形，所以AP+CP+BP等于PE+PC+EF,当且仅当F,E,P,C四点共线时和最小。又三角形CAF为等腰直角三角形，所以FC= 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根 （1） 求实数k的取值范围。 （2） 设方程两个实根分别为，求的最大值. 16. 答案（1）（2） 解析：（1）因为方程是x的一元二次方程，所以，又有实数根，所以判别式，所以实数k的取值范围。.................................3分 （2）因为方程两个实根分别为，所以 ， ，..........................5分 .........................................8分 17.已知实数a,b满足，当的三边满足，求的周长和面积. 17.答案 解析： 且满足，......2分 又是以C为直角的直角三角形，....6分 所以周长为.................8分 18.设,求不超过s的最大整数并求 18解析：特殊状态下不好发现规律，先一般化，...................................................5分 n=2023时，..................................................8分 ................10分 19.(本题满分10分） 并判断以为边，能否构成三角形？如能，说明三角形的特征。 解析：利用整数的离散型，平方的非负性和配方法即可解决 等价于，..........3分 .......................................................5分 ................................................7分 ，.........................................9分 显然以为边，能构成等腰三角形。..............................................................10分 20.（本题满分12分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE． （1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　 　AD． （2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式． 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45° ∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°， ∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°， ∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°， ∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝AB， ∴AB+AE＝AD，故答案为：；..............4分 （2）结论仍然成立； 如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F， ∵BC∥DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF， ∴AF＝AD，∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF， ∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；..............8分 （3）不成立， 当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC， ∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°， ∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD ∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD； 当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F， ∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°， ∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD ∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB+AF＝BF，∴AB+AD＝AE．............12分 21.1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位视角最大？此最大视角问题称之为“米勒问题”。已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一动点，通过研究得出：当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大. 如图；已知抛物线均在抛物线上，抛物线顶点P经过直线（1）求抛物线的方程 （2） 一动点N从原点O出发，在y轴上沿y轴正方向以每秒1个单位长度的 速度前进，运动时间t为何值时最大？ （3）若动点N在y轴上运动，N点坐标为何值时最大？ 解析：（1）因为，所以抛物线对称轴为x=2,又 抛物线顶点P经过直线，所以顶点为（2，1），所以 ..........................4分 （2）根据米勒问题得出的结论，易知当且仅当△ABN的外接圆与边OY相切于点N时， ∠ANB最大.根据弦切角定理可知∠ANO=∠ABN,三角形ANO与三角形NBO相似 ，由（1）可知OA=1,OB=3，所以 ............................................8分 （3） 延长BP至M，交Y轴于M，根据米勒定理，，易知 ...............................12分 学科网（北京）股份有限公司 $