精品解析：湖北省武汉市武汉经济技术开发区第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

武汉经开一中高一年级开学考数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 7 7. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 若为任意实数，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有__人． 13. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为___________． 14. 定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）若求关于x的不等式的解集． 18. 某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元. （1）求每瓶A型号消毒水的进价； （2）该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）. ①分别写出，关于x的函数关系式； ②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； ③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价. 19. 已知二次函数. （1）求二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉经开一中高一年级开学考数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题的否定为. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式，再根据集合交集运算即可求解. 【详解】，解得， 所以， 所以. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数的判断方法可直接构造不等式组求得结果. 【详解】由题意得：，解得：且. 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可. 【详解】因为，所以， 当时，无意义，所以“”时，“”不一定成立； 当时，，所以“”能推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，利用均值不等式进行求解. 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：A. 7. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可得到答案. 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 8. 如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到两点的距离之和的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由，得出动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值． 【详解】设中边上的高是h． ∵， ∴， ∴， ∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作A关于直线l的对称点E，连接，，则的长就是所求的最短距离． 在中，∵， ∴， 即的最小值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件时m的范围，可得它的真子集即为充分不必要条件，选出结果． 【详解】“不等式在上恒成立”的充要条件即方程至多一个实数根， 所以，解得， 所以不等式恒成立的充分不必要条件是的真子集． 故选：CD. 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 若为任意实数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、图象进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由图可知， 设的横坐标分别为，则， 而，即，则， 故，则， 所以，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项正确. ，所以，D选项正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 学校举办秋季运动会时，高一（2）班共有24名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有__人． 【答案】4 【解析】 【分析】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可得解. 【详解】设同时参加田赛和径赛的有人，由题意作出韦恩图， 结合图形得： ， 解得． 同时参加田赛和径赛的有4人． 故答案为：4． 13. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根和二次项系数的正负,利用韦达定理将用表示,再化简所求的不等式并求解. 【详解】已知不等式的解集为,所以，且方程的两根为， 根据韦达定理，，所以，. 不等式可化为，两边同时除以， 得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 定义集合的运算：已知集合，则．若集合，则集合的真子集个数的可能取值是___________． 【答案】3或7 【解析】 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 因为集合中有个元素，则集合有个子集，有个真子集， 此时集合中有两个元素，其真子集个数为. 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【小问1详解】 不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； 【小问2详解】 由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 16. 已知集合，． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】解：（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 17. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）若求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 18. 某经销商购进5瓶A型号消毒水和6瓶B型号消毒水一共需要280元，每瓶B型号消毒水的进价比每瓶A型号消毒水多10元. （1）求每瓶A型号消毒水的进价； （2）该经销商用2000元购进A，B两种型号的消毒水进行销售.当A型号消毒水每瓶定价为30元时，可售出100瓶，若每涨1元，则销量减少5瓶，B型号消毒水每瓶售价为60元，且购进的A，B两种型号消毒水都卖完，设每瓶A型号消毒水定价为x元（x为大于30的整数），A，B两种型号的消毒水分别有，瓶（，都为非负整数）. ①分别写出，关于x的函数关系式； ②求销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值； ③若销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，直接写出每瓶A型号消毒水有几种定价. 【答案】（1）20元 （2）①，；②2125元；③4 【解析】 【分析】（1）设每瓶A型号消毒水的进价为x元，则每瓶B型号消毒水的进价为（x+10）元，根据一共需要280元，列出方程求解； （2）①根据原售出瓶数减去因涨价减少的瓶数，列出y1与x的解析式；根据金额除以单价列出y2与x的解析式； ②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元，根据总利润等于销售两种消毒水利润和列出关系式为=-5(x-45)2+2125，然后利用函数最值求解； ③销售A，B两种型号消毒水的总利润不少于1945元，列出不等式-5(x-45)2+2125≥1945，利用图象法求出x取值范围，再由，且x为3的倍数，确定出x值. 【小问1详解】 解：设每瓶A型号消毒水的进价为x元， 依题意，得， 解得：， 答：每瓶A型号消毒水的进价为20元. 【小问2详解】 ①y1=100-5(x-30)=250-5x， y2=(2000-20y1)÷30=[2000-20(250-5x)] ÷30=x-100， ∴，； ②设销售销售A，B两种型号消毒水的总利润为w元， 依题意得：， ， ∵，（x为大于30的整数） ∴，且x为3的倍数； ∵-5<0， ∴当元时，w有最大值，最大值为2125元， 答：销售A，B两种型号消毒水的总利润的最大值为2125元； ③由题意，得-5(x-45)2+2125≥1945. 解得：39≤x≤51， ∵，且x为3的倍数， ∴x=39，42，45，48， ∴每瓶A型号消毒水有4种定价. 19. 已知二次函数. （1）求二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）当时，函数的最大值和最小值分别是多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值和最小值，进而根据得到关于的方程，解方程即可. 【小问1详解】 ∵， ∴对称轴为，顶点坐标为. 【小问2详解】 ∵顶点坐标为， ∴当时，； ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 当时，对进行分类讨论： ①当时，即，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴，∴， 解得：（不合题意，舍去）； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴， 当时，在时，， ，即， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，在时，， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）； ③当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，即， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述：或. 【点睛】方法点睛：“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $