第07讲 基本不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第07讲 基本不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：基本不等式的证明 知识点02：最值定理 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由基本不等式比较大小 题型02：由基本不等式证明不等关系 题型03：基本不等式求积的最大值 题型04：基本不等式求和的最小值 题型05：条件等式求最值 题型06：基本不等式的实际应用 题型07：基本(均值)不等式的应用 题型08：基本不等式“1”的妙用求最值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】基本不等式的证明 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【例1】已知，求证：，并说明等号成立条件。 证明：由题意可知则，满足基本不等式使用条件。 根据基本不等式，令，代入得： 化简右侧： 因此可得： 两边同乘2得： 等号成立条件：当且仅当，即（，舍去负根）时，等号成立。 【知识点02】最值定理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值，简记为：积定和最小，和定积最大． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 【例2】已知，求的最大值，并求出取最大值时的值。 解：步骤1：判断使用条件 由可得：，满足“一正”条件。 步骤2：确定定值关系 两个因式的和：，和为定值，符合和定积最大模型。 步骤3：代入最值公式 根据，令，得： 步骤4：确定取等条件 当且仅当时，等号成立，解得，符合定义域。 结论：当时，取得最大值。 【题型01】由基本不等式比较大小 【典例1-1】若，则下列不等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接根据基本不等式判断即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由， 所以， 故选：B 【变式1-1】设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用基本不等式比较大小即可. 【详解】，，， . 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，注意（1）各项必须为正数；（2）各项相等时才有等号.（3）时，，即两个数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，大于等于它们的调和平均数. 【变式1-2】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【答案】/ 【分析】确定，，，得到答案. 【详解】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 【变式1-3】比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 【题型02】由基本不等式证明不等关系 【典例2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据完全平方公式，结合平方的性质即可变形求解. 【详解】证明：由得，则，即， 所以，则． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由基本不等式结合与不等式性质可得答案. 【详解】证明：由，可得，则，即， 因此成立． 【变式2-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【变式2-3】（1）已知且，证明：，并指出何时取到等号； （2）已知，证明：，并指出何时取到等号. 【答案】（1）证明见解析，当且仅当时，等号成立 （2）证明见解析，当且仅当时，等号成立； 【分析】（1）利用将平方并利用基本不等式可求得，可得出证明； （2）将看成一个整体对化简变形，由基本不等式即可证明得出结论. 【详解】（1） ； 当且仅当时，等号成立，因此证得 （2）由题得， 设，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 因此证得 【题型03】基本不等式求积的最大值 【典例3-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 【变式3-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用基本不等式求积的最大值． 【详解】， ， ， ，即，解得， 当时，取等号，故D正确． 故选：D． 【变式3-2】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知，求的最大值. 【答案】8 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以， 整理得到，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【题型04】基本不等式求和的最小值 【典例4-1】（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 【变式4-1】（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合题意得到，再两次利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B 【变式4-2】（25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 【变式4-3】（2025高一上·全国·专题练习）已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】由得，令，则，，，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】， 又因为，故有， 因为，所以， 令，则，， 所以， 当且仅当即，也即时，取得最小值. 【题型05】条件等式求最值 【典例5-1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式求出取得最大值时，进而代入，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 【变式5-1】（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知正数x，y满足则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A：，，， ，， 当且仅当，即，时等号成立，所以A正确； 对于B：，由A知，， ，当且仅当，即，时等号成立，所以B错误； 对于C：， 当且仅当，即，时等号成立， ，所以C错误； 对于D：， 当且仅当，即，解得：时取等号，所以D正确. 故选：AD 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【变式5-3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1），当且仅当时取等号. 的最小值为. （2），当且仅当时取等号. 的最小值为. 【题型06】基本不等式的实际应用 【典例6-1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 【变式6-1】（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 【变式6-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【答案】21420元 【分析】设该蓄水池池底的一边长为，总造价为元，则，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设该蓄水池池底的一边长为，则与该边相邻的一边长为， 设建造该蓄水池的总造价为元， 则． 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以，即建造该蓄水池的最低总造价是21420元． 【题型07】基本(均值)不等式的应用 【典例7-1】（25-26高一上·全国·阶段检测）面积为的圆的内接矩形的周长的最大值为（    ） A．12 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】设该矩形的长为，宽为，利用圆内接矩形的性质列方程，结合基本不等式得，即可得. 【详解】不妨设该矩形的长为，宽为，易知圆的半径， 由，得， 所以，当且仅当时，等号成立， 故矩形周长． 故选：D 【变式7-1】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：D． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·山东·期中）下列说法正确的是（   ）. A．若，则的最大值为 B．函数（）的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为3 D．若正数，满足，则的最小值是2 【答案】AC 【分析】利用基本不等式可得结果； 【详解】对于选项A，由于，所以，， 所以， 当且仅当即时取等号，故A正确. 对于选项B，由于， ，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故B错误. 对于选项C，根据题意，可知， 因为，，所以， 当且仅当且，即时等号成立，故C正确. 对于选项D，由题意正数，满足知， 则， 当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：AC 【变式7-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，则的最大值为_________． 【答案】4 【分析】由基本不等式进行求解即可． 【详解】因为，所以， 则， 等号成立时，得， 得的最大值为4， 故答案为：4 【题型08】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例8-1】（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为实数，，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由题设转化得，再由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解. 【详解】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D 【变式8-2】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 【变式8-3】设为正数，且，求的最小值. 【答案】2 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为为正数，，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 知识点01基本不等式核心概念 设（即），则算术平均数与几何平均数满足不等关系： 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 概念解读： 1. ：正数的算术平均数； 2. ：正数的几何平均数； 3. 核心结论：两正数的算术平均数恒不小于几何平均数。 知识点02基本不等式严谨推导（必考） 对任意正数，由完全平方非负性： 展开得： 移项整理： 两边同除正数2，不等号方向不变： 当且仅当，即时，等号成立。 知识点03基本不等式常用变形公式 在前提下，高频变形（解题直接用）： 1. 和式变形： 2. 积式变形： 3. 单变量常用结论： 知识点04最值定理（核心考点） 已知，基本不等式两大最值模型，解题严格满足一正、二定、三相等。 1. 积定和最小 若积（为定值），则： 当且仅当时，取得最小值。 2. 和定积最大 若和（为定值），则： 当且仅当时，取得最大值。 知识点05解题三要素（必考易错点） 一正：参与不等式运算的两个代数式必须为正数，负数、零不能直接套用公式； 二定：两个式子的和或者积必须是定值，无定值无法求最值； 三相等：必须验证等号成立的条件是否在定义域内，取不到等号则不能用该最值。 知识点06高频易错总结 1. 忽略“正数”前提，对负数直接使用基本不等式，导致结果错误； 2. 无定值强行求最值，违背最值定理使用条件； 3. 忘记验证等号成立条件，出现“公式可行、实际无解”的情况； 4. 基本不等式只能求单边最值（只能求最大或最小），无法同时求最大、最小值。 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】直接根据基本不等式的变形不等式可得. 【详解】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 4．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件将，进而得 ，再用基本不等式可得最小值. 【详解】由，，，所以 当且仅当时等号成立，即，再代入，得. 所以当时的最小值为. 故选：B 5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 7．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 【答案】B 【分析】先根据容器容积求得底面积，建立总造价关于底面边长的函数，再利用基本不等式求解总造价的最小值. 【详解】设长方体底面的长为，宽为，其中. 由容器容积为、高为，可得底面积. 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为元，因此总造价为： 代入得. 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 因此，代入总造价公式得： ， 当且仅当时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 8．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 10．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，对变形后用基本不等式判断等号能否取到；B选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘积，判断结果和0的大小关系；C选项，通分整理原式判断符号即可；D选项，用基本不等式建立关于的不等式，再求解范围. 【详解】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误. 选项B：，不等式恒成立，故B正确. 选项C：对任意，变形得：， 故不等式恒成立，故C正确. 选项D：，由基本不等式，代入得： （当且仅当时取等号），令，得， 解得（负根舍去），因此，故D正确. 11．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题 12．（24-25高一上·青海·期中）设，且，则当且仅当______时，的最小值为______ 【答案】 5 13 【分析】整理可得，，代入结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当且仅当时，取到最小值13. 故答案为：5；13. 13．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 【答案】/ 【详解】由正数满足，得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当取最小值时，的值为. 14．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 四、解答题 15．（2025高一上·全国·专题练习）设，求函数的最值. 【答案】最大值为1，无最小值. 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最值. 【详解】由，得，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最大值1，无最小值. 16．设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解. 【详解】，且，则，即， 故，，当且仅当时，等号成立， 故，即， ，故， 因为，所以， 由于，所以，即， ， 即， 综上所述：. 17．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 18．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 【答案】(1)5 (2)18 (3)4 (4)1 【分析】（1）变形后利用基本不等式求出最小值； （2）化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； （3）利用两次基本不等式求出最值； （4）利用基本不等式得求出最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． 19．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：基本不等式的证明 知识点02：最值定理 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由基本不等式比较大小 题型02：由基本不等式证明不等关系 题型03：基本不等式求积的最大值 题型04：基本不等式求和的最小值 题型05：条件等式求最值 题型06：基本不等式的实际应用 题型07：基本(均值)不等式的应用 题型08：基本不等式“1”的妙用求最值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】基本不等式的证明 1．基本不等式：如果a>0，b>0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．其中， 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数． 3．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【例1】已知，求证：，并说明等号成立条件。 【知识点02】最值定理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值，简记为：积定和最小，和定积最大． 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换． 【例2】已知，求的最大值，并求出取最大值时的值。 【题型01】由基本不等式比较大小 【典例1-1】若，则下列不等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 【变式1-3】比较大小：________2(填“”“”“”或“”)． 【题型02】由基本不等式证明不等关系 【典例2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，证明：． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，求证：． 【变式2-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【变式2-3】（1）已知且，证明：，并指出何时取到等号； （2）已知，证明：，并指出何时取到等号. 【题型03】基本不等式求积的最大值 【典例3-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最大值为_________； 【变式3-3】（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）已知，求的最大值. 【题型04】基本不等式求和的最小值 【典例4-1】（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-2】（25-26高一下·湖北咸宁·期中）若，则的最小值为__________. 【变式4-3】（2025高一上·全国·专题练习）已知，且，求的最小值． 【题型05】条件等式求最值 【典例5-1】（24-25高一上·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【变式5-1】（多选）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知正数x，y满足则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式5-2】（2026高一·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为_____. 【变式5-3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）已知，. (1)求的最小值; (2)求的最小值. 【题型06】基本不等式的实际应用 【典例6-1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【变式6-1】（25-26高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式6-2】（25-26高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【变式6-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其底面积为，深3m．若池底每平方米的造价为180元，池壁每平方米的造价为150元，求建造该蓄水池的最低总造价． 【题型07】基本(均值)不等式的应用 【典例7-1】（25-26高一上·全国·阶段检测）面积为的圆的内接矩形的周长的最大值为（    ） A．12 B． C．24 D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·山东·期中）下列说法正确的是（   ）. A．若，则的最大值为 B．函数（）的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为3 D．若正数，满足，则的最小值是2 【变式7-3】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知，则的最大值为_________． 【题型08】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例8-1】（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 【变式8-1】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【变式8-3】设为正数，且，求的最小值. 知识点01基本不等式核心概念 设（即），则算术平均数与几何平均数满足不等关系： 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 概念解读： 1. ：正数的算术平均数； 2. ：正数的几何平均数； 3. 核心结论：两正数的算术平均数恒不小于几何平均数。 知识点02基本不等式严谨推导（必考） 对任意正数，由完全平方非负性： 展开得： 移项整理： 两边同除正数2，不等号方向不变： 当且仅当，即时，等号成立。 知识点03基本不等式常用变形公式 在前提下，高频变形（解题直接用）： 1. 和式变形： 2. 积式变形： 3. 单变量常用结论： 知识点04最值定理（核心考点） 已知，基本不等式两大最值模型，解题严格满足一正、二定、三相等。 1. 积定和最小 若积（为定值），则： 当且仅当时，取得最小值。 2. 和定积最大 若和（为定值），则： 当且仅当时，取得最大值。 知识点05解题三要素（必考易错点） 一正：参与不等式运算的两个代数式必须为正数，负数、零不能直接套用公式； 二定：两个式子的和或者积必须是定值，无定值无法求最值； 三相等：必须验证等号成立的条件是否在定义域内，取不到等号则不能用该最值。 知识点06高频易错总结 1. 忽略“正数”前提，对负数直接使用基本不等式，导致结果错误； 2. 无定值强行求最值，违背最值定理使用条件； 3. 忘记验证等号成立条件，出现“公式可行、实际无解”的情况； 4. 基本不等式只能求单边最值（只能求最大或最小），无法同时求最大、最小值。 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 8．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 11．（25-26高一上·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 三、填空题 12．（24-25高一上·青海·期中）设，且，则当且仅当______时，的最小值为______ 13．（25-26高一下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知均为正数，满足，当取最小值时，的值为______． 14．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，且，则的最小值为_____________． 四、解答题 15．（2025高一上·全国·专题练习）设，求函数的最值. 16．设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由． 17．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 18．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 19．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $