2.4 解直角三角形的应用（第1课时）-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(湘教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形的应用之仰角、俯角问题，通过复习回顾直角三角形的三边关系、锐角关系及边角关系，搭建旧知到新知的学习支架，为解决实际问题奠定基础。 资料以探险者估算距离、热气球测高楼等真实情境导入，引导学生抽象数学模型，培养数学眼光，例题与变式训练强化推理与运算能力，落实数学思维，归纳解题步骤助力数学语言表达，提升学生应用意识，为教师提供结构化教学方案，高效突破重难点。

2.4 解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 课题 第1课时 仰角、俯角问题 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P78-79 教学目标 1.使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.在课堂中渗透数形结合的数学思想，让学生感受到生活中处处有数学。 3.积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯，在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生生活中应用数学的意识。 教学重难点 重点：解决与仰角、俯角有关的实际问题。 难点：把实际问题转化为数学问题，并选择简单的方法解决问题。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 教师活动：带领学生回顾解直角三角形有关的问题： 在解直角三角形时用到的关系式： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）。 （2）两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°。 （3）边角之间的关系： sin A==，cos A==，tan A==， sin B==，cos B==，tan B==。 教师活动：在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题，对于这些问题，可用所学的解直角三角形的知识来加以解决。（教师板书：第1课时 仰角、俯角问题） 通过循序渐进的方法，让学生回顾之前所学知识，为本节课学习的内容作铺垫。 2.实践探究，学习新知 【思考】 某探险者到达如图所示的点A处时，他准备估算出到目的地—海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离。你能帮他想出一个可行的办法吗？ 师生活动：学生独立思考后小组交流，选择学生代表回答问题，最后教师进行讲解并总结。 【归纳总结】 俯角、仰角概念:在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。 【做一做】 如图，如果测得点A的海拔AE为1 600 m，仰角∠BAC=40°，求A，B两点的水平距离AC（tan 40°≈0.839 1，结果精确到1 m）。 师生活动：学生独立思考后小组交流，选择学生代表回答问题，最后教师进行讲解并总结。 【归纳总结】 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，选用适当锐角三角函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。 从学生熟悉的实际问题入手，通过一个简单的直接求值的小例子让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用.激发学生的学习兴趣，引发学生思考，为复杂的应用作铺垫。 由实际问题情境导入新课，激发学生的学习兴趣，培养学生从实际问题中抽象出几何图形从而解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点 与仰角、俯角有关的问题 例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1 m）。 解：如图，在Rt△ABD中，因为α＝30°，AD＝120 m， 所以BD＝AD • tan α＝120×tan 30°＝120×＝（m）。 在Rt△ACD中，因为 β＝60°，AD＝120 m， 所以CD＝AD • tan β＝120×tan 60°＝120×＝（m）。所以BC＝BD+CD＝+＝≈277.1（m）。 答：这栋楼高约为277.1 m。 变式训练 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从C顶部看A的俯角为30°，看B的俯角为60°，求建筑物AB，CD的高度。 解：如图，过点A作AECD，垂足为E， 则AE＝BD＝120 m. 由题意知∠CAE＝30°，∠CBD＝60°. 在Rt△CBD中，tan∠CBD＝tan 60°＝＝， 所以CD＝BD＝120（m）。 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝tan 30°＝， 所以CE＝AE＝40（m）， 所以AB＝CD-CE＝120-40＝80（m）。 答：建筑物AB的高度为80 m， 建筑物 CD的高度为120 m。 通过例题的讲解，加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力，差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图所示，由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基距地平面20 m（即BC为20 m），则塔身AB的高为(　　) A.60 m　 　B.4 m C.40 m D.20 m 答案：C 2.如图，在高出海平面100 m的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝ m。 答案：100 3.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30m，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 m。 答案：20 4.为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C 点测得塔顶E 的仰角为45°，在D 点测得塔顶E 的仰角为60°，已知测角仪AC 的高为1.6 m，CD 的长为6 m，CD所在的水平线CG⊥EF 于点G（如图17所示），求铁塔EF的高。 解：设DG＝x，则EG＝x. 因为∠ECG＝45°，∠CGE＝90°， 所以∠CEG＝45°，所以EG＝CG， 所以CD+DG＝EG，即6+x＝x，解得x＝3+3， 所以EG＝×（3+3）≈14.2（m）， EF＝EG+GF≈14.2+1.6＝15.8（m）。 答：铁塔EF的高约为15.8 m。 5.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图18所示.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m.请求出热气球离地面的高度（结果保留整数.参考数据：sin 35°≈0.574，cos 35°≈0.819，tan 35°≈0.700）。 解：如图，作AD⊥BC于点D。 由题意得∠ABD＝45°，∠ACD＝35°，BC＝100 m。 设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m。 因为BC＝CD-BD，所以-x＝100，解得x≈233。 答：热气球离地面的高度约为233 m。 6.如图所示，A，B两城市相距200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心100 km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区（参考数据：≈1.73，≈1.414）。 解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 如图，过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°。 因为AC+BC＝AB，所以PC · tan 30°+PC·tan 45°＝200， 即PC+PC＝200，解得PC≈126.8 km＞100 km。 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P79~80练习T1~T2 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 7.板书设计 2.4　解直角三角形的应用 第1课时　仰角、俯角问题 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案。 提纲掣领，重点突出。 8.教后反思 本节课的主要内容是掌握仰角、俯角概念，使学生能初步用解直角三角形的相关知识解决一些实际问题。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $