2.4 解直角三角形的应用 专题5 解直角三角形的常见模型及应用-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的常见模型及应用”，涵盖背对背、母子、拥抱、手牵手四类模型，通过高铁隧道施工、两楼高度测量等实际情境导入，搭建从锐角三角函数基础到模型应用的学习支架，梳理“模型识别-关系沟通-问题解决”的脉络。 其亮点是以模型分类为框架，结合楚风湘韵、跨学科融合等新情境实例，培养学生数学眼光（观察现实问题）、数学思维（模型推理）和数学语言（规范解题）。采用“模型展示+针对训练+详细解答”的教学方法，助力学生建立模型观念与应用意识，也为教师提供系统的教学资源和实例参考。

2 第2章　锐角的正弦、余弦、正切 专题5　解直角三角形的常见模型及应用　 3 【模型展示】如图，Rt△ACD和Rt△BCD有一条公共边CD，两个三 角形位于公共边的两侧，CD是沟通两个直角三角形关系的媒介. 针对训练 1. （新情境·楚风湘韵）张吉怀高铁怀化段修建过程中需要经 过一座小山. 如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快 施工速度，要在小山的另一侧D（A，C，D三点共线）处同时 施工. 测得∠CAB=30°，AB=4 km，∠ABD=105°，则BD的长为 ________. 模型1　背对背型 2 km 2 3 4 5 6 1 7 8 4 2. （株洲炎陵期末）如图，甲、乙两楼的水平距离为120 m，自乙楼楼顶C处，测得甲楼顶端A处的仰角为60°，测得甲楼底部B处的俯角为46°，求甲楼的高AB（结果取整数. 参考数据：tan 46°≈1.04，取1.73）. 解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E. 在Rt△BCE中，∠BCE=46°，BD=CE=120 m. 由tan∠BCE=≈1.04，得BE≈1.04×120=124.8（m）. 在Rt△ACE中，∠ACE=60°. 由tan∠ACE=，得tan 60°=， 所以AE=120×≈120×1.73=207.6（m）， 所以AB=AE+BE≈124.8+207.6≈332（m）. 答：甲楼的高AB约为332 m. 2 3 4 5 6 1 7 8 5 【模型展示】如图，Rt△BCD完全包含在Rt△ABC中，两个三角形有公 共直角和一条公共边BC，BC是沟通两个直角三角形关系的媒介. 针对训练 3. 如图，山坡AC的坡度为3 ∶ 4，在与山脚C距离200 m的D处， 测得山顶A的仰角为26.6°，则山高AB约为________m（参考 数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50）. 模型2　母子型 300 2 3 4 5 6 1 7 8 4. 如图，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A，B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60 m的C，D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°． （1）求河的宽度； （2）求古树A，B之间的距离（结果保留根号）. 2 3 4 5 6 1 7 8 解：（1）如图，过点A作AE⊥l，垂足为E. 设CE=x m， 因为CD=60 m，所以DE=CE+CD=（x+60）m. 因为∠ACB=15°，∠BCD=120°，所以∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°. 在Rt△AEC中，AE=CE·tan 45°=x m. 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， 所以tan 30°=，解得x=30+30. 经检验，x=30+30是原方程的根，且符合题意， 所以AE=（30+30）m，所以河的宽度为（30+30）m. （2）如图，过点B作BF⊥l，垂足为F， 则CE=AE=BF=（30+30）m，AB=EF. 因为∠BCD=120°，所以∠BCF=180°-∠BCD=60°. 在Rt△BCF中，CF==（10+30）m， 所以AB=EF=CE-CF=30+30-（30+10）=20（m）， 所以古树A，B之间的距离为20 m. 2 3 4 5 6 1 7 8 【模型展示】两个直角三角形的某条边在一条直线上，两个三角形位于该直线的同一侧且有部分重叠，如图（包括但不限于以下几种形式）. 针对训练 5. 如图，一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO= 70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO =50°，那么AC的长度约为________m（参考数据：sin 70°≈0.94，sin 50°≈ 0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64）. 模型3　拥抱型 1.02 2 3 4 5 6 1 7 8 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin A=，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E. （1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值. 解：（1）在△ABC中，因为∠ACB=90°，所以sin A=. 因为BC=8，所以AB=10. 因为D是AB的中点，所以CD=AB=5. （2）在Rt△ABC中，因为AB=10，BC=8，所以AC==6. 因为D是AB的中点，所以BD=5，S△BDC=S△ADC，所以S△BDC=S△ABC，即CD·BE=AC·BC，所以BE=. 在Rt△BDE中，cos∠DBE=，即cos∠ABE的值为. 2 3 4 5 6 1 7 8 【模型展示】如图，Rt△ADE和Rt△BCD有一个公共点D，点A，D，C在一条直线上，AE⫽BC. 一般需要分别解两个直角三角形. 针对训练 7. ［新趋势·跨学科融合］如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=4 m，BP=6 m，PD=12 m，那么该古城墙CD的高度是________. 模型4　手牵手型 8 m 2 3 4 5 6 1 7 8 8. 学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件. 零件的截面如图中阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC=90°，∠BAD=53°，AB=10 cm，BC=6 cm. 求零件的截面面积（参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60）. 解：因为四边形AEFD是矩形，所以∠E=∠F=90°，AD⫽EF， 所以∠ABE=∠BAD=53°. 因为∠ABC=90°，所以∠CBF=37°，所以∠BCF=53°. 在Rt△ABE中，BE=AB·cos∠ABE=10×cos 53°≈6（cm）， AE=AB·sin∠ABE=10×sin 53°≈8（cm）. 在Rt△BCF中，BF=BC·sin∠BCF=6×sin 53°≈4.8（cm）， CF=BC·cos∠BCF=6×cos 53°≈3.6（cm）. 所以EF=BE+BF≈10.8 cm. 所以S阴影=S矩形AEFD-S△ABE-S△BCF=AE·EF-BE·AE-BF·CF≈53.76（cm2）. 答：零件的截面面积约为53.76 cm2. 2 3 4 5 6 1 7 8 绿卡图书—走向成功的通行证 13 $