2.2 锐角的正切-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“锐角的正切”，核心知识点包括正切定义、特殊角正切值及计算器应用。课堂导入从复习正弦余弦入手，通过提问“锐角对边与邻边比值是否为常数”，结合相似三角形探究形成知识支架，衔接前后知识。 其亮点在于以探究为核心，通过构造直角三角形推导30°、45°、60°正切值，培养学生推理意识（数学思维），结合网格、坐标等情境设计随堂小测，发展应用意识（数学语言）。既帮助学生理解概念本质，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

2 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.2 　正 切 3 学习目标 1.会利用直角三角形，探索并认识正切的定义.会求锐角的正切值. 2.会求特殊角30°，45°，60°的正切值并熟记这些值. 3.会用计算器求锐角的正切值以及已知正切值求对应锐角. 复习回顾 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 正弦：sin A==， 余弦：cos A==. sin 30°= sin 45°= sin 60°= cos 30°= cos 45°= cos 60°= 特殊角的正弦值、余弦值 我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形 的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）.那么 这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 新课导入 知识讲解 知识点1 正切 探究：如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则=成立吗？为什么？ 解：成立.理由：因为∠A=∠D，∠C=∠F， 所以Rt△ABCRt△DEF. 所以=. A B C D E F α α 由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个 常数，与直角三角形的大小无关. 如图，在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作角A的正切，记作tan A， 即tan A= 邻边b 对边a A B C tan30°= ? tan 45°= tan 60°= ? ? 我们该如何计算特殊角的正切值？可以类比前面的特殊角的正弦、余弦的方法，构造直角三角形. 思考: 构造一个Rt△ACB ，使∠C=90°，∠A=30°. 于是BC=AB,∠B=60°. 从而AC2=AB2-BC2=（2BC）2-BC2=3BC2， 因此得AC=BC. 因此tan 30°==，tan 60°==， 同理可以求tan 45°. 特殊角的三角函数值 典例精析 例1：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，求sinA,cosA,sinB,cosB,tanA和tanB的值． A B C 15 9 解析：先求出AC长，再根据定义即可求锐角三角函数值. A B C 15 9 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= sin A==,cos A= =. sin B=,cos B=. tan A=,tan B=. 例2 计算：tan 45°+tan230°·tan260°. 解：原式=1+（）2·（ 知识点2 用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角 对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求. 例如求 25° 角的正切值，可以在计算器上依次按键 　　　　 ，显示结果为 0.6427….　　 　　如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 　　例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键 ，显示结果为40.000…，表示角 α 约等于40°. 结论：对于锐角A的每一个确定的值，sin A，cos A，tan A都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫作∠A的锐角三角函数. 随 堂 小 测 (1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tan A = ( ). (2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ). (3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ， AC = ( ). 1.完成下列填空： B C A 2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( ) A. B. C. D. D 这个图呢？ 3.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为(12，5)，则tan α=_______. M 记得构造直角三角形哦！ 4.在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B. 提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， 所以在 Rt△ABD中， 易知 BD=5，AD=12. 所以tan B==. 5.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tan A =，求 AC 和 BC. 4k 所以 BC = 3k = 3×3 = 9，AC = 4k = 4×3 = 12. ┌ A C B 15 解：如图， 所以设 BC = 3k，AC = 4k. 小结 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与邻边的比叫作∠A的正切 正弦的性质： α 确定的情况下，tan α 为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决正切问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $