2.3 解直角三角形（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心知识点，通过复习直角三角形的三边关系、锐角互余及边角关系（正弦、余弦、正切）作为学习支架，引导学生从已知两个元素（至少一边）出发，探究求其余未知元素的过程，衔接新旧知识脉络。 其亮点在于采用合作探究、分类讨论（如例4分钝角与锐角三角形）及辅助线转化（如作高构造直角三角形）等方法，培养学生的几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。实例典型且小结清晰，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

2.3 解直角三角形 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 ÷ 九年级上册数学（湘教版） A C B c b a (1) 三边之间的关系：a2 + b2 =_____； (2) 锐角之间的关系： ∠A +∠B =_____； (3) 边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____， tan A =_____. 如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C = 90°. c2 90° 复习导入 已知两边解直角三角形 在图中的 Rt△ABC 中， (1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 【合作探究】 A B C 6 75° 1 探究新知 (2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边），就可以求出其余的 3 个未知元素. 像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. A B C 解： 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ， ，解这个直角三角形. 典例精析 6 1. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 30，b = 20，解此直角三角形. 解：根据勾股定理得 A B C b = 20 a = 30 c 练一练 7 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°， a = 5，求∠B，b，c. B A C a c b 30° 解 ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°. 因为 所以 因为 所以 已知一边及一锐角解直角三角形 2 提示：作 CD⊥AB 于点 D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD 和 Rt△CDB 中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而得解． 练一练 2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． D 2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 在 Rt△CDB 中，∠DCB =∠ACB－∠ACD = 45°， 解：如图，作 CD⊥AB 于点 D. 在 Rt△ACD 中，∵∠A = 30°，∴∠ACD = 90° - ∠A = 60°， ∴ BD = CD = 2. D 在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解. 已知一锐角三角函数值解直角三角形 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ， BC = 5， 试求 AB 的长. A C B 解： 设 3 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 D 4. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4， sin B = ，则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 C 练一练 提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论. 例 4 在△ABC 中，AB = ，AC = 13，cosB = ，求 BC 的长. 解：∵cosB = ，∴∠B = 45°. 当△ABC 为钝角三角形时，如图①. ∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5. ∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7. 图① 当△ABC 为锐角三角形时，如图②， 此时 BC = BD + CD = 12 + 5 = 17. 综上可知，BC 的长为 7 或 17. 图② 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°， AB = 8，则 BC 的长是 ( ) D 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( ) A. b = a · tan A B. b = c · sin A C. b = c · cos A D. a = c · cos A A C B  C 课堂练习 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32， 则 AC = ( 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈ 0.80，tan37° ≈ 0.75 ). 4. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3， cosB = ，则 AC 的长为 . 24 3.75 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分 线 ，解这个直角三角形. 解： ∵ AD 平分∠BAC， D A B C 6 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. 在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2， ∴ CD = AD = sin C · AC = 2sin 45° = . 在△ABD 中，∠B = 30°， ∴ BD = ∴ BC = CD + BD = 6. 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2， 求 BC 的长. D A B C 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 $