2.2 正切（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“锐角的正切”，从“山的陡峭程度”情境导入，通过比较梯子倾斜问题，从铅直高度与水平宽度的比到相似三角形对应边成比例，逐步抽象出正切定义，构建学习支架。 其亮点是以情境探究驱动，通过现实问题培养数学眼光，借助相似三角形推理形成正切概念发展数学思维，结合自动扶梯、等腰三角形等实例强化模型意识。学生能直观理解概念本质，教师可利用结构化探究和分层练习提升教学效率。

2.2 锐角的正切 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 ÷ 九年级上册数学（湘教版） 智者乐水，仁者乐山 情境导入 思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？ 陡 陡意味着倾斜程度大！ 想一想：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 铅直高度 水平宽度 A C B 【相关概念】 正切的定义 从梯子的顶端 A 到墙角 C 的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度 梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角 1 探究新知 问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ A B C D E F 倾斜角越大——梯子越陡 A B （C） 合作探究1 问题2:如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲 乙 问题3: 如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 3 m 6 m D E F C 2 m B 4 m A 问题4:你有几种方法比较梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 3 m 2 m 6 m 5 m A B C D E F 倾斜角越大，梯子越陡. 总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1，进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？ A C1 C2 B2 B1 合作探究2 两个直角三角形相似 (2) 和 有什么关系? (3)如果改变 B2 在梯子上的位置 (如 B3C3 )呢? 思考：由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 相等 相似三角形的对应边成比例 (1)Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? 想一想 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫作∠A 的正切，记作 tan A，即 A B C 对边a 邻边b ┌ tan A = 结论：tan A 的值越大， 梯子越陡. ∠A的对边 ∠A的邻边 归纳总结 定义中的几点说明： 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A 是一 个锐角. 2.tan A是一个完整的符号，它表示∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为：tan∠BAC . ∠1 的正切表示为：tan∠1. 3.tan A 大于零 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tan A 不表示“tan”乘以“A ”. 5.tan A 的大小只与∠A 的大小和直角三角形的两边长的比值有关. A B C ┌ 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？ 可以大于 1 吗？ 对于锐角 A 的每一个确定的值，tan A 都有唯一的确定的值与它对应. 解：可以等于 1，此时为等腰直角三角形； 也可以大于 1，甚至可逼近于无穷大. 议一议 例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中， β 6 m 乙 8 m α 5 m ┌ 甲 13 m 乙梯中， ∵tan β＞tan α，∴乙梯更陡. 提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 典例精析 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC = 5，则 tan A =_____，tan B =_____． 2.已知∠A，∠B 为锐角， (1)若∠A =∠B，则 tan A tan B; (2)若 tan A = tan B，则∠A ∠B. = = 练一练 互余两锐角的正切值互为倒数. 3.下图中∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 指出∠A 和∠B 的正切. (1) tan A = = AC ( ) CD ( ) (2) tan B = = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC A B C D 4.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大 100 倍，tan A 的值（ ） A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定 A B C ┌ C 如何求 tan 30°，tan 60° 的值呢. 根据勾股定理，得AC2 = AB2 - BC2 =(2BC)2 - BC2 = 3BC2. 解： 如图，画一个 Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 30°， 于是 BC = AB，∠B = 60°. 由此得出 AC = BC. 因此 　 因此 思 考 说一说 tan 45° 的值 tan 45° = 1 30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如右表． 锐角 α 三角 函数值 30° 45° 60° sin α cos α tan α 归纳： 1 例2 计算：tan 45° + tan² 30°tan² 60°. 解 tan 45° + tan² 30°tan² 60°. = 2. 　　对于一般锐角 α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们也可用计算器来求. 用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角 　　例如求 25° 角的正切值，可以在计算器上依次按键 　　　　 ，显示结果为 0.6427…　　 3 23 　　如果已知正切值，我们也可以利用计算 器求出它的对应锐角. 　　例如，已知 tan α = 0.8391，依次按键 ，显示结果为 40.000…，表示角 α 约等于40°. 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α，都有唯一确定的比值 sin α (或 cos α，tan α)与它对应，并且我们还知道，当锐角 α 变化时，它的比值 sin α (或 cos α，tan α )也随之变化. 因此我们把锐角 α 的正弦、余弦和正切统称为 角 α 的锐角三角函数. 总结归纳 定义中应该注意的几个问题： 1.sin A，cos A，tan A 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sin A，cos A，tan A 是一个完整的符号，分别表示 ∠A 的正弦，余弦，正切 (习惯省去“∠”号). 3.sin A，cos A，tan A 是一个比值.注意比的顺序. 且 sin A，cos A，tan A 均＞0，无单位. 4.sin A，cos A，tan A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 5.角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 例3 求下列各式的值： 提示：cos2 60° 表示(cos 60°)2，即 (cos 60°)×(cos 60°). 解：cos2 60° + sin2 60° (1) cos2 60° + sin2 60°； 典例精析 (2) 解： 5. 计算： (1) sin 30° + cos 45°； 解：原式 = (2) sin2 30° + cos2 30°－tan 45°. 解：原式 = 练一练 例4 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋| sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 1. 已知：| tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数. 解：∵ | tan B－ | ＋ (2 sin A－ )2 ＝0， ∴ tan B＝ ，sin A＝ ∴ ∠B＝60°，∠A＝60°. 练一练 2. 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一 个根，求 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15°) 的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tan α＞0，∴ tan α = 1. ∴ α = 45°. ∴ 2 sin2 α + cos2 α － tan (α + 15° ) = 2 sin2 45° + cos2 45°－ tan 60° (1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tan A = ( ). (2)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tan A = ( )，tan B = ( ). (3)在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tan A = ， AC = ( ). 1.完成下列填空： B C A 课堂小结 2.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( ) A. B. C. D. D 这个图呢？ 3.如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为 ，则 =__________. M 记得构造直角三角形哦！ 4.在等腰△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求 tan B. 提示：过点 A 作 AD 垂直于 BC 于点 D. 求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的. A C B ┌ D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D， ∴在 Rt△ABD 中， 易知 BD = 5，AD = 12. 5.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tan A = ，求 AC 和 BC. 4k ┌ A C B 15 3k 解：如图， ∴设 BC = 3k，AC = 4k. ∴ BC = 3k = 3×3 = 9，AC = 4k = 4×3 = 12. 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求 sin A、cos A、tan A 的值． 解：∵ AB＝10，BC＝6， 又∵ A B C 6 10 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角 α 的对边与邻边的比叫作角 α 的正切 正弦的性质： α 确定的情况下，tan α 为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决正切问题 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $