14.1 全等三角形及其性质（知识清单，知识点3&易错&7题型）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了全等三角形及其性质的知识体系。从全等图形的概念和特征出发，过渡到全等三角形的定义、对应元素及表示方法，进而掌握全等三角形对应边和对应角相等的性质及拓展应用，为后续全等判定学习奠定基础。 知识链路按“图形全等-三角形全等-性质应用”逻辑递进，每个知识点配概念解析、易错警示和方法技巧。通过生活实例（刺绣、雕窗）培养数学眼光，结合规范几何语言和推理训练发展数学思维，题型涵盖基础辨析、性质计算到图形变换与动点问题，助力知识迁移与应用意识培养。

第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 🔷知识点一　全等图形 概念：能______的图形叫做全等图形．   特征：（1）______；（2）______；（3）__________________． 🔷 知识点二　全等三角形概念 概念：两个能______的三角形叫做全等三角形．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做______，重合的边叫做______，重合的角叫做______． 2．表示方法：全等用符号______，读作______． ⚠️ 特别提醒 1．书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上． 2．找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）有公共边的，公共边是对应边． （4）有公共角的，公共角是对应角． （5）有对顶角的，对顶角是对应角． （6）两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）． （7）由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角． 🔷 知识点三　全等三角形的性质 性质1：______________________________________________________． 性质2：______________________________________________________． 拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出： 全等三角形的______相等；全等三角形的______相等； 全等三角形对应边上的________________________分别相等． 标准几何语言：若△ABC≌△DEF，则：对应边：__________________， 对应角：________________________. ⚠️ 特别提醒 1．书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角． 2．全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不成立）． 3．只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等． 4．图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和角，不跳步． 易错1：对应关系混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，AB=5，AC=7，∠A=50°，求DE和DF的长。 错解：DE=AB=5，DF=AC=7。（错误地将AB对应DE，AC对应DF，但未确认对应顶点顺序） 错因：全等三角形表示时，对应顶点必须按顺序书写。△ABC≌△DEF表示A↔D，B↔E，C↔F。若题目给出的对应关系不同，直接按字母顺序对应会导致错误。 规避方法：先看全等符号两边的字母排列顺序，确定对应顶点→再找对应边和对应角。书写时严格对应。 易错2：全等三角形性质应用不完整 错例：已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，求∠F的度数。 错解：∠F=∠A=60°。（误认为∠F与∠A是对应角） 错因：未根据对应顶点顺序找对应角。由△ABC≌△DEF知，C与F对应，故∠F=∠C=180°-60°-70°=50°，而非∠A。 规避方法：找对应角/边时，务必先写出对应顶点关系（如A↔D，B↔E，C↔F），再一一对应求解，切勿凭感觉匹配。 易错3：全等三角形周长、面积、对应高线/中线/角平分线的性质混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20，AB=6，BC=8，求EF的长。 错解：EF=AB=6。（误以为EF一定等于AB） 错因：未利用全等三角形周长相等及对应边关系综合求解。由全等知DE=AB=6，EF=BC=8，DF=AC。应先求AC=20-6-8=6，再得DF=6，而EF=BC=8。 规避方法：牢记全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积均相等。解题时先明确对应边，再结合周长或面积公式列式计算。 题型一：全等图形 📝方法技巧 能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 3．雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（   ） A． B． C． D． 4．下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 题型二：全等三角形的概念及表示方法 📝方法技巧 记作△ABC≌△DEF时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角 1．下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 2．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用全等三角形的性质求角度 📝方法技巧 全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算． 1．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 题型四：利用全等三角形的性质求线段长 📝方法技巧 全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度． 1．如图，这是某大桥及其侧面示意图，，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 3．如图，，若的周长为，则的长为（   ） A．7 B．9 C．5 D．14 4．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则BC的长为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 题型五：利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 📝方法技巧 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件． 1．如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 2．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 3．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 4．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 题型六：全等三角形的性质在图形变换中的应用 📝方法技巧 图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、对应角大小不变 1．如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 2．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为______．    3．两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则______（用含的代数式表示）． 题型七：利用全等三角形的性质研究动点问题 📝方法技巧 动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路程、速度、线段长度列等式求解． 1．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 2．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 3．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）   A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 4．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 5．如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 __________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.1 全等三角形及其性质 🔷知识点一　全等图形 概念：能完全重合的图形叫做全等图形．   特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等． 🔷 知识点二　全等三角形概念 概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”． ⚠️ 特别提醒 1．书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上． 2．找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）有公共边的，公共边是对应边． （4）有公共角的，公共角是对应角． （5）有对顶角的，对顶角是对应角． （6）两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）． （7）由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角． 🔷 知识点三　全等三角形的性质 性质1：对应边相等：两个全等三角形的所有对应边长度相等． 性质2：对应角相等：两个全等三角形的所有对应角度数相等． 拓展延伸（常用推论）：由对应边、对应角相等可进一步推出： 全等三角形的周长相等；全等三角形的面积相等； 全等三角形对应边上的中线、高线、对应角的角平分线分别相等． 标准几何语言：若△ABC≌△DEF，则：对应边：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， 对应角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F. ⚠️ 特别提醒 1．书写全等三角形时，对应顶点一一对应书写，否则会找错对应边、对应角． 2．全等三角形⟹ 周长相等、面积相等；周长/面积相等⟹ 三角形全等（反过来不成立）． 3．只有全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线才相等． 4．图形翻转、旋转、平移后得到的全等三角形，先锁定对应顶点，再依次找边和角，不跳步． 易错1：对应关系混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，AB=5，AC=7，∠A=50°，求DE和DF的长。 错解：DE=AB=5，DF=AC=7。（错误地将AB对应DE，AC对应DF，但未确认对应顶点顺序） 错因：全等三角形表示时，对应顶点必须按顺序书写。△ABC≌△DEF表示A↔D，B↔E，C↔F。若题目给出的对应关系不同，直接按字母顺序对应会导致错误。 规避方法：先看全等符号两边的字母排列顺序，确定对应顶点→再找对应边和对应角。书写时严格对应。 易错2：全等三角形性质应用不完整 错例：已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，求∠F的度数。 错解：∠F=∠A=60°。（误认为∠F与∠A是对应角） 错因：未根据对应顶点顺序找对应角。由△ABC≌△DEF知，C与F对应，故∠F=∠C=180°-60°-70°=50°，而非∠A。 规避方法：找对应角/边时，务必先写出对应顶点关系（如A↔D，B↔E，C↔F），再一一对应求解，切勿凭感觉匹配。 易错3：全等三角形周长、面积、对应高线/中线/角平分线的性质混淆 错例：已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为20，AB=6，BC=8，求EF的长。 错解：EF=AB=6。（误以为EF一定等于AB） 错因：未利用全等三角形周长相等及对应边关系综合求解。由全等知DE=AB=6，EF=BC=8，DF=AC。应先求AC=20-6-8=6，再得DF=6，而EF=BC=8。 规避方法：牢记全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）、周长、面积均相等。解题时先明确对应边，再结合周长或面积公式列式计算。 题型一：全等图形 📝方法技巧 能够完全重合的图形即为全等图形，全等图形形状、大小完全相同 1．刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误； B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确； C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误； D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误． 2．年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【详解】解：A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； D中大小一样，形状相同，符合题意； 3．雕窗是我国古代一种常见的窗户样式，其外框为圆形，中间具有精美的图案．如图，琳琳家的一个雕窗出现了破损，为买到同款雕窗，她应前往商店购买的样式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形，根据形状大小都相同的图形为全等形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，琳琳应前往商店购买的样式与原来的样式形状大小都相同，观察图形，只有B选项的图形符合题意； 4．下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形的判断方法是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意； C、两个是全等图形，不符合题意； D、两个图形是全等图形，不符合题意； 题型二：全等三角形的概念及表示方法 📝方法技巧 记作△ABC≌△DEF时，对应顶点必须一一对应书写，据此快速确定对应边、对应角 1．下列命题是真命题的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．周长相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的定义，熟练掌握三角形全等的定义是解题的关键．全等三角形是指能够完全重合的三角形，因此选项C正确，其他选项均不能保证三角形全等． 【详解】解：对于A，形状相同的三角形的对应角相等，但对应边不一定相等，故不一定全等，不符合题意； 对于B，面积相等的三角形底和高可能不同，故不一定全等，不符合题意； 对于C，因为两个三角形全等的定义是它们能够完全重合，所以选项C是真命题，符合题意； 对于D，周长相等的三角形三边组合可能不同，故不一定全等，不符合题意． 2．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 3．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 题型三：利用全等三角形的性质求角度 📝方法技巧 全等三角形对应角相等，结合三角形内角和、外角性质综合计算． 1．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 2．如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．根据：，可知，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知，，，则（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴． 4．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 题型四：利用全等三角形的性质求线段长 📝方法技巧 全等三角形对应边相等，结合线段和差关系求解长度． 1．如图，这是某大桥及其侧面示意图，，若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，进而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，若的周长为，则的长为（   ） A．7 B．9 C．5 D．14 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， ∵， ∴， 4．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式．如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为10cm的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则BC的长为（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， 题型五：利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系 📝方法技巧 利用全等三角形的性质证明线段、角的数量关系的方法是先根据全等三角形的性质，得到线段、对应角相等，然后根据等量关系将已知线段、角进行等量代换，再结合图形利用线段、角的和、差、倍、分关系进行计算、证明，此外，要注意挖掘图形中隐含的条件． 1．如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的特征； （1）由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，结合直角三角形两锐角互余得，即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故的长为； （2）略 3．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2) 解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）略 4．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． (1)判断直线与是否垂直？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) ． 理由如下：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题综合考查全等三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质(内错角相等)，涉及角的和差运算． （1）通过全等转化角度，结合三角形内角和判定垂直； （2）复用前一问结论，结合平行线性质完成角度计算． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∵， ∴． ∵， ∴． 题型六：全等三角形的性质在图形变换中的应用 📝方法技巧 图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个三角形全等；变换只改变位置，对应边、对应角大小不变 1．如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（   ） A．经过平移可与重合，平移的距离为的长 B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 【详解】解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 2．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接BM，MN．若和全等，则点M表示的数为______．    【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∵和全等， ∴或， ∴或， 3．两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则______（用含的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 根据角平分线的定义求出，利用，得，可得， 根据平行线的性质，分四种情况求解即可， 【详解】解：当点G在点A下方且点H在点F上方时，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， 当点G在点A下方且点H在点F下方时，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， 当点G在点A下方且点H在点E下方时，如图， ， ， 当点G在点A上方时，如图， ， ， 平分， ， ， ， 综上，的度数为． 故答案为：或或． 题型七：利用全等三角形的性质研究动点问题 📝方法技巧 动点运动过程中，始终保持三角形全等关系，对应边、对应角恒定不变；结合路程、速度、线段长度列等式求解． 1．如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 2．如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 3．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 4．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 5．如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 __________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $