第2章一元二次方程综合实践《黄金分割》教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程综合实践中的黄金分割，通过东方明珠、手机屏等生活实例测量长宽比导入，衔接已学方程解法，引导学生从几何关系抽象出比例中项，建立方程模型，形成从解法到应用的学习支架。 此资料以数学文化为脉络，融合斐波那契数列、优选法等跨学科内容，通过情境驱动与几何画板动态演示突破建模及双根取舍难点，培养数学抽象与模型观念。实例涵盖班刊设计、摄影构图等，助力学生体会方程应用价值，为教师提供分层教学与实践活动设计参考。

一元二次方程·综合实践 优美的黄金分割（综合与实践·数学文化专题） 第2章《一元二次方程》 — — — — — — — — — — — — — — 教材版本：苏科版 2024 九年级数学上册 课时安排：1 课时（40 分钟） 课　　型：综合与实践·新授课 授课教师：〔请填写〕 执教学校：〔请填写〕 设计日期：〔请填写〕 一、单元整体定位 本课属第2章 一元二次方程单元全章综合与实践· 优美的黄金分割. 本节素养进阶：从方程是刻画现实中等比关系的利器走向数学文化体验，发展数学抽象、数学建模与数学运算素养.. 二、教学内容分析 黄金分割是苏科版新教材在一元二次方程章末设置的综合与实践主题，意在让学生体会方程是刻画现实中等比关系的利器. 教材以建筑、雕塑、人体中的黄金比为素材，引导学生把较长段是全长的比例中项这一几何关系翻译为一元二次方程 ，并求得黄金比. ▶ 教学重点 把黄金分割的几何关系转化为一元二次方程，并用公式法求出黄金比。 三、学情分析 已学：一元一次方程、二元一次方程、分式方程，以及本章的一元二次方程定义、三种解法.认知基础：具备把实际问题抽象为方程的初步经验. 潜在障碍：① 易把黄金比记成 1.618（其实那是倒数）； ② 解出两根后误取负根 x≈-1.618； ③ 常把 写成 . 四、教学目标 数学抽象：能由建筑黄金比情境抽象出比例中项关系，翻译成一元二次方程. 数学运算：能用公式法解 ，正确求出黄金比. 模型观念：能独立把黄金矩形、优选法 0.618 等生活情境译为方程并求解，体会方程的应用价值. 数学文化：了解黄金比与斐波那契数列、优选法的联系，感受数学之美与跨学科价值. 五、教学重难点 重点：把黄金分割的几何关系转化为一元二次方程，并用公式法求出黄金比. 难点：① 比例中项到方程的建模；② 双根取舍（只留正根）；③ 理解两个分割点与倒数关系. 六、教学方法与教具 教法：情境导入—问题驱动—合作探究—归纳升华.学法：观察—猜想—验证—建模. 信息技术：用几何画板拖动线段上的点 B，观察较长段与全段的比值变化，突破两个黄金分割点的难点. 教具：多媒体课件、黄金分割线段模型图；生活实物参照（手机屏、银行卡、班刊封面等，其长宽比接近黄金比）. 七、教学过程 （一）情境导入（约5分钟） 核心情境：建筑与雕塑中的黄金比. 师：东方明珠广播电视塔总高 468 米，上球体到塔底约 289 米，这两个数相除约是多少？ 生1：大约是 0.62. 师：算得挺准.这个数约 0.618，数学里有个好听的名字，叫黄金比. 师：先提一句：以后你们可能还会碰到约 1.618 这个数，那是它的倒数，记个印象，别和今天的比值弄混了. 生2：老师，一个比值怎么会有专门的名字呢？ 师：因为它特别耐看.不只东方明珠，你手里的手机屏、书包里的银行卡，长宽比也悄悄落在这附近. 师：人们发现，许多觉得美的东西，比例都接近这个数，于是把它叫做黄金分割. 设计意图：用同一常数在不同建筑反复出现吸引学习注意，引出课题. （二）探究新知（约12分钟） 活动一 量一量：量出人体、卡片、画面的长宽比，记录接近 0.618 的例子. 活动二 算一算：把较长段是全长的比例中项列成方程，设全段为 1、较长段为 x. 师：请同学们观察刚才量出的比，它们有什么共同点？ 生3：我的卡片长宽比约是 1.62 比 1. 活动三 一般化：观察上述三个活动，你能归纳出什么共同点？ 追问：旧方法移项合并已经不够用了，怎么办？这正是本课要研究的新对象. 师生共同抽象：一般地，把全段分成较长段与较短段，使较长段比全段等于较短段比较长段，记作黄金分割，其比值叫做黄金比. 预设：学生可能把比例方向写反，写成 较长段/较短段=全段/较长段；用线段图当场比一比即可纠正. 从建筑与雕塑常见的黄金比出发，我们量一量、算一算，方程模型：，其正根 即黄金比. 主问题链（层层递进）： Q1 这个比为什么约 0.618？ Q2 怎样把比例中项译成一元二次方程？ Q3 求得的两个根都要吗？不符合情境的怎样处理？ 设计意图：让学生经历操作—归纳—形式化，亲历黄金分割的再创造. 概念辨析（约3分钟） 1. 如图，四条线段分别按不同方式分割，其中最符合黄金分割（较长段:全段≈0.618）的是哪一条？ A．等分点（左右两段相等） B．点取在约 0.618 处 C．点取在约 0.67 处（接近三分之二） D．点取在约 0.75 处（接近四分之三） 2. 下列关于黄金分割的说法，正确的是（ ） A．把一条线段分成两段就是黄金分割 B．黄金比的值约为 1.618 C．较长段与全段之比等于较短段与较长段之比 D．黄金分割点在线段的延长线上 3.（判断题）黄金比的值约为 1.618，对的打√、错的打×.（ ） 4. 点 P 在线段 AB 的延长线上，且 ，则 P 是 AB 的黄金分割点吗？（ ） A．是，满足比值即可 B．否，黄金分割点必须在线段 AB 上 C．不一定，要看在 AB 哪一侧延长线上 D．无法确定 【辨析小结】判断三看：一看比例方向（较长:全段 = 较短:较长），二看是否在线段上（延长线上不算），三看根的正负（负根舍去）. （三）典例精讲（约13分钟） 例1 【考法:实际建模】 班刊封面要做成黄金矩形，宽 21 cm.（1）按长:宽≈1.618，长约多少厘米（保留一位小数）？（2）若裁去一个边长等于宽的正方形，剩下的还是黄金矩形吗？算一算. 【步骤提炼】①②③④若已知宽求长，先写比例式 长/宽=1.618；代入宽=21，得 长=21×1.618≈34.0(cm)；研究自相似时，先看剩下小矩形的长与宽：长=21，宽=34.0−21=13.0；算 21÷13≈1.615，与 1.618 极近，说明仍是黄金矩形. 【分析】先立比例式再代入已知量；自相似看去掉正方形后长、宽互换. 【解答】解：① 长=21×1.618≈34.0(cm). ② 小矩形长=21、宽=13.0，21÷13≈1.615≈1.618，仍是黄金矩形；发现：黄金矩形去掉一个正方形后仍得黄金矩形（自相似）. 【易错】错例：把长算成 21÷1.618≈12.97(cm)； 归因：概念性错误，混淆 长:宽=1.618 与 长=宽÷1.618； 防错：先列比例式 长/宽=1.618，再代入求长. 变式训练：若把这张封面按黄金比放大，宽变为 42 cm，长应设计约多少厘米？ 【解答】解：长 (cm). 例2 【考法:数形结合】 横拍风景照按黄金分割线放主体：主体在距左边缘 0.618 倍画面宽度处.小宇有张 4000×3000 像素的照.（1）树距左边缘约多少像素？（2）改竖构图、按黄金比定宽，宽约多少像素（保留整数）？ 【点拨】看到黄金分割线或黄金比，先分清求的是比例点位置还是按比定长.前者乘 0.618 定线上位置，后者乘（或除以）1.618 定长宽. 【分析】把 0.618 与 1.618 分别当成线上比例点与长宽倍数来用，位置与尺寸各取所需. 【解答】解：① 距左边缘≈4000×0.618≈2472(像素). ② 竖构图新宽≈3000÷1.618≈1854(像素). 变式训练：若竖构图照片高 2400 像素，按黄金比定宽，宽约多少像素（保留整数）？ 【解答】解：宽 (像素). 例3 【考法:跨知识综合】 【阅读材料】 优选法是用最少试验次数找到最佳点的数学方法；在区间里先取 0.382 与 0.618 两个关于中点对称的点做试验；比较后留下口感较好的一侧，舍去另一侧；好点不动，在它关于新区间中点的对称位置再取一点继续试；这样每次只增加一次试验就能缩小范围，恰好用到了黄金比 用 0.618 法调饮料，糖量 0~100 g.先试 0.618 处约 62 g；再试 0.382 处约 38 g.（1）若 62 g 比 38 g 好，保留好点右侧对称再试，下一步试 62~100 何处？算克数（保留整数）.（2）两试点为何取 0.618 与 0.382，不随便取？ 【方法】①②③④若已知好点在区间内，先用 0.618 法确定两点：左=左端+0.382×区间长，右=左端+0.618×区间长；比较两试点，保留口感好的一侧，把另一侧截去；新区间里，好点不动，在好点关于新中点对称侧再取一点继续试；追问为什么：0.382=1−0.618，两点对称且间距相同，能保证以最少次数锁定最优. 【分析】0.618 法本质是用对称的两点代替盲目试错，把黄金比变成省时省料的实验策略. 【解答】解：① 新区间 [62,100]，长=38；新试点=62+38×0.382≈62+14.5≈77(g). ② 0.382=1−0.618，两试点关于中点对称、间距一致，无论留哪侧，下一轮都能复用已试点、以最少次数逼近最优——这是黄金比在优选中的威力. 【易错】错例：把第二次试点取在区间左端 0 处； 归因：思维定势，误以为再从一头试； 防错：永远在好点关于当前区间中点的对称侧取新点，不回到已舍去的一头. 变式训练：用 0.618 法在 0~50 g 范围试糖量，第一次两试点应取多少克（保留整数）？ 【解答】解：左 (g)，右 (g). 设计意图：以三道生活化例题覆盖 实际建模—数形结合—跨知识综合，把刚求出的黄金比用到封面设计、摄影构图与实验优选中，落实综合与实践的学以致用. （四）当堂检测（约8分钟） A层： 1. 画框宽 30 cm，按长:宽≈1.618 设计，长应约为多少厘米（保留整数）？ 【解答】解：长 (cm). A层： 2. 解方程 ，写出它的两个根，并指出哪一个对应黄金比（负根因线段长度不能为负而舍去）. 【解答】解：；正根 对应黄金比； 负根小于 0，线段长度不能为负，故舍去. 师：第2题谁来说说你的根？ 生4：我算成了两根都写 x≈±1.618. 师：常见错误就在这儿——两根都要吗？线段长度能是负的吗？ 生5：哦，所以只留正的那个. 设计意图：呼应概念辨析「根的正负取舍」，当堂纠正双根误区. B层： 1. 横幅海报宽 80 cm，主体按黄金比放在距左边缘 0.618 倍宽处，距左边缘约多少厘米（保留整数）？ 【解答】解：(cm). B层： 2. 用优选法在 取 0.382 与 0.618 两试点试糖量；若 0.618 一侧口感更好，下一轮应保留哪段区间、新试点取何值？并说明 为何能减少试验次数. 【解答】解：保留 ，新试点取 （与 关于新中点对称）； 因 ，两试点天然对称，每轮只增一个新点即可复用上轮好点，试验次数最少. C层（挑战选做）： 【阅读材料】 斐波那契数列从 1、1 开始，后面每一项都是前两项之和：1、1、2、3、5、8、13、21；相邻两项的比值会越来越接近一个固定数；这个数正是黄金比约 0.618（或它的倒数约 1.618）；大自然里许多生长结构，比如向日葵花盘、松果的排列，都暗含这个数列与比例 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21.计算 5:8、8:13、13:21 三个比值（保留三位小数），观察它们如何趋于黄金比约 0.618. 【解答】解：，，. 三个比值在 0.618 上下摆动并逐步逼近，体现斐波那契与黄金比的天然联系. （五）课堂小结（约5分钟） 师：今天从建筑的黄金比出发，我们列了什么方程、求了什么数？ 生3：列了 ，求得黄金比 . 师：这个比值还藏在哪儿？想想斐波那契、优选法，还有哪些事物也暗含它？ 生4：斐波那契相邻两项之比趋于它；优选法取 0.618；帕特农立面、蒙娜丽莎的构图也暗含这个比例. 设计意图：回扣核心情境，把“情境→方程→根→文化”收口，体验数学之美与跨学科价值. 八、分层作业 A层： 1. 已知 AB=10，C 是黄金分割点且 AC>BC，求 AC（用根号表示）. 【解答】解：. 2. 黄金长方形长 6，宽与长之比为黄金比，求宽（保留两位小数）. 【解答】解：宽 . B层： 1. 人体身高 165，下身比 0.618，求下身长（保留整数）. 【解答】解：下身长 . 2. 优选法 0.618，区间 [a,b] 取 ，证 关于中点对称. 【解答】解：由 得 ，关于中点 对称. C层（挑战选做）： 1. 黄金比的正根满足方程 .不用求根公式，利用 反复降次，把 、 化为 的形式，并观察系数与斐波那契数列的联系. 【解答】解：. . 系数恰与斐波那契数列相邻项相关，体现黄金比与斐波那契的代数渊源. 实践性作业（选做）：请测量家中长方形画框的长与宽，计算宽长比是否接近黄金比，写一段观察记录. 九、小灶课（素养提升） 题型一 黄金分割的尺规作图 例题：用直尺与圆规作线段 AB 的黄金分割点 C（AC>BC）.（1）写出作图过程中所满足的比例方程；（2）据此说明为何 AC:AB = 黄金比.（学生自画草图） 【分析】把“作图”翻译成“满足比例的方程”，几何与代数互为解释、彼此印证. 【解答】解：由分点定义有 ；设 AB=1、AC=x，则 BC=1-x，得 ，即 . 取正根 ，故 ，恰为黄金比. 变式：在正方形一侧接续一个正方形，使新矩形与原矩形相似，求新矩形长宽比. 【解答】解：设原正方形边长 1，接出的正方形边长 x，则 ，即 ，长宽比 . 巩固：验证“去掉正方形后剩余矩形仍与原矩形相似”，体会黄金矩形的自相似. 【解答】解：剩余矩形边长 x 与 1，比值 ，与原矩形一致. 题型二 从一条线段到斐波那契 例题：把黄金矩形不断去掉正方形，得到一串越来越小的黄金矩形.（1）写出相邻矩形长宽比的关系；（2）若初始长宽分别为斐波那契相邻项 、，当 n 增大时长宽比趋于何值？与黄金比有何关系？（学生自画草图） 【分析】把单个黄金分割推广到递推结构并观察极限，体会“特殊→一般”的思想. 【解答】解：长宽比递推为 ；由 得 . 当 时 满足 ，即 ，正根 ，其倒数恰为黄金比. 变式：优选法取 0.618 折点，说明它为何等于黄金比的倒数. 【解答】解：0.618 是 的近似，恰为上述极限值的倒数. 巩固：归纳“黄金矩形去掉正方形仍是黄金矩形”说明了什么结构特征. 【解答】解：自相似：每次操作保持同一比例，黄金矩形在尺度变换下不变. 十、板书设计 板书区（模拟黑板） 课题：黄金分割 学生板演：建模过程 一、关系：较长段/全段=较短段/较长段 错例：两根都写 x≈±1.618 二、建模： 纠错：线段长为正，只留正根 三、求根： 小结：情境→方程→根→文化 四、易错：舍负根 留白：随堂生成区 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $