第2章一元二次方程单元复习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年苏科版九上数学第2章一元二次方程单元复习同步练，以“基础巩固-应用提升-综合拓展”分层设计，覆盖从概念到综合应用的完整知识路径，适配单元复习教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一元二次方程定义、解法（直接开平方/因式分解/配方/公式法）、根的基本概念|选择题1-5、填空题11-13、解答题17-18，聚焦概念辨析与基本运算，强化抽象能力| |中档|根的判别式、根与系数关系、简单应用（增长率/面积/利润）|选择题6-8、填空题14-15、解答题19-20，结合实际情境，培养模型意识与运算能力| |综合|含参方程根的讨论、新定义、动点问题、最值探究|选择题9-10、填空题16、解答题21-24，通过开放探究与跨知识整合，发展创新意识与推理能力|

苏科版九上第2章一元二次方程单元复 习答案+详细解析 一、选择题（每题3分，共30分) 1.答案：B 解析：一元二次方程定义：只含一个未知数、未知数最高次数2、整式方程。 A二元一次；C三次方程；D分式方程；只有x+3=0符合。 2.答案：A 解析：标准形式aX2+bx+c=0(a≠0)，x2-4x+3=0,二次项1，一次项-4，常数项3。 3.答案：A 解析：把x=1代入方程： 12+a1+2=0→1+a+2=0→a=-3。 4.答案：A 解析：十字相乘：x-5x+6=(x-2)(x-3)。 5.答案：C 解析：两相等实根，判别式△=m2-4×1×4=0 m2=16→m=±4。 6.答案：A 解析：增长率/下降率模型：原价(1-x2=现价，两次降价：100(1-x2=81。 7.答案：A 解析：配方法步骤： 2x2-4x-1=0 x2-2x= 2 X2-2x+1=1+1 2 x-12-3 8.答案：A 解析：韦达定理：X1+X2=3,X1=2X2 2X2+X2=3→3X2=3→X2=1,X1=2 m=x1X2=1×2=2。 9.答案：C 解析：P(x,y)第二象限：x<0,y>0; 条件：X+y=5OP=1→X+y=1. +y-+2w+y=1+20 房12w-2w等*w=贵 微-文则y=代入*y-日1+=吉X= 1 5(1+t) w=x=tx- 25代入化简得122+25t+12=0 3或t、3 因式分解(3t+4)(4t+3)=0→t=- 4 区x<0,y>0y0结合第二象限符号与x+y为负x少y故yk1只能取是 x 10.答案：A 解析：换元，令t=|x2-1≥0，方程变为t-t+k=0。 分情况讨论t根的个数： ①k>0.25:无t解，0个实根； 2k=025:【=号X-1=24个实根 ③0<k<0.25:两正t1,t2,4/8个实根， ④k=0:t=0、t=1;|x2-1=0→x=±1；1X2-1=1→x=0,±V2,共5个实根； ⑤k<0:一正一负t,只取正t,2个实根。 故①②③④全为真命题，假命题个数0。 二、填空题（每题3分，共18分） 11.答案：X=3，x2=-3 解析：x=9,直接开方。 12.答案：2 解析：代入x=2:4-6+c=0→c=2。 13.答案：7 解析：配方：x2-4x=1→(x-22=5,m=2,n=5,m+n=7。 14.答案：-1 解析：韦达定理：X1+X2=-2,水1X2=m x+x3=(x1+x22-2x1x2=4-2m=6 -2m=2→m=-1;检验△=4-4m=8>0,符合。 15.答案：15 解析：前a行和： a(a+1=120 2 a+a-240=0,解得a=15(负根舍去)。 16.答案：2020 解析：同族二次方程定义：顶点相同(X-c2+k。 5(x2-2x)+2025=5(x-12-1]+2025=5(x-12-5+2025=5(x-12+2020 最小值为2020。 三、解答题（共72分） 17、解方程(12分) (1)(x-32=16 X-3=±4 X1=7,X2=-1 (2)x2-7x+10=0 (x-2)(x-5)=0 X1=2,X2=5 (3)x2-4x-5=0 x2-4x=5 （x-22=9 X-2=±3 X1=5,X2=-1 (4)2x2-5x+1=0 a=2,b=-5,c=1,△=25-8=17 x=5±17 4 ，七=5-17 x=5+17 4 18(6分) (1)配方法；第三步出错（配方时常数项计算错误） (2)正确过程： 2x2+5x+3=0 2 两边加52-25 416 16 216 xX 52 -24+25_1 4- 16 16 x+51 -4 水=5+ =-1,x,=5-1=-3 4 19(9分)方程x2-(m+2)x+2m=0 (1)证明判别式恒非负： △=(m+22-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=(m-2}2≥0 ∴无论取何实数，方程总有两个实数根。 (2)x=3代入：9-3(m+2)+2m=0 →9-3m-6+2m=0→m=3 方程：x-5x+6=0, 解得另一根x=2。 (3)因式分解原方程：（x-2)(x-m)=0, 根为X1=2,X2=m 两根均整数，m为正整数，∴.m=1,2,3,4.…任意正整数。 20(8分)矩形养鸡场，墙长25m,木栏总长40m 设垂直墙边长x米，平行墙边长(40-2x)米，0<40-2x≤25→7.5≤x<20 (1)面积150： x40-2x)=150→-2x2+40x-150=0 →x2-20x+75=0 (x-5)(x-15)=0,x=5(舍去，40-10=30>25)，x=15 宽15m,长40-30=10m. (2)假设面积200： x40-2x)=200 x2-20x+100=0 (x-10)2=0 x=10 长40-20=20≤25，符合。 能达到；宽10m,长20m。 21(8分】 (1)解方程 x+5=x-1,自变量x+5≥0→x≥-5；右边x-1≥0，故x≥1 两边平方：X+5=x2-2x+1→x-3x-4=0 (x-4)(x+1)=0 X1=4,X2=-1 因为x≥1 所以x=4 (2)疑惑：带根号方程平方会产生增根，必须检验；自变量容易忽略，易算出不符合条件的 根。 22(7分)利润应用题 设降价x元，每件盈利(40-x),销量(20+2x) (40-x)20+2x)=1200 800+80x-20x-2x2=1200 -2x2+60x-400=0→x2-30x+200=0 (x-10)(x-20)=0,x=10或x=20 答：降价10元或20元均可盈利1200元。 23(10分)配方法求最值 (1)x2-4x+15=(x-2)2+11x=2时最小值11。 (2)y=-x2+6x-15=-(x-32-6,X=3时，有大值-6。 (3)-x2+5x+y+10=0→y=x2-5x-10 y+x=x2-4x-10=(x-2)2-14 (x-22≥0，最小值-14。 24(12分)Rt△ABC,∠C=90°，AC=8,BC=6;P速度2mls,Q 速度1mls,时间t,0<t≤4(P到A只需4s) PC=2L,c0=6-t,Sa0226-t)=t6-t (1)t=2:S=2×(6-2)=8m2 (2)t(6-t)=8→-t+6t-8=0→t2-6t+8=0 (t-2)(t-4)=0,t=2或t=4,均在取值范围内。 (3)假设面积10： t(6-t)=10→t-6t+10=0 判别式△=36-40=-4<0，无实数解，面积不可能达到10mf。 2026-2027学年苏科版九上数学 第2章一元二次方程单元复习 一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分) 1、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. x + 2y = 1 B. x² + 3 = 0 C. x³ + 2x = 1 D. + x = 2 2、一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，-4，3 B. 1，4，3 C. 1，-4，-3 D. -1，4，3 3、已知x=1是一元二次方程x² + ax + 2 = 0的一个根，则a的值为（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 4、用因式分解法解方程x² - 5x + 6 = 0，分解正确的是（ ） A. (x - 2)(x - 3) = 0 B. (x + 2)(x + 3) = 0 C. (x - 1)(x - 6) = 0 D. (x + 1)(x + 6) = 0 5、若一元二次方程x² + mx + 4 = 0有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±2 6、某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若每次降价的百分率相同，设为x，则下列方程正确的是（ ） A. 100(1 - x)² = 81 B. 100(1 + x)² = 81 C. 100(1 - 2x) = 81 D. 100(1 - x²) = 81 7、用配方法解一元二次方程2x² - 4x - 1 = 0，配方后得到的方程是（ ） A. (x - 1)² = B. (x - 1)² = C. (2x - 1)² = 3 D. (2x - 1)² = 5 8、若关于 x 的一元二次方程x² - 3x + m = 0的两个实数根分别为 x₁、x₂，且 x₁ = 2x₂，则 m 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9、P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（　　） A． B． C． D．或 10、关于x的方程，给出下列四个题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根        ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根        ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 11、一元二次方程x² - 9 = 0的解是______。 12、已知x=2是一元二次方程x² - 3x + c = 0的一个根，则c的值为______。 13、将方程x² - 4x - 1 = 0化成(x - m)² = n的形式，则m + n = ______。 14、若关于 x 的一元二次方程x² + 2x + m = 0有两个实数根，且两根的平方和为6，则 m 的值为______。 15、如图所示的是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点，……，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为120，则a的值为 ． 16、新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 三、解答题(共8小题，共72分) 17、（12分）按要求解下列方程 （1）直接开平方法解方程：(x - 3)² = 16.（2）因式分解法解方程：x² - 7x + 10 = 0 （3）配方法解方程：x² - 4x - 5 = 0。（4）公式法解方程：2x² - 5x + 1 = 0。 18、（6分）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 19、（9分）已知关于 x 的一元二次方程x² - (m + 2)x + 2m = 0。 （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根为3，求 m 的值及另一个根； （3）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值。 20、（8分）某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用木栏围成，木栏长40米。 （1）若鸡场的面积为150平方米，求鸡场的长和宽各为多少米； （2）鸡场的面积能达到200平方米吗？如果能，请求出长和宽；如果不能，请说明理由。 21、（8分）我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化数学思想及检验反思的数学方法． (1)你能否用这些数学思想方法来探索方程的解？ (2)在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？ 22、（7分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？ 23、（10分）我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式​x2+4x+5的最小值．解答如下： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， （x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当x＝　 　时，代数式x2﹣4x+15的最小值是 　 　； （2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝　 　 时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　； （3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值． 24、（12分）如图，在中，，m，m，点P由C点出发以的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点P移动时间为2秒时，的面积为多少？ (2)点P移动多少秒时，的面积为？ (3)在点P、Q的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $