2024年第一次福建省普通高中学业水平合格性考试(3)-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

2024年第一次福建省普通高中学业水平合格性考试（三） 数学试题 (考试时间：90分钟；满分：100分) 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项： 1.答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答.在试题 卷上作答，答案无效 3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回， 参考公式： 样本数据，x2,,xn的标准差 s气√a-+(x-a2++(云-0] 其中x为样本平均数 柱体体积公式V=Sh,其中S为底面面积，h为高 台体体积公式V=(S+SS+S)h, 其中S,S分别为上、下底面面积，h为高 锥你体积公式V=号S, 其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式S=4πR, 球的体积公式V=号R, 其中R为球的半径 第I卷（选择题57分）】 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.) 1.集合A={x|x<3},B={2,5},则A∩B等于 A.{2} B.{2,5} C.{x|2<x<3} D.{x|x<5} 2.随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现朝上的面的点数是偶数的概率是 A吉 B Cz )>>1⑨5<<< 3.若sin0>0,tan00,则0是 () A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象 限角 4.命题“Vx∈R,x十|x>0”的否定是 A.Vx∈R,x+|x≤0 B.]x∈R,x+|x|>0 C.Hx∈R,x+|x|>0 D.]x∈R,x+|x|≤0 5.下列函数是奇函数的是 () A=是 B.y=lnx C.y=x2-1 D.y=x-1 6为虚数单位，计算昌等于 () A.1+i B.-1+i C.-1-i D.1-i 7.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5：4：1.为了解该校学生的视力情况，采用按 比例分层抽样的方法从中抽取容量为50的样本，那么初中生应抽取的人数是 () A.5 B.10 C.20 D.25 8.已知直线l∥平面&，直线mC平面a,下列结论一定正确的是 () A.l∥m B.⊥m C.l与m是异面直线 D.1与m没有公共点 9.已知f(x),则cosa等于 () A. R昌 c n号 10.如图，在△ABC中，M,N分别是AB,AC的中点，若AB=a,AC=6,则向量MN可表示为 ( ) A数8 B5a+58 c-5a-8 D.- 11.不等式x(x一1)>0的解集是 A.{xx<0或x>1} B.{x0<x<1} C.{xlx<-1或x>0} D.{x|-1<x<0} 12.计算1一2sin260°等于 A B司 c司 /3 D. 2 18.三个数1og2,2,2的大小关系为 A1og2<28<21 B1log2<21<2a )>>196<<< C.25<21<log32 1 D.21<2E<1og32 1 14.甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为0.3，则密码不被破译的概 率为 () A.0.09 B.0.42 C.0.49 D.0.51 15.若lnx=6,lny=3,则等于 () A. B C.e2 D.e 16.若a>b,则下列不等式一定成立的是 () Aasp B.a2>62 C.a2>ab D.2a>a+b 17.将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移石个单位长度，得到的图象所对应的函 数的解析式为 () A.y=sin(2x+君) B.y=sin(2.x+S） C.y-sin(2 D.y=sin(2x-5） 18.已知向量a与的夹角是8不，且a-2,方=2，则向量a在向酝上的投影向量是(） A.6 B-8 c.-2a D.-a 19.某“定制班车”的票价按下列规则制定： ①行程在5km以内的（含5km),票价2元； ②行程在5km以上的，前5km票价2元，以后每增加3km票价增加1元（不足3km的 按3km计算). 小明某天乘坐该“定制班车”，行程skm,票价4元，那么s的取值范围是 () A.[8,11] B.(8,11] C.[11,14] D.(11,14] 第Ⅱ卷（非选择题43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中横线上.） 20.若球的表面积为4π，则该球的半径是 21.函数y=1+cos2x的最小值是 22.若函数f(x)=x2一kx一20在区间[2，十∞)上单调递增，则k的取值范围是 23.某市政府计划对居民生活用水实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准 (单位：t),用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费，该市随机调查 了10000户居民，获得了他们的月均用水量数据，整理得到频率分布直方图（如图）.如果 要让该市85%的居民用户的月均用水量不超出标准，那么心应为 (单位：t). )>>1⑨7<<< ↑频率/组距 0.08 0.06 0.02 0.01▣ 051015202530月均用水量h 三、解答题（本题共3小题，共27分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 24.如图，正方体ABCD一A1BCD1的棱长为2，E为DD1的中点. (1)求三棱锥E-ACD的体积； (2)求证：BD1⊥AC. 、 D 25.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 acos B=c. (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)若c=2,c0sC-号，求△ABC的面积 26.已知函数f(x)= a+ln(-x),x<0, 1-x2+2x+3,x≥0， 且f(-e)=3. (1)求实数a的值； (2)若函数g(x)=f(x)一k在R上恰有两个零点，求实数k的取值范围. )>>198<<<当x>0,则f(x)=-f(-x)=-(e-2x-1)=-e+ (2)直线AB∥平面ADC, 2x+1, 证明：连接AC交AC1于F,则F为A1C的中点，连 又f(0)=-e+2X0+1=0,则当x≥0时，f(x)=一e 接DF, +2x+1. 又D是BC的中点，所以DF∥AB, 24.【解(1)f)-号m2x+号as2x-合-sm(2z+音） 又DFC平面ADC,A1B吐平面ADC, 所以AB∥平面ADC. -, 所以)的最小正周期为T-暨=元 由y=sinx在区间[2kx+受，2kx+](k∈Z上单调 递减， 令2km+受≤2x+吾≤2kx+3(k∈ZD, 26.【解】(1)依题意可得e-1≠0，解得x≠0， 6 2 所以f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞) 解得：+看≤<m+(k∈z刃 (2)若f(x)为奇函数，所以f(x)十f(一x)=0, 所以函数)的单调递减区间为[km十音，km+经]A 1十+1.0-0，所以2十。” ∈Z). 所以2”十严。-肾-m,所以m2 (2)由()知fx)=sin(2x+否)-7， 3当m=-4时，f)=1+气 由题意知子<≤受， 所以不等式f(x)≥kex在x∈(0，+∞)恒成立，即1十 e-i≥ke, 4 所以晋≤2x+音<， 所以f(x)在区间[，受]上单调递减，f(）=0, 即e+号≥，令g)=e+兰， ()=-1, g=e+4长=6-1+C++1=e-1+ e-1 4 所以x)在区间[牙，受]上的值城为[-1,0]. e-1十5， 25.【解(1)证明：因为正三棱柱ABC-A1BC中，D是BC 因为x∈(0，十o∞)，所以e2-1∈(0，十o∞)， 的中点， 所以c-1++5≥2√e-10·+5=, 所以AD⊥BC,AA1⊥平面ABC, 又BCC平面ABC,.AA1⊥BC, 当且仅当。-1=兰气取等， 又AA1∩AD=A,AA1C平面AAD,ADC平面AAD, 所以BC⊥平面AA1D, 所以长e+二=9， 又A1DC平面AA1D,∴.BC⊥A1D, 故的取值范围为≤9. 又BC∥BC1,所以A1D⊥BC; 2024年第一次福建省普通高中学业水平合格性考试（三） 数学试题 1.A 3.B 【详解】因为A={xx<3},B={2,5}, 【分析】根据sin>0,可判断0可能在的象限，根据tan 所以A∩B={2}. 0,可判断0可能在的象限，综合分析，即可得答案. 故选：A 【详解】由sin>0,可得0的终边在第一象限或第二象限 2.C 或与y轴正半轴重合， 【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子可能出现的结果有 由tan0,可得0的终边在第二象限或第四象限， 6个， 因为sin>0,tan0同时成立，所以0是第二象限角， 其中朝上的面的点数是偶数有3种情况， 故选：B 所以出现朝上的面的点数是偶数的概率P=?=】 4.D Γ-6-2 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断 故选：C 77 即可 故选：A 【详解】命题“Vx∈R,x十|x>0”为全称量词命题， 12.B 其否定为：3x∈R,x十x≤0. 【分析】利用二倍角公式计算可得 故选：D 【详解】1-2sin260°=cos(2X60)=cos120°= 5.A 2 【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断 故选：B 13.A 【详解】对于A,定义域为{xx≠0}，因为f(一x)=一 1 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. =士=一f),所以)=一士是奇函数，所以A正确， 【详解】因为y=2在定义域R上单调递增，所以21> x 25>0, 对于B,定义域为{xx>0},因为定义域不关于原点对称 1 所以y=lnx是非奇非偶函数，所以B错误， 又1og2<log1=0, 对于C定义域为x≠0，因为f(-)=(-x- 所以1og2<2<21. =2+≠-，所以)=2-士不是奇函数，所以C 故选：A 14.C 错误； 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得， 对于D,定义域为R,因为f(-x)=一x一1≠-f(x),所 【详解】因为每人成功破译密码的概率均为0.3，且甲、乙 以y=x一1不是奇函数，所以D错误. 两人独立破译某个密码， 故选：A 则密码不被破译的概率P=(1一0.3)×(1一0.3)= 6.A 0.49. 【分析】利用复数的除法法则运算即可， 故选：C 【详解1品2-1+ 15.D 故选：A 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则 7.C 计算可得， 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得。 【详解】因为lnx=6,lny=3, 【详解】依题意初中生应抽取50×。十4+=20人. 4 所以x=t,e,所以号-台-e 故选：C 故选：D 8.D 16.D 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可」 【分析】利用特殊值判断A、B、C,根据不等式的性质判 【详解】因为直线l∥平面a,直线mC平面a 断D. 所以l∥m或1与m是异面直线，则l与m没有公共点. 【详解】对于A,当a=1,b1时，满足a>b,但是1>二 故选：D 故A错误； 9.C 对于B,当a=1,b1时，满足a>b,但是a=形，故B 【分析】利用诱导公式计算可得. 错误； 【详解】因为sin(乏十a)=cosa,所以cosa=sin(受+e) 对于C,当a=0,b1时，满足a>b,但是a2=ab,故C = 错误； 对于D,因为a>b,所以a十a>b+a,即2a>a+b,故D 故选：C 正确. 10.D 故选：D 【分析】根据平面向量线性运算法则算可得. 17.B 【详解】因为M,N分别是AB,AC的中点， 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 所以成-，本=号花 【详解】将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点 所以M-A衣-成-A心-A访--a+荔 向左平移答个单位长度得到y=sin2(x+否)=sin(2x 故选：D +5). 11.A 故选：B 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得。 18.B 【详解】不等式x(x一1)>0，解得x0或x>1, 【分析】根据数量积的定义求出a→·b→，再由投影向量 所以不等式的解集为{xx<0或x>1}. 的定义计算可得. 78 【详解】因为向量a与方的夹角是红，且a=2, (2)通过证明AC⊥DD,AC⊥BD得AC⊥平面BDD 即可 61=2, 【小问1详解】 所以ai-al.cos要=2x2×(-号）=-2， 由题意可知，E为DD1的中点，且正方体棱长为2， 所以三棱锥E一ACD体积为： 所以向量a在向量方上的投影向量为：b.方= 1b1 2 Vg-ACD=号Sam·BD=}×2×2X2X1=号 ×2-a 【小问2详解】 因为正方体中DD⊥平面ABCD,且ACC平面ABCD, 故选：B 所以AC⊥DD. 19.B 【分析】根据小明的票价分析行程最大值，即可判断. 【详解】因为小明的票价为4元，则小明的行程最大为5+ (4-2)×3=11(km), 又当小明的行程为5十3=8(km)时，票价只需3元， D 则小明的行程需大于8km且不超过11km,所以s∈(8， 11]. 故选：B 连接BD,又因为底面ABCD为正方形，所以ACI BD, 20.1 因为DD∩BD=D,且DD,BDC平面BDD, 【分析】根据球的表面积公式计算可得. 所以AC⊥平面BDD, 【详解】设球的半径为R,依题意S=4πR=4π，解得R=1 又因为BDC平面BDD,所以BD1⊥AC (负值已舍去) 25.(1)证明见解析 故答案为：1 (2)2 21.0 【分析】(1)由余弦定理化角为边，化简即可得证； 【分析】根据余弦函数的性质计算可得。 (2)由余弦定理可求得a=b=√5，可求△ABC的面积 【详解】因为一1≤cos2x≤1，所以0≤1十cos2x2, 【小问1详解】 所以函数y=1+cos2x的最小值是0. 因为2 acos B=-c,所以2a.心+g-世=c, 故答案为：0 Zac 22.(-∞，4] 化简得a2=形，即a=b,所以△ABC是等腰三角形 【小问2详解】 【分析】求得抛物线的对称轴方程为x=多，可得号≤2。 由余弦定理可得2=a2+-2 abcos C,得4=2a-2a 求解即可. 【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为x=一2=乞 一k一k 解得a=b=5,由cosC=号，所以sinC=号， 函数f(x)=x2-bx一20在[2，十∞)上单调递增， ∴多≤2，k长4，则的取值范围为(-©，41. 所以△ABC的面积为2sinC-号×，5X5×号-2。 26.(1)2 故答案为：(-∞，4幻 (2)(-∞，3)U{4} 23.17.5#5 【分析】(1)根据分段函数解析式代人计算可得； 【分析】首先判断w位于[15,20)之间，再根据百分位数计 (2)由(1)可得f(x)的解析式，即可分析函数在各段的单 算规则计算可得. 调性与取值范围，再画出f(x)的图象，依题意函数y=f 【详解】因为(0.06十0.08+0.02)×5=0.8<0.85 (x)与y=在R上恰有两个交点，数形结合即可求出参 (0.06+0.08+0.02+0.02)×5=0.9>0.85, 数的取值范围， 所以w位于[15,20)之间， 【小问1详解】 所以(0.06+0.08+0.02)×5+0.02(w-15)=0.85,解 -+2x+3,x≥0，且f-e)=3, (a+ln(-x),x<0, 因为f(x)= 得=17.5， 所以w应为17.5t. 所以f(-e)=a十ln(e)=3,解得a=2; 故答案为：17.5 【小问2详解】 24)号 2+ln(-x),x0 由(1)可得f(x)= -x2+2x+3,x≥0' (2)证明见解析 当x<0时f(x)=2十ln(-x),函数f(x)在(-oo,0)上 【分析】(1)根据三棱锥体积计算公式即可； 单调递减，且f(x)∈R; 79 当x≥0时f(x)=-x2+2x十3=-(x-1)2+4,则f 因为函数g(x)=f(x)一k在R上恰有两个零点， (x)在[0,1]上单调递增， 即函数y=f(x)与y=k在R上恰有两个交点， 在(1，十∞)上单调递减，且f(1)=4,f(0)=3,即f(x)∈ 由图可知<3或=4，即实数的取值范围为（一∞，3） (-o∞，4]； U{4. 所以f(x)的图象如下所示： y=k 2024年第二次福建省普通高中学业水平合格性考试（四） 数学试题 1.B 故a∥B是a与B无公共点的充要条件， 【分析】由交集的运算求解即可. 故选：C 【详解】由题意可得A∩B={1,2}, 9.A 故选：B. 【分析】根据给定条件，利用同角三角函数基本公式计算 2.B 即得. 【分析】根据特殊对数值，代入即可求解 【详解】由a是第一象限角，得cosa>0,而sina=5, 4 【详解】f(10)=1g10=1. 故选：B 3.A 所以casa√1-（P= 【分析】根据诱导公式求解即可， 故选：A 【详解】sin(2π十a)=sina. 10.A 故选：A 【分析】根据给定条件，解一元二次不等式即可. 4.B 【详解】解不等式(x一1)(x一2)<0，得1<x<2, 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可. 所以原不等式的解集为{x1<x<2. 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 故选：A 由图可知：y=f(x)的单调递增区间为[0,1]. 11.B 故选：B. 【分析】由BD∥BD,根据异面直 D 5.D 线所成角的定义，∠ABD的大小即 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 为所求，求解即可 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积V=π 【详解】如图所示： 在正方体ABCD-ABCD中， D ×12×1=元. 故选：D BD∥B1D, 6.C 所以∠ABD是异面直线AB,BD 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 所成的角， 【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为P 因为∠ABD=45°， 所以异面直线AB,BD所成的角为45° =9 故选：B. 故选：C 12.D 7.A 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案 【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解 【详解】由题意知a=(1,2),b=(m,-1),a6, 析式有意义即可. 故1×m-2=0, 【详解】由题意可得：x-1≥0，∴.x≥1 所以m=2, 故选：A 故选：D 8.C 13.A 【分析】根据两个平面平行的性质，结合充要条件的定义即 【分析】根据不等式的性质判断AB,举反例判断CD. 可求解. 【详解】因为a>b, 【详解】若a∥B,则a与B无交点， 所以a一b0,A正确 若a与B无交点，则a∥B, -a<-b,因此1一a<1-b,B错； 80