练习20 空间角的求法-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

练习20 空间角的求法 一、巩固提高 3.已知正方体ABCD-A1B1CD1,连接 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1, AD、CD1、AC,求二面角D-AC-D的 (I)求异面直线DD与BC所成角的余 正弦值. 弦值； (2)求异面直线DA1与BC所成角的 余弦值； (3)求异面直线AC与BC1所成角的 余弦值 A 4.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O D 所在的平面，点C是圆周上不同于A、B的 一动点 (1)求证：BCL平面PAC; (2)若PA=AC=1,AB=2,求PB与平面 2.在棱长为a的正方体ABCD-A1BCD中， PAC所成角的正切值 (1)直线DB与平面ABCD所成角的正 切值是 (2)直线D1B与平面AA1D1D所成角的正 切值是 (3)直线DB与平面D1DCC所成角的正 切值是 )>>184<<< 5.如图，在锥体P-ABCD中，四边形ABCD是 (4)求直线PA与直线FG所成角的 边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD= 余弦值 √2，PB=2,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明：AD⊥平面DEF; (2)求二面角P-AD-B的余弦值. B 7.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，CA= D C E B CB=CC=1,CA⊥CB,CC⊥底面ABC, 则异面直线AB'与BC所成角的余弦 值是( 4 3 B 16 3 6.如图，三角形PDC所在的平面与长方形 C 2 n号 ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 =6,BC=3.点E是CD边的中点，点F,G ABCD,四边形ABCD为正方形，PA= 分别在线段AB,BC上，且AF=2FB,CG AB,E为AP的中点，则异面直线PC与 =2GB. DE所成的角的正弦值为() (1)证明：PE⊥FG; (2)求二面角P-AD-C的正切值； (3)求直线PA与平面ABCD所成角的正 弦值； )>>185<<( A号 B. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1BC中， 5 ∠BAC=90°，AB=AC=√2，AA1=√3， C15 5 D.1o 5 D是BC的中点，点E在棱BB1上运动. 9.如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面 (1)证明：AD⊥CE; ABC,直线PA与平面ABC所成角为45°， (2)若异面直线AC,CE所成的角为60° AC=AB=√2，BC=2,求VP-ABC 时，求三棱锥C-A1BE的体积. D B A 10.如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底 面圆的直径，点C是底面圆周上异于A、 B的任意一点，已知二面角A1-BC-A 的大小为60°，且AC=1,AB=2, 求VA,-ABC. A B )>>186<<<则专R-,解得R=是， 因此2R=√/AB+BC+BB 因为AB=2BC=2, 所以3=√4十1十BB,解得BB=2, 因此长方体的表面积S=2 XABX BC+2 XABX BB1+ 2×BC×BB1=4+8+4=16. 故选A 17.解：因为正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切 圆半径为1，面积为π×12=π，以此内切圆为底、高为2的 圆柱是可切出的最大圆柱，且该圆柱的体积为π×2 =2r. 故选C 4 18.解：设正方体棱长为a,球的半径为R,则V=号πR- dR=2, 9 .√a2+a2+a=2R=3,∴W3a=3,∴.a=3. 19.解：如图，设圆柱底面半径为r,底面 圆心为N,点M是底面圆上一点，则 OM=ON2+MN2, 即R=ON2+2,即4=22+2，所 以r=2√3， 所以该圆柱的体积为π产h=π(2√3)2×4=48π 故选D. 20解：设球的半径为7，测片-X2-号 4 2 3n3 放答案为号· 21.解：如图所示，当点C位于垂直于面 AOB的直径端点时， 三棱锥O-ABC的体积最大，设球O 的半径为R, 此时oAc=V%m=号×号RXR=言R=36,故R=6, 则球O的表面积S=4πR2=144π.故选C 22.解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆 的半径r=4, 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半 球的体积等于圆锥的体积， 所以×号xX4=X(xX)h→ =8 故答案为8. 练习20 空间角的求法 一、巩固提高 1.解：(1)在正方体ABCD-A1BCD中，DD∥AA ∥BB, ∴∠BBC即为异面直线DD与BC所成的角或所成角 的补角. ,△B1BC是直角三角形，∠BBC=90°，BB=B1C, ∠BBC=45,c0s∠BBC,=cos45°=2， 21 :异面直线DD与BC所成角的余弦值为号 (2)如图，连接B1C, 在正方体ABCD-ABCD中，DC∥AB且DC =A1B, .四边形A1BCD为平行四边形. .AD∥BC .直线DA1与BC所成的角即为直线BC与BC1所成 的角. 四边形BCCB为正方形，.BC⊥BC. .异面直线DA与BC所成的角为90°， 其余弦值为c0s90°=0. (3)如图，连接AD,CD. 0 在正方体ABCD-AB,CD,中，AD,∥ BC且AD1=BC, ∴∠DAC为直线AC与BC所成角或 所成角的补角， 易证△DAC是等边三角形，·∠D,AC=60°， osD.AC-cos 60- 2.解：(1)如图，连接BD.DD⊥平面AB CD, ∴BD是斜线DB在平面ABCD上的射影， .∠DBD是DB与平面ABCD所成的角： 在Rt△DBD中，DB=√2a,DD=a, “00-器后号 (2)如图，连接AD.AB⊥平 面AA1D1D, .AD1是斜线D1B在平面AA1D1D上的 射影， ∴∠ADB是DB与平面AA1DD所成的角. 在Rt△ADB中，AD=√2a,AB=a, ∠DAB=60°， aAnB-提-总要 △ABD是等边三角形，∴.AD⊥HB,PH∩HB=H, .AD⊥平面PHB,.AD⊥PB. (3)如图，连接CD.BC⊥平 面DDCC, :E,F分别是BC,PC的中点， .CD是斜线DB在平面DDCC上的 ∴.EF∥PB,HB∥DE, 射影， .ADI DE,AD⊥EF..'DE∩EF=E, ∴.∠BD1C是D1B与平面D1DCC所成的角 .AD⊥平面DEF. 在Rt△BDC中，CD=√2a,BC=a, (2)解：由(1)知PH⊥AD,HB⊥AD, ∴tan∠BD,C- 后号 21 ∴∠PHB是二面角P-AD-B的平面角， 3.解：设正方体的棱长为a. 易求得PH=号，BH=复， 如图，连接BD交AC于点O,连接OD. 四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD, 3 COS/PHB=PP+H形-PB4十4一42= 且O是AC的中点. 2PH·HB 2x9x2 2 2 2 在Rt△AAD中，AD1=√AA+DA=√2a, 同理CD=BD=AD=√2a, 7, '.在等腰三角形D1AC中，D1OLAC, ∠DOD是二面角D1-AC-D的平面角. 二面角P-AD-B的余弦值为- 7 又D0=含BD-号，Dn=a, 6.(1)证明：在△PDC中，PD=PC且E是CD的中点， 在Rt△DOD中，DO=VDO+D,= .PE⊥CD 2a, ,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD sin∠D,OD=PD-6 DO 3 =CD, 4.(1)证明：因为AB是圆O的直径，C是圆周上异于A、B的 ∴.PE⊥平面ABCD.而FGC平面ABCD,.PE⊥FG 一点， (2)解：由(1)知平面PDC⊥平面 所以AC⊥BC.又PA⊥底面ABC,BCC底面ABC, ABCD,又AD⊥DC, 所以PA⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. (2)因为BC⊥平面PAC,所以∠BPC为PB与平面PAC 平面PDC∩平面ABCD=CD, E D 所成的角， .ADL平面PDC, A G 因为PA⊥底面ABC,ACC底面ABC,所以PA⊥AC .∠PDC为二面角P-AD-C 在Rt△PAC中，PC=√PA+CA平=√2， 的平面角。 在Rt△BAC中，BC=√AB-CA=√3， 在Rt△PDE中， 在△PC市，C亮-得-要 PE=√PD-DE=√7， 所以直线PB与平面PAC所成角的正切值为 ☑Pc=器-号， 21 5.(1)证明：取AD的中点H,连接P (3)解：由(1)知，PE⊥平面ABCD,如图，连接AE, PH,BH,BD. 则∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角. PA=PD,∴.ADPH 在Rt△ADE中，AE=√JAD+ED=√32+3z=3√2， ,'在边长为1的菱形ABCD中， 又PE=√7， 12 在R△PAE中，AP=√AE+E严-√(3√2)2+(/7)P=5, 在Rt△PAC中，PC-AC=√2. 所以sim∠PAE=蛋-得 在△ABC中，AC=AB=√2，BC=2, ∴.ACg+AB=BC,.AB⊥AC (4)解：连接AC,则AC=√AB+BC=3√5. 在Rt△ABC中，AF=2FB,CG-2GB,∴.FG∥AC, Vc=号Sa·PC=3(合AB:AC)·PC-=号 则∠PAC是直线PA与直线FG所成角或其补角. 10.解：，点C是底面圆周上异于A、B的 A 在△PAC中，易得PA=5, 任意一点，且AB是圆柱底面圆的直 由余弦定理得cos∠PAC=PA十AC-PC=95 径，∴.BC⊥AC 2PA·AC 25 AA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 7.解：在三棱柱ABC-A'B'C中，BC∥B'C', ∴.AA,⊥BC ∴∠AB'C是异面直线AB与BC所成的 ,AA∩AC=A,AAC平面AAC,ACC平面AAC, 角或其补角。 ∴.BC⊥平面AAC.∴.BCLA C. 如图，连接AC,:CC⊥底面ABC,CB ∴∠ACA是二面角A-BC-A的平面角，∴∠ACA=60° C平面ABC, .CC⊥CB.又CA⊥CB,CA∩CC=C,.CB平面 在R△AAC中，ZACA-A0-4A-an60, ACC'A'. AA=3. 又ACC平面ACCA',.CB⊥AC. 在Rt△ABC中，BC-√AB-AC=√2-1=√3， 由CB∥B'C',可得BC'⊥AC. V4A=号s·AA=3(号BCAd·AA= .CA⊥CB,∴.AB=√2.又BB=CC=1,∴.AB=√3， 11.(1)证明：：三棱柱ABC- ·在R△ABC'中，cos∠ABC=范方-S, A1B1C为直棱柱， D .BB⊥平面ABC 即异面直线AB与C所成角的余弦值为得，故选八 .'ADC平面ABC, 8.解：如图，连接AC,BD相交于点O,连接 ∴.BB1⊥AD OE、BE. ,△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点， 因为E为AP的中点，O为AC的中点， .BC⊥AD. 所以PC∥OE, BCO BB=B,.AD⊥平面CBBC. 可得∠OED为异面直线PC与DE所成的角. CEC平面CBBC,.AD⊥CE. 不妨设在正方形中，AB=2,则PA=2. (2)解：，CA∥CA1,∴.∠ACE=60°. 由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,PA⊥AD, an∠AGE=升长，：AE=AC tan∠ACEP 则BE=DE=I中4=5,0D=2BD=合×2D-2. √2tan60°=√6. 因为BE=DE,O为BD的中点，所以∠EOD=90°， 在Rt△A1BE中，BE=WA1E2-A1B1=2, 所以血0D提-滑改法卫 三棱柱ABC-A1BC为直棱柱，.EB是三棱锥C- A1B1E的高， 9.解：，PC⊥平面ABC, ,∴∠PAC是直线PA与平面ABC所成的角，∠PAC=45° %4鸟g=Vg449=号·S44e·B=号X1X2=号 73