练习19 简单几何体的体积和面积-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

练习19简单几何体的体积和面积 一、巩固提高 长方体的侧面积为( ) 1.圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧 A.12 B.24 面积为( C.28 D.32 A.4π B.3π 7.正四棱维底面正方形的边长为4，高与斜 C.5π D.2π 高的夹角为30°，则该四棱锥的侧 2.已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面 面积是( 展开图的面积为8π，则圆柱的体积 A.32 B.48 为 C.64 D野 3.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直 8.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 角三角形，则圆锥的侧面积是( ) √5，则该正四棱锥的表面积为() A.4√2π B.4π A.√3 B.12 C.2√2π D.2π C.8 D.4√3 4.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面， 9.正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该 则这个圆锥的体积为 四棱锥的体积为( ) 5.古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今 A.2⑤ 有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积 3 B22 3 几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈， c D.8 上底周长2丈，高1丈，则它的体 10.如图，在长方体AC1中，四棱锥A1-AB 积为() CD的体积与长方体的体积之比为( A提立方丈 B.9立方丈 D 12π c1g立方丈 n立方丈 6.长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻 A.2:3 B.1:3 两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此 C.1:4 D.3:4 )>>181<<< 11.若一个球的直径为2，则此球的表面 A√6π B.4√3π 积为() C.4√6π D.6√3π A.2π B.16π 16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= C.8π D.4π 2BC=2,若此长方体的八个顶点都在体 12.体积为8的正方体的顶点都在同一球面 上，则该球面的表面积为() 积为爱的球面上，则此长方体的表面积 A.12π B32 π 为( A.16 B.18 C.8π D.4π C.20 D.22 13.如图所示，球内切于正方体，已知正方体 17.把一个棱长为2的正方体木块，切出一个 的体积为8，则此正方体内切球的表面积 最大体积的圆柱，则该圆柱的体 为( 积为( ) 弩 B.π C.2π D.h= 18.已知一个正方体的所有顶点都在一个球 B.8π 9 面上，若球的体积为？π，则正方体的棱长 C.4π D.16π 14.将一个球状气球的半径扩大一倍，则它的 为 体积扩大到原来的 倍 19.如图，半径为4的球R中有一内接圆柱， 15.平面α截球O的球面所得圆的半径为1， 已知圆柱的高为4，则该圆柱的体积为 球心O到平面a的距离为√2，则此球的 ( ) 体积为() 0 A.64π B.36π a 01。 C.32π D.48π )>>182<<< 20.如图，在圆柱OO2内有一个球O,该球与 积为() 圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱 A.36π B.64π OO2的体积为V1,球O的体积为V2,则 C.144π D.256π 长的值是 22.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一 个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正 好盛满杯子，则杯子高h= cm. 0 h cm 21.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB =90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面 )>>183<<<因为BE⊥PC,BD∩BE=B,所以PC⊥平面BDE 因为PCC平面PBC,所以平面BDE⊥平面PBC (2)如图，设AC∩BD=O,连接OE. 因为四边形ABCD为菱形， 所以AO=OC 因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=OE; 所以PA∥OE, 所以PE=EC,即E是PC的中点， 练习19简单几何体的体积和面积 一、巩固提高 1.解：圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为S=2πrl=2πX1×2=4π.故选A. 2.解：设圆柱的高为h,有2πh=8π，得h=4. 则V圆柱=S底h=π2h=πX12X4=4π. 3.解：如图，设圆锥的底面半径为r,母线长 为l,则l=√2r 由题可知2×(2)°=2，∴r=2,=2, ∴.侧面积为πrl=2√2π.故选C 4.解：半径为20的半圆卷成圆锥的侧面： 则圆锥的底面圆周长为2πr=π×20， 所以底面圆的半径为r=10,所以圆锥的高为h= w√/202-102=10/5， 则Ve=3s张M=3rh=名xX10×105-105元 3 5,解：由题意，得下底面半径R=是（丈），上底面半径一 2 =(丈)，高h=1(丈)， 所以它的体积为V=号h(R+r+R)=号πX1X [(会)”+()广+是×]是立方文故选B 6.解：设长方体底面矩形的长与宽分别为a,b,则ab=12. 又由题意知√十形×2=10，解得a=4,b=3或a=3,b=4. 故长方体的侧面积为2×(4+3)×2=28.故选C. 7.解：如图，正四棱锥的高PO,斜高PE, 底面边心距OE组成直角△POE ,OE=2cm,∠OPE=30°， 之斜商PE一0=4， ÷S指=号×4X4X4=32放选A 8.解：如图所示，在正四棱锥S-ABCD中， 取BC中点E,连接SE, 则△SBE为直角三角形， 所以SE=√/SB形-BE=√5-I=2, 所以表面积S=S正形m十4×Sa=2X2十4X号X 2×2=12.故选B. 9.解：正四棱锥的底面边长和高都等于2， “该四棱锥的体积V=号Sh=号×2×2=号.故选C 10.解：设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c 则长方体的体积V1=abc, 四棱锥A-ABCD的体积=弓c, 所以棱锥A,-ABCD的体积与长方体AC,的体积的比 为1：3.故选B. 11.解：因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积 为4π×12=4π.故选D. 12.解：设正方体的棱长为a,则c=8,∴.a=2, 正方体的体对角线为√Ja2+a2+a=√3a=23, 球的直径2R=2√3，.R=√3 球的表面积S球=4πR=4π(W3)2=12π.故选A. 13.解：正方体的体积为8，故边长为2， 内切球的半径为1，则表面积S=4πR=4π.故选C 14.解：设原来球的半径为R,则原球体积V=号R, 半径扩大一倍以后体积=专x(2R)-号R, 9-8 15.解：如图，设平面α截球O所得 圆的圆心为O1, 则0A=1,00=√2. 在Rt△OOA中，球的半径R =OA=/3, 0。--.. “此球的体积V=专R一 4√3元.故选B. 16.解：根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于 长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为受，设外接球半径为R, 则专R-,解得R=是， 因此2R=√/AB+BC+BB 因为AB=2BC=2, 所以3=√4十1十BB,解得BB=2, 因此长方体的表面积S=2 XABX BC+2 XABX BB1+ 2×BC×BB1=4+8+4=16. 故选A 17.解：因为正方体棱长为2，所以正方体底面正方形的内切 圆半径为1，面积为π×12=π，以此内切圆为底、高为2的 圆柱是可切出的最大圆柱，且该圆柱的体积为π×2 =2r. 故选C 4 18.解：设正方体棱长为a,球的半径为R,则V=号πR- dR=2, 9 .√a2+a2+a=2R=3,∴W3a=3,∴.a=3. 19.解：如图，设圆柱底面半径为r,底面 圆心为N,点M是底面圆上一点，则 OM=ON2+MN2, 即R=ON2+2,即4=22+2，所 以r=2√3， 所以该圆柱的体积为π产h=π(2√3)2×4=48π 故选D. 20解：设球的半径为7，测片-X2-号 4 2 3n3 放答案为号· 21.解：如图所示，当点C位于垂直于面 AOB的直径端点时， 三棱锥O-ABC的体积最大，设球O 的半径为R, 此时oAc=V%m=号×号RXR=言R=36,故R=6, 则球O的表面积S=4πR2=144π.故选C 22.解：由题意得半球的半径和圆锥底面圆 的半径r=4, 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半 球的体积等于圆锥的体积， 所以×号xX4=X(xX)h→ =8 故答案为8. 练习20 空间角的求法 一、巩固提高 1.解：(1)在正方体ABCD-A1BCD中，DD∥AA ∥BB, ∴∠BBC即为异面直线DD与BC所成的角或所成角 的补角. ,△B1BC是直角三角形，∠BBC=90°，BB=B1C, ∠BBC=45,c0s∠BBC,=cos45°=2， 21 :异面直线DD与BC所成角的余弦值为号 (2)如图，连接B1C, 在正方体ABCD-ABCD中，DC∥AB且DC =A1B, .四边形A1BCD为平行四边形. .AD∥BC .直线DA1与BC所成的角即为直线BC与BC1所成 的角. 四边形BCCB为正方形，.BC⊥BC. .异面直线DA与BC所成的角为90°， 其余弦值为c0s90°=0. (3)如图，连接AD,CD. 0 在正方体ABCD-AB,CD,中，AD,∥ BC且AD1=BC, ∴∠DAC为直线AC与BC所成角或 所成角的补角， 易证△DAC是等边三角形，·∠D,AC=60°， osD.AC-cos 60- 2.解：(1)如图，连接BD.DD⊥平面AB CD, ∴BD是斜线DB在平面ABCD上的射影， .∠DBD是DB与平面ABCD所成的角： 在Rt△DBD中，DB=√2a,DD=a, “00-器后号 (2)如图，连接AD.AB⊥平 面AA1D1D, .AD1是斜线D1B在平面AA1D1D上的 射影， ∴∠ADB是DB与平面AA1DD所成的角.