练习18 空间的垂直和平行-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

练习18 空间的垂直和平行 一、巩固提高 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，D,E 第一节平行的证明 分别为BC,AC的中点，求证：AB∥平 1.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点 面DEC. E、F分别是DD'、DB的中点，求证：EF∥ A 平面ABCD'. 5.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形， M、N分别是AB、PC的中点.求证：MN∥ 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 平面PAD. 为平行四边形，E为侧棱PA的中点，求 证：PC∥平面BDE. D 6.如图，在四棱锥S-ABCD中，M是SB的 3.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，E 中点，AB∥DC,且AB=2CD.证明：CM∥ 为BB1的中点.求证：BC∥平面ADE. 平面SAD. D D )>>15<<< 7.如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'的相对侧 2.如图，四棱锥P-ABCD的俯视图是菱形 面分别平行，过它的一个顶点A的一个平 ABCD,顶点P的正投影恰好为A.求证： 面截它的四个侧面得到四边形AMFN.求 BD⊥PC. 证：四边形AMFN是平行四边形 注意：投影的概念很多学生会忽视，从而 解决不了此题， B4---- 8.如图，四边形ABCD是矩形，P庄平面 ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E, 交DP于F.求证：BC∥EF 3.如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面 ABC,PC=3,AC=AB=√2，BC=2.证 明：AB⊥平面PAC. 第二节垂直的证明 1.如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的 直径，C是圆周上一点.求证：BC⊥平 面PAC. )>>176<<< 4.如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的6.如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中点，点V是圆O所在平面外一点，D是 中，PA⊥平面ABCD,E是PD的中点.求 AC的中点，已知AB=2,VA=VB=VC= 证：平面PDC⊥平面PAD. 2.求证：AC⊥平面VOD. 7.如图，在三棱锥V-ABC中，VA⊥平面 5.如图，在四棱锥S-ABCD中，M是SB的中 ABC,BC=3,AC=4,AB=5,VA=2. 点，AB∥DC,SD⊥平面SAB,证明：CD⊥SD 证：平面VBC⊥平面VAC. D A )>>1⑦<<< 8.在直棱柱ABCD-A1BCD1中，底面 A若m∥a,n∥a,则m∥n ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC= B.若m∥a,n∥β，则a∥3 90°，AB=2AD=2CD=2.求证：AC⊥平 C.若m∥n,m⊥a,则n⊥a 面BBCC D.若&⊥B,m∥a,则m⊥β 5.在空间中，给出下列四个命题，其中正确的 命题是() A.平行于同一个平面的两条直线互 相平行 B.垂直于同一个平面的两条直线互 相平行 第三节 体积与等体积法（阅读理解） C.平行于同一条直线的两个平面互 第四节综合练习 相平行 1.已知直线a,b和平面a,下列推理错误的 D.垂直于同一个平面的两个平面互 是() 相平行 A.a⊥a且bCa→a⊥b 6.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图 B.a∥b且a⊥a→b⊥a 为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) C.a∥a且bCa→a∥b A.2 B.22 D.a⊥b且b⊥a→>a∥a或aCa C.4 D.4√2 2.设1为直线，α，3是两个不同的平面，下列 7.已知在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面 命题中正确的是( ABCD,四边形ABCD是正方形，E是PA A若l∥a,l∥B,则a∥3 的中点 B.若1⊥a,lL3,则a∥3 求证：(1)PC∥平面EBD; C.若l∥a,l⊥B,则a∥B (2)平面PBC⊥平面PCD. D.若l∥a,a⊥B,则l⊥3 3.设a,B是两个不同的平面，l是一条直线， 以下命题正确的是( A若l⊥a,a⊥B,则l∥3 B.若l∥a,a∥B,则l∥β C.若⊥a,a∥3，则l⊥3 D.若l∥a,a⊥B,则l⊥B 4.设m,n是两条不同的直线，a,3是两个不 同的平面，下列命题中正确的是() )>>178<<< 8.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 已知AC⊥BC,BC=CC.设AB:的中点 ABCD,底面ABCD是直角梯形，AB⊥ 为D,BC∩BC1=E. AD,CD⊥AD,CD=2AB,E为PC中点. (1)证明：DE∥平面AA1CC; (1)求证：平面PDC⊥平面PAD; (2)证明：BC⊥AB. (2)求证：BE∥平面PAD; (3)若AB=AD=AP=1,求棱锥P BCD的体积. C B 9.如图所示，四边形ABCD是正方形，PA⊥ 平面ABCD,E、F分别是AC、PC的中点. (1)求证：AC⊥DF; (2)若PA=2,AB=1,求三棱锥C-PED 的体积. )>>179<<< 11.如图，在三角形ABC中，AC=BC=号AB, 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥ 2 底面ABCD,底面ABCD为菱形，E为侧 四边形ABED是边长为1的正方形，平 棱PC上一点， 面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是 (1)若BE⊥PC,求证：平面BDE⊥平 EC、BD的中点. 面PBC: (1)求证：GF∥底面ABC; (2)若PA∥平面BDE,求证：E是PC的 (2)求证：AC⊥平面EBC; 中点. (3)求几何体ADEBC的体积V. E D B >>>180<<<共21种取法，其中都是优质果实的取法有BB2,BB3, B2B3,共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率P=员-一 29.解：(1)由频率直方图可知(0.0075+0.01)×20=0.35， (0.0075+0.01+0.015)×20=0.65, 因为0.35<0.5<0.65，所以所求中位数在(40,60]内， 不妨设中位数为x,则0.35十（x一40)×0.015=0.5，得 x=50. 所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50. (2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40]有 20人， 20 设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则n=0.01X20' 即n=100. 用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人 数为505-100×09-5， 即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5. (3)由(2)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其 男女比例为3：2， 所以其中男性为3人，女性为2人，将其3名男性分别记 为1,2,3,2名女性分别记为a,b, 从中任选两人的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1，a),(1,b), (2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种， 其中至少有一名男性的基本事件有(1,2)，(1,3)，（1，a), (1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9种. 所以至少选到一名男性的概率P=哥 练习18空间的垂直和平行 一、巩固提高 第一节平行的证明 1.证明：如图，连接BD :E、F分别是DD'、DB的中点， .EF是△DBD的中位线， ∴.EF∥BD. 又：BDC平面ABCD',EF丈平面 ABC'D', .EP∥平面ABCD' 2.证明：如图，连接AC,交BD于O,连接OE 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC 因为E为侧棱PA的中点， 所以OE是△ACP的中位线， 所以OE∥PC 因为PC丈平面BDE,OEC平面BDE, 所以PC∥平面BDE, 3.证明：如图所示，在正方体ABCD- A1BCD中， AB∥AB且AB=AB,AB∥CD 且A1B=CD, ∴.AB∥CD且AB=CD, .四边形ABCD为平行四边形， .BC∥AD. ,BC平面ADE,ADC平面ADE, .∴.BC∥平面ADE. 4.证明：，在直三棱柱ABC-ABC中，A D,E分别为BC,AC的中点， .DE∥AB,AB∥AB,∴.DE∥AB. ,DEC平面DEC,AB中平面DEC, .AB∥平面DEC. 5.证明：如图，设E是PD的中点，连 接EA、EN. E、N分别是PD、PC的中点， ∴EN是△PDC的中位线， EN/∥DC,EN=号DC .四边形ABCD是正方形， ∴.AB∥CD,AB=CD. 1 M是AB的中点，AM=2CD,AM∥CD, ∴AM=EN,AM∥EN,∴.四边形AMNE为平行四边形， .NM∥AE. 又，'AEC平面PAD,MN平面PAD, ∴.MN/∥平面PAD. 6.证明：如图，设N是SA的中点， 连接MN、DN. N M M是SB的中点， 5 'MN是△SAB的中位线， A… :.MN//AB,MN-AB .AB∥DC,且AB=2CD, ∴.MN=CD,MN∥CD, .四边形MNDC为平行四边形， ∴.CM∥ND. 又.'NDC平面SAD,CM￠平面SAD, .CM∥平面SAD. 7.证明：，四棱柱ABCD-A'B'C'D D' 的相对侧面分别平行， ∴.平面AA'D'D∥平面BB'CC. .平面AA'D'D∩平面AMFN =AN, 平面BB'C'C∩平面AMFN=MF, ∴.AN∥MF,同理AM∥NF, ∴.四边形AMFN是平行四边形 8.证明：四边形ABCD是矩形， ∴.BC∥AD. 又BC中平面PAD,ADC平 面PAD, .BC∥平面PAD. ,BCC平面BCFE,平面BCFE∩平面PAD=EF, ∴.BC∥EF 第二节垂直的证明 1.证明：，AB是圆O的直径，C是圆周上 D 一点，.AC⊥BC PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC ,PA∩AC=A且PAC平面PAC,AC C平面PAC, 从而BC⊥平面PAC 2.证明：，顶点P的正投影恰好为 A,.PA⊥平面ABCD. ,BDC平面ABCD,.PA⊥BD. ,四边形ABCD是菱形，.AC ⊥BD. .'PA∩AC=A且PAC平面PAC,ACC平面PAC, 从而BD⊥平面PAC. ,'PCC平面PAC,.BD⊥PC. 3.证明：，PC⊥平面ABC,ABC平面ABC, ∴.PC⊥AB. .AC=AB=√2，BC=2, .AC+AB=BC,.AB⊥AC PCNAC-=C,.AB⊥平面PAC 4.证明：AB是圆O的直径，C是圆 周上一点，∴.AC⊥BC 在△VAC中，VA=VC,D是AC 的中点，.VD⊥AC 0 AB是圆O的直径，.O是AB的 中点 D是AC的中点，.OD是△ABC的中位线， ∴.OD∥BC,∴.AC⊥OD.又VD⊥AC,OD∩VD=D, .AC⊥平面VOD. 5.证明：，SDL平面SAB, ABC平面SAB, M ..SD AB. D .AB∥DC, 4c...------ CD⊥SD. 6.证明：PA⊥平面ABCD, CDC平面ABCD, .PA⊥CD. 四边形ABCD是矩形，∴.AD⊥CD. 而PA∩AD=A, ∴.CD⊥平面PAD CDC平面PDC, .平面PDC⊥平面PAD. 7.证明：在△ABC中，AC+BC= AB,..ACLBC. :VA⊥平面ABC,BCC平面ABC,B .VA⊥BC .ACOVA=A,.BC⊥平面VAC. ,BCC平面VBC, .平面VBC⊥平面VAC. 8.证明：在直棱柱ABCD-A1BCD 中，BB⊥平面ABCD, .BB1⊥AC.在Rt△ACD中， ∠ADC=90°，AD=CD=1, .AC=√AD+CD=√2，∠ACD=45° .'AB∥CD,∴.∠CAB=45° 在△ACB中，BC=AC+AB-2AC·AB·coS∠BAC=2. 在△ACB中，AB2=AC2+BC,.BC⊥AC BC∩BB=B,.AC⊥平面BBCC 第三节体积与等体积法（阅读理解） 第四节综合练习 1.C2.B3.C4.C5.B 6.解：设圆锥的母线长为1，由于圆锥底面圆的周长等于扇形 的弧长，则πl=2xX√2， 解得l=2√2.故选B. 7.证明：(1)如图，连接AC交BD于点P O,连接EO. .E,O分别为PA,AC的中点， B ∴.EO∥PC. .PC中平面EBD,EOC平面EBD, ∴.PC∥平面EBD. (2).'PD⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, ∴.PD⊥BC .四边形ABCD为正方形，.BC⊥CD 又.PD∩CD=D,.BCL平面PCD. ,BCC平面PBC,∴.平面PBC⊥平面PCD 8.证明：(1)依题意知E是BC1的中A 点，又因为D是AB1的中点， 所以DE是△ACB的中位线，所以 DE∥AC. 又因为DE吨平面AACC,ACC平 面AACC, 所以DE∥平面AA1CC (2)在直三棱柱ABC-ABC中， CC⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以ACLCC. 又因为AC⊥BC,BC∩CC=C,所以AC⊥平面BCCB. 又因为BCC平面BCCB,所以BC⊥AC 因为BC=CC,所以矩形BCCB1是正方形， 所以BC⊥BC 因为AC,B,CC平面BAC,AcnB C=C, 所以BC⊥平面BAC 又因为AB1C平面BAC,所以BC⊥AB 9.(1)证明：连接ED、EF, ,四边形ABCD是正方形，E是AC 的中点，.ED⊥AC 又，E、F分别是AC、PC的中点， ∴.EF∥PA 又，PA⊥平面ABCD, .EF⊥平面ABCD. .'ACC平面ABCD,∴.EF⊥AC, .ACL平面DEF 又，DFC平面DEF,故AC⊥DF. (2)解：PA⊥平面ABCD, .PA是三棱锥P-CED的高，PA=2. 四边形ABCD是正方形，E是AC的中点， ∴，△CED是等腰直角三角形 又AB=1,放CE=ED-号，SAm=CE·ED=X ×号， 故m=Vem=·5m·PA=××2= 69 10.(1)证明：PA⊥平面ABCD, PA⊥CD. ,CDI AD(已知)， PA∩AD=A, ∴.CD⊥平面PAD. ,CDC平面PDC .平面PDC⊥平面PAD. (2)证明：如图，取PD中点为F,连接EF、AF, 由E为PC的中点， 得EF为△PDC的中位线，则EF∥CD,CD=2EF. 又CD=2AB,则EF=AB.由AB∥CD,则EF∥AB, 所以四边形ABEF为平行四边形，则BE∥AF. 由AFC平面PAD,则BE∥平面PAD (3)解：Vrm=号×号×2X1X1=寸 11.(1)证明：取BC的中点M,AB的中点N, 连接GM、FN、MN, G、F分别是EC和BD的中点， ∴GM/BE,且GM=2BE,NF∥DA且 NF-7DA. 又，四边形ADEB为正方形，∴.BE∥AD,BE=AD, ∴.GM∥NF且GM=NF,∴.四边形MNFG为平行四边形， ∴.GF∥MN.又MNC平面ABC,∴.GF∥平面ABC. (2)证明：四边形ADEB为正方形，.EB⊥AB. 又，平面ABED⊥平面ABC,∴.BE⊥平面ABC,.BE⊥ AC. 又.CA2+CB=AB,∴.AC⊥BC .BC∩BE=B,∴.AC⊥平面BCE. (3)解：如图，连接CN,因为AC=BC,.CN⊥AB. 又平面ABED⊥平面ABC,CNC平面ABC, ∴.CN⊥平面ABED. “三角形ABC是等腰直角三角形，CN=合AB=号 :C-ABED是四棱锥，VCABED=专S边形ED·CN- 吉×1×号-吉 12.证明：(1)如图，连接AC,因为四边 P 形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA ⊥BD. 因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC. 因为BE⊥PC,BD∩BE=B,所以PC⊥平面BDE 因为PCC平面PBC,所以平面BDE⊥平面PBC (2)如图，设AC∩BD=O,连接OE. 因为四边形ABCD为菱形， 所以AO=OC 因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=OE; 所以PA∥OE, 所以PE=EC,即E是PC的中点， 练习19简单几何体的体积和面积 一、巩固提高 1.解：圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为S=2πrl=2πX1×2=4π.故选A. 2.解：设圆柱的高为h,有2πh=8π，得h=4. 则V圆柱=S底h=π2h=πX12X4=4π. 3.解：如图，设圆锥的底面半径为r,母线长 为l,则l=√2r 由题可知2×(2)°=2，∴r=2,=2, ∴.侧面积为πrl=2√2π.故选C 4.解：半径为20的半圆卷成圆锥的侧面： 则圆锥的底面圆周长为2πr=π×20， 所以底面圆的半径为r=10,所以圆锥的高为h= w√/202-102=10/5， 则Ve=3s张M=3rh=名xX10×105-105元 3 5,解：由题意，得下底面半径R=是（丈），上底面半径一 2 =(丈)，高h=1(丈)， 所以它的体积为V=号h(R+r+R)=号πX1X [(会)”+()广+是×]是立方文故选B 6.解：设长方体底面矩形的长与宽分别为a,b,则ab=12. 又由题意知√十形×2=10，解得a=4,b=3或a=3,b=4. 故长方体的侧面积为2×(4+3)×2=28.故选C. 7.解：如图，正四棱锥的高PO,斜高PE, 底面边心距OE组成直角△POE ,OE=2cm,∠OPE=30°， 之斜商PE一0=4， ÷S指=号×4X4X4=32放选A 8.解：如图所示，在正四棱锥S-ABCD中， 取BC中点E,连接SE, 则△SBE为直角三角形， 所以SE=√/SB形-BE=√5-I=2, 所以表面积S=S正形m十4×Sa=2X2十4X号X 2×2=12.故选B. 9.解：正四棱锥的底面边长和高都等于2， “该四棱锥的体积V=号Sh=号×2×2=号.故选C 10.解：设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c 则长方体的体积V1=abc, 四棱锥A-ABCD的体积=弓c, 所以棱锥A,-ABCD的体积与长方体AC,的体积的比 为1：3.故选B. 11.解：因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积 为4π×12=4π.故选D. 12.解：设正方体的棱长为a,则c=8,∴.a=2, 正方体的体对角线为√Ja2+a2+a=√3a=23, 球的直径2R=2√3，.R=√3 球的表面积S球=4πR=4π(W3)2=12π.故选A. 13.解：正方体的体积为8，故边长为2， 内切球的半径为1，则表面积S=4πR=4π.故选C 14.解：设原来球的半径为R,则原球体积V=号R, 半径扩大一倍以后体积=专x(2R)-号R, 9-8 15.解：如图，设平面α截球O所得 圆的圆心为O1, 则0A=1,00=√2. 在Rt△OOA中，球的半径R =OA=/3, 0。--.. “此球的体积V=专R一 4√3元.故选B. 16.解：根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于 长方体体对角线的长， 因为长方体外接球的体积为受，设外接球半径为R,