练习17 概率-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

练习17 一、巩固提高 1.指出下列事件是必然事件、不可能事件还 是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180°； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正 面向上； (5)从分别标有1、2、3、4的四张标签中任 取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能 量的“永动机”将会出现， 2.老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是 0.8,是指() A.老师每讲一题，该题有80%的部分能听 懂，20%的部分听不懂 B.老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道 C.李峰听懂老师所讲这道题的可能性 为80% D.以上解释都不对 3.某种彩票中奖的概率为10000，这 是指() A.买10000张彩票一定能中奖 B.买10000张彩票只能中奖1次 C.若买9999张彩票未中奖，则第10000 张必中奖 D买一张彩票中奖的可能性是1000 4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒 分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 >>>17 概率 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把， 数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷 约为() A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 5.在一个不透明的口袋中，装有5个红球3 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸 出一个球，则摸到红球的概率为() B.3 D. 6.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同. 若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率 是号，则” 7.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲 被选中的概率为( A. 1 2 B. c号 9 D.25 8.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各 取任意一个数，则这两数之和等于4的概 率是( 2 B.3 CZ n吉 9.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、 蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们 选择相同颜色运动服的概率为 10.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中， 任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按 字母顺序相邻的概率为 11.某小组共有5名学生，其中女生2名，现 选举2名代表，至少有1名女生当选的概 率为 12.先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一 次正面朝上的概率是() 《《《 A君 R号 c n名 13.从三男三女6名学生中任选2名（每名同 学被选中的机会相等)，则2名都是女同 学的概率等于 14.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、 2、3、4的四个球，现从中各取出1个球， 每个小球被取出的可能性相等.求取出的 两个球上标号之和能被3整除的概率. 15.口袋中有标号分别为1、2、3、4且大小相 同的四个小球.从中取出2个小球，求至 少有1个标号大于2的概率. 16.口袋中有标号分别为1、2、3、4且大小相 同的四个小球.从中取出一个记下标号， 然后放回，再取一个记下标号，求两次标 号数的和大于4的概率. 17.从1,2,3,4中任意取出两个不同的数组 成两位数，大于20的概率是 18.有4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从 这4张卡片中随机抽取2张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概 率为( ) R方 c号 D是 19.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少 有一次中靶”的互斥事件是() A.两次都不中靶 B.两次都中靶 )>)1 C.只有一次中靶D.至多有一次中靶 20.从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事件中 是互斥事件但不是对立事件的是() A.至少有一个是奇数和两个都是奇数 B.至少有一个是奇数和两个都是偶数 C.至少有一个奇数和至少一个偶数 D.恰有一个偶数和没有偶数 21.下面结论正确的是() A若P(A)+P(B)=1,则事件A与B 是互为对立事件 B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与 B是相互独立事件 C.若事件A与B是互斥事件，则A与B 也是互斥事件 D.若事件A与B是相互独立事件，则A 与B也是相互独立事件 22.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级 均属次品，在正常生产情况下，出现乙级 品和丙级品的概率分别是5%和3%，则 抽检一件是正品（甲级）的概率为() A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 23.已知随机事件A和B互斥，且P(AUB) =0.7,P(B)=0.2,则P(A)=() A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8 24.某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的 概率为0.3.假定这一天甲、乙两地是否 降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的 概率为( A.0.24 B.0.14 C.0.06 D.0.01 25.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为) 和假定两球是否落人盒子互不影响， 73<< 则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒 子的概率为 26.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测 量过某项指标，若从这5只兔子中随机取 出3只，则恰有2只测量过该指标的概率 为() A号 B c号 n吉 27.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲 的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9， 两个人射击的结果互不影响，求下列事件 的概率： (1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶， 28.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一 批该植物果实样本测量重量（单位：克）， 按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5， 42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分为5 组，其频率分布直方图如图所示 频率/组距 0.075- 0.040 0.020 0.015 027.532.537.542.547.552.5重量/克 (1)求图中a的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数x和 方差s2(同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表)； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5 >>>17 克的即为优质果实，若所取样本容量n= 40,从该样本分布在[27.5,32.5)和 [47.5,52.5]的果实中，随机抽取2个，求 抽到的都是优质果实的概率 29.由于受疫情的影响，某市的一个小区505 人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分 层抽样的方法从中随机抽取101人，记录 其核酸检测结果（阴性或阳性）.现将核酸 检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组： (0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80, 100],得到如图所示频率分布直方图，其 中年龄在(20,40]的有20人 频率/组距 0.015 0.01 0.0075 年龄 0 20406080100 (1)估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中 位数； (2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳 性的人数； (3)若此次核酸检测呈阳性的人中，男女 比例为3：2，从中任选两人，求至少选到 一名男性的概率. ,《《《=4.8.故选C 20.解：该组数据从小到大排列为78,79,81,82,84,88,92， 95,共8个数.由8×75%=6，得该组数据的75%分位数 在第6位和第7位之间，为88}92)=90.故答案为：90. 2 21.解：8名学生的成绩从小到大排列为60,65,75,78,84， 86,90,94, 因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个 数的平均数， 即2×(86+90)=88（分）.故选A 2,解：由于30X0=18,设第19个数据为，则28士 2 8.2,解得x=8.6,即第19个数据是8.6.故答案为8.6. 23.解：选B 24.解：由题意，得该班学生的成绩低于60分的频率为 (@.05十0.010)×20=0.3，因此该班的学生人数是号 =50.故选B. 25.解：不及格的为前两组，不及格频率为 0.01×10+0.015×10=0.25,所以及格率为0.75.选C. 26.解：由题得在区间[6,10)上的数据的频数为100×(1 4×0.02-4×0.09-4×0.03×2)=32.故答案为：32. 27.解：该校女老师的人数是110×70%+150×(1一60%) 137.选B. 28.解：(1)(0.04×10+0.025×10)×20=13. (2)众数为最高矩形的组中值：565=60. 2 (3)因为0.2+0.4>0.5，所以中位数一定在[55,65)之 间，设中位数为x, 则0.2十(x一55)×0.04=0.5，x=62.5. (4)平均数为0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+ 0.05×90=64. 29.解：(1)茎叶图如图所示. 为 乙 98 7 67 976532 P 1236 65 1356 甲组中位数为8586=85.5， 2 乙组中位数为9士6-84.5 (2)x甲=1079+83+96+89+86+78+85+95+82+ 87)=86, 6 元=0(81+95+83+76+91+86+96+77+82+93) =86, 4=6[(79-86)2+(83-86)2+(96-86)2+(89- 86)2+(86-86)2+(78-86)2+(85-86)2+(95-86)2 +(82-86)2+(87-86)2]=33, 元=0[(81-86)2+(95-86)2+(83-86)2+(76- 86)2+(91-86)2+(86-86)2+(96-86)2+(77-86)2 +(82-86)2+(93-86)2]=48.6. x甲=x2,希<忌，即甲、乙的平均水平相同，而甲相对 乙更为稳定，所以选派甲参加竞赛. 30.解：(1)当0x≤200时，y=0.5x; 当200<≤400时，y=0.5×200+0.8×(x一200)= 0.8x-60; 当x>400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x-400) =x-140. f0.5x,0≤x200, 所以y与x之间的函数解析式为y=0.8x一60,200<≤400， (x-140,x400. (2)由(1)可知，当y=260时，x=400,即用电量不超过 400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 (0.001×100+2×100b+0.003×100=0.8, 100a+0.0005×100=0.2, 解得a=0.0015,b=0.0020. (3)设75%分位数为m, 因为月用电量低于300千瓦时的居民所占比例为(0.001 +0.002+0.003)×100=60%, 月用电量不超过400千瓦时的居民占80%， 所以75%分位数m在[300,400)内，所以0.6+ (m-300)X0.002=0.75, 解得m=375,即月用电量的75%分位数为375千瓦时. 练习17概率 一、巩固提高 1.解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随 机事件； (2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件； (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类 无法生存，所以是不可能事件； (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是 随机事件； (5)任意抽取，可能得到1、2、3、4号标签中的任一张，所以 是随机事件； (6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会 出现，所以是不可能事件 2.解：概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂 老师所讲这道题的可能性为80%.故选C. 3.解：彩票中奖的概率为10000，只是指中奖的可能性为 10000,不是买10000张彩票一定能中奖，概率是指试验 次数越来越大时，频率越接近概率.所以选D 4解：依题意，这批米内夹谷为器×153169石，选B 5熊：P=g-名选C n4 6.解：P-2m-5心n=8. 7.解：用1,2,3,4,5表示5名学生，其中1表示甲，从中任取 两人，则所有的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种，其中甲被选 中有4种情况，故所求概率P=。-号透B 8.解：从A,B中各取任意一个数，共有6种，满足两数之和 等于4的有(2,2)，(3,1)两种，∴.两数之和等于4的概率P =号选B 9.解：甲、乙选择颜色的基本情况共有以下9种：（红，红）， (红，白)，（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红)， (雀，白，（篮，蓝），颜色相同的有3种，所以P-号-子 10.解：任取两张的基本情况共有以下10种：(A,B),(A,C), (A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E) (D,,字母相邻的有4种，所以P=音-号。 11.解：用1,2,3表示男生，用a,b表示女生，从中任取两人 共有以下10中抽取方法：(1,2)，(1,3)，(1，a),(1,b), (2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),至少有1名女 生当选有7种，所以P=品。 12.解：抛掷三枚硬币共有以下8种情况：（正，正，正），（正， 正，反)，（正，反，正），（正，反，反)，（反，正，正），（反，正， 反)，（反，反，正），（反，反，反）.至少一次正面朝上的有7 种，所以P=名选D 13.解：设3名男生分别用A,B,C表示，3名女生分别用a, b,c表示，则任选两名学生有AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC, -b Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种， 其中2名都是女同学的有ab,ac,bc,共3种，∴.2名都是 女同学的概率等于污一方· 31 14.解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x, y,用(x,y)表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种. 所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)， (2,1),(2,4),(3,3),(4,2),共5种，故取出的两个小球 上的标号之和能被3整除的概率为6 15.解：基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3， 4},共6种，记“至少有1个标号大于2”为事件A,则A包 含的基本事件有5种，PA)=吾。 16.解：基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)， (2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),共16种，记事件“两次标号数的和 大于4”为事件B,则B包含的基本事件共有(1,4)，(2， 3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4, 0,共10种P(B)=8-8 17.解：组成的两位数共有以下12个：12,13,14,21,23,24,31， 32,34,41,42,43,大于20的有9个PN=是-星 18.解：从4张卡片中抽2张的所有事件数为12，分别为 (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3).2张卡片上的数字之和为奇 数的事件数为8种，分别为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)， （3,2》8,,1和(4,3所求的概率P=是-号 选C 另解：基本事件为1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3)，{2,4}， {3,4},共6种，数字和为奇数的有{1,2，{1,4}，{2,3)， 3,4,共4种，∴所求的概率P-青号选C 19.解：对A,“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同 时发生，故A正确. 对B,“至少有一次中靶”包含“两次都中靶”的情况，故B 错误 对C,“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”的情况，故 C错误 对D,“至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”均包含“一 次中靶”的情况，故D错误.故选A. 20.解：从1,2,3,4,5中任取两个数， A:至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重 复，所以不是互斥事件，A错误； B:至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥，且 为对立事件，B错误； C:至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所 以不是互斥事件，C错误. D:恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件，且还有一种可 能为两个都是偶数，所以两个事件互斥且不对立，D正 确.综上可知选D】 21.解：对于A选项，要使A,B为对立事件，除P(A)十P(B) =1还需满足P(AB)=0,即不能同时发生，所以A选项 错误。 对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选 项正确。 对于C选项，A包含于B,所以A与B不是互斥事件，所 以C选项错误 对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正 确.故选BD. 22.解：记“抽检的产品是甲级品”为事件A,是“乙级品”为事 件B,是“丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥， 因而所求概率为P(A)=1一P(B)一P(C)=1一5%一 3%=92%=0.92.选C. 23.解：因为事件A和B互斥，所以P(AUB)=P(A)十 P(B)=0.7, 则P(A)=0.7-0.2=0.5,故P(A)=1-P(A)=0.5.故 选A 24.解：依题意，两地都降雨的概率为0.2×0.3=0.06. 故选C 25.解：甲、乙两球都落入盒子的概率P=合×日-日， 事件A:“甲、乙两球至少有一个落人盒子”，其对立事件 是A:“甲、乙两球都不落入盒子”，P(A)=(1-号)× (1-号)=3，所以P)=1-号-号 26.解：计测量过的3只兔子为1、2、3，没测量过的2只兔子 为A、B,则抽取3只兔子的种类有(1,2,3)，(1,2，A),(1, 2,B),(1,3,A),(1,3,B),(1,A,B),(2,3,A),(2,3,B), (2,A,B),(3,A,B),则恰好有两只测量过的有6种，所以 其概率为子选B 66 27.解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B =“乙脱靶”，由于两个人射击的结果互不影响，所以A与 B相互独立，A与B,A与B,A与B都相互独立. 由已知可得，P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.1 (1)AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义 得P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72. (2)“恰好有一人中靶”=ABUAB,且AB与AB互斥， 根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)· P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. (3)事件“两人都脱靶”=AB, 所以P=(AB)=P(A)·P(B)=(1-0.8)X(1-0.9)= 0.02. (4)方法1：事件“至少有一人中靶”=ABUABUAB,且 AB,AB与AB两两互斥， 所以P(ABUABUAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB) =P(AB)+P(ABUAB)=0.72+0.26=0.98. 方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人 都脱靶”， 根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率 为1-P(AB)=1-0.02=0.98. 28.解：(1)组距d=5,由5×(0.020+0.040+0.075+a+ 0.015)=1,得a=0.050. (2)各组中点值和相应的频率依次为： 中点值3035 40 4550 频率0.10.20.3750.250.075 所以x=30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+ 50×0.075=40, 2=(-10)2×0.1+(-5)2×0.2+02X0.375+52× 0.25+102×0.075=28.75. (3)由已知，果实重量在[27.5,32.5)和[47.5,52.5]内的 分别有4个和3个，分别记为A,A2,Ag,A和B,B2, B3,从中任取2个的取法有： A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3, A2A,A2 B,A2 B2 ,A2 B,AsA,As B,As B2, A3 B3 A B1 ,A B2,A B3 B B2 B Ba B2 B3, 共21种取法，其中都是优质果实的取法有BB2,BB3, B2B3,共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率P=员-一 29.解：(1)由频率直方图可知(0.0075+0.01)×20=0.35， (0.0075+0.01+0.015)×20=0.65, 因为0.35<0.5<0.65，所以所求中位数在(40,60]内， 不妨设中位数为x,则0.35十（x一40)×0.015=0.5，得 x=50. 所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50. (2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40]有 20人， 20 设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则n=0.01X20' 即n=100. 用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人 数为505-100×09-5， 即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5. (3)由(2)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其 男女比例为3：2， 所以其中男性为3人，女性为2人，将其3名男性分别记 为1,2,3,2名女性分别记为a,b, 从中任选两人的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1，a),(1,b), (2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种， 其中至少有一名男性的基本事件有(1,2)，(1,3)，（1，a), (1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9种. 所以至少选到一名男性的概率P=哥 练习18空间的垂直和平行 一、巩固提高 第一节平行的证明 1.证明：如图，连接BD :E、F分别是DD'、DB的中点， .EF是△DBD的中位线， ∴.EF∥BD. 又：BDC平面ABCD',EF丈平面 ABC'D', .EP∥平面ABCD' 2.证明：如图，连接AC,交BD于O,连接OE 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC 因为E为侧棱PA的中点， 所以OE是△ACP的中位线， 所以OE∥PC 因为PC丈平面BDE,OEC平面BDE, 所以PC∥平面BDE, 3.证明：如图所示，在正方体ABCD- A1BCD中， AB∥AB且AB=AB,AB∥CD 且A1B=CD, ∴.AB∥CD且AB=CD, .四边形ABCD为平行四边形， .BC∥AD. ,BC平面ADE,ADC平面ADE, .∴.BC∥平面ADE. 4.证明：，在直三棱柱ABC-ABC中，A D,E分别为BC,AC的中点， .DE∥AB,AB∥AB,∴.DE∥AB. ,DEC平面DEC,AB中平面DEC, .AB∥平面DEC. 5.证明：如图，设E是PD的中点，连 接EA、EN. E、N分别是PD、PC的中点， ∴EN是△PDC的中位线， EN/∥DC,EN=号DC .四边形ABCD是正方形， ∴.AB∥CD,AB=CD. 1 M是AB的中点，AM=2CD,AM∥CD, ∴AM=EN,AM∥EN,∴.四边形AMNE为平行四边形， .NM∥AE. 又，'AEC平面PAD,MN平面PAD, ∴.MN/∥平面PAD. 6.证明：如图，设N是SA的中点， 连接MN、DN. N M M是SB的中点， 5 'MN是△SAB的中位线， A… :.MN//AB,MN-AB .AB∥DC,且AB=2CD, ∴.MN=CD,MN∥CD, .四边形MNDC为平行四边形， ∴.CM∥ND.