第10章 统计与概率-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

BDC平面BCD,.平面EFC⊥平面BCD. (2)【解】因为BCL平面PAC,则PB与平面PAC的夹角 20.(1)【证明】，DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC, 为∠BPC, ∴.DC∥EA. 在Rt△PAC中，PA=2√2，AC=2,则PC= 又EAC平面ABE,DC中平面ABE, √PA2+AC-√(2√2)2+2=√12=23， .DC∥平面ABE 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,AC=2,则BC= (2)【解】，EA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC, √AB-AC巴=W42-22=√/12=2√3， ∴EA⊥AB,EA⊥AC 所以BC=PC,因此，△PBC为等腰直角三角形，则 又AC⊥AB,EAC平面ABE,ABC平面ABE,EA∩AB ∠BPC-45°，所以PB与平面PAC的夹角为45°. =A, 22.(1)【证明】根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和 .AC⊥平面ABE .AFC平面ABE,AC过平面ABE, △CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA=∠CEB=45°， .'.ACLAF. ∴.∠AEB=90°，即BE⊥AE. ,平面DAE⊥平面ABCE,且平面DAE∩平面 又AC=2, ABCE=AE,BEC平面ABCE, Se=2AC·AF=含X2:AF=AF, ∴.BE⊥平面DAE, 即当AF最小时，S△Acr最小. ,ADC平面DAE, ,F为线段BE上一动点， ∴.AD'I BE. 当AF⊥BE时，AF最小. (2)【解】取AE的中点F,连接DF,则DF⊥AE,且 .'AE=AB=2, △EAB为等腰直角三角形，且有∠ABF=45° 0r-号 ,平面DAE⊥平面ABCE ∴.AF=ABsin45°=√2 且平面D'AE∩平面ABCE=AE,DFC平面D'AE, 此时S△Acr=√2，故SAACF的最小值为V2. DF⊥平面ABCE, 21.(1)【证明】因为AB是圆的直径，C是圆上一点，所以AC 1 ⊥BC,因为PA⊥平面ABC,且BCC平面ABC,所以PA V-AE=-3Sa边形cE·DF ⊥BC,由BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,ACC平面 PAC,PAC平面PAC,所以BC⊥平面PAC =号××1+2)x1×号-9 41 第十章 统计与概率 考点1随机抽样 得品品所以x=20 夯实基础 学业达标 1.(1)不放回抽取(2)相等(3)随机数法 1.D【解析】选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这 3.(1)一定的比例(2)差异明显 与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一 提升能力 次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误； 针对训练1 选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的 1.简单随机抽样 等可能性，故错误。 2。【解析可能性为器=0 2.D 3.0.6【解析】10名学员投中的平均次数为 3A【解折描样比为及一吕-品：则应抽取的男生人数为 4×5+3×6+2×7+1×8=6, 10 20×品-6（人），应轴取的女生人数为(60-20)×品 所以投中的比例约为品-0.6。 9(人)，故选A 针对训练2 4.C【解析】设参加体检的人数是n, 1.A【解析】从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽 则号-号=72，解得n=120, 取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样. 所以参加体检的人数是120人.故选C. 2.C【解析】设高二年级学生中应抽取的人数为x,由题意 44 17【解折】由题意得560+38+180×100=18900≈ 180 1090 7)2+(7-7)2]=号.故选A 17.故答案为17. 3.C【解析】频率为0.20×2=0.4，故300×0.4=120. 6108【解折]样本中40名学生的平均分为器×10+器× 4.A【解析】把该组数据按照由小到大排列，可得2.1,3.0， 3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由i=10×25%= 106=108(分)，所以估计该组合学生的平均分约为 2.5,不是整数，则第3个数据3.2是25%分位数. 108分. 5.A【解析】根据选择D方式的有18人，所占比例为15%， 考点2用样本估计总体 夯实基础 得总人数为=120人)，故选择A方式的人数为120 1.(1)频率(2)频率与组距小长方形的面积1 42-30-18=30. 2.(1)小于或等于(100一)%大于或等于 6.C【解析】平均数加6，方差不变. (2)从小到大n×p%第j项数据(i十1)平均数 7.8.5【解析】.7×50%=3.5， 3.(1)最多众数(2)中间中位数(3)平均数总体平 其50%分位数是第4个数据为8.5. 均数样本平均数(4)分散程度的大小标准差平均 8.【解】(1)因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)》 距离(5)分散程度 内的频率为 能力提升 f=1-10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)= 针对训练1 0.15 1.C【解析】由题图知：选取人数为50÷10%=500（人），故 所以第三组[60,70)的频数为120×0.15=18（人）. 合唱社团占比为38×10%=40%， 补全频率分布直方图如图。 频率 所以，机器人社团占比为1一20%-15%-10%-40%= 组距， 15%,故该社团人数为500×15%=75（人）， 0.030 所以合唱社团的人数是参加机器人社团人数的罂-号 0.025 0.020 倍.综上，A,B,D错，C对.故选C 0.015 0.010 2.D 0.005 3.B【解析】样本数据落在[15,20]内的频数为100×[1 0 405060708090100→分数 5×(0.04+0.1)]=30. (2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的 4.60【解析】由题意可得，最后两组的频率为(0.0375十 中点， 0.0125)×5=0.25,所以前三组的频率总和为0.75.又因 从图中可看出众数的估计值为75分： 为第二组等于第一组与第三组和的一半，所以第二组的频 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为 率为0.25，所以抽取的学生人数为。3=60， 45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10× 0.015)+75×(10×0.030)+85×(10×0.025)+95× 针对训练2 (10×0.010)=73.5(分). 1.C【解析】平均数为100+95+90×2+85×4+80+75 10 所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分 87(分)，众数为85分，中位数为85分.故选C 考点3随机事件的概率、古典概型 2.C【解析】：甲、乙、丙、丁四人的平均环数中乙和丙均为 夯实基础 8.8环，最大；甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最 1.(1)必然事件(2)不可能事件随机事件(3)某个常数 小，∴丙的射击水平最高且成绩最稳定.从这四个人中 0≤P(A)≤1 选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙. 2.(1)不可能①P(A)十P(B)②P(A1)+P(A2)+…十 3.B【解析z=7+8+9+10+10+10=9, P(An)(2)不可能必然11一P(A) 6 3.(1)互斥(2)基本事件的和 2=6×[7-9)2+(8-92+(9-92+(10-92+ 4.(1)有限性(2)等可能性 10-9)2+(10-902]=号 5.片(2②0 学业达标 6.(1)P(A)P(B) 1.D【解析】因为x,y,10,11,9这组数据的平均数为10， 提升能力 所以5(x+y+10+11+9)=10x十y=20.故选D. 针对训练1 1,A【解析】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一 2.A【解析】平均数元=日×(9+8+7+6十5十7)=1，方差 次中靶”的互斥事件是两次都中靶。 2.A【解析结合对立事件可知所求事件是“2张全是移动 2=日×[(9-702+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5 卡”的对立事件，即至多有一张移动卡. 6 针对训练2 件B与C相互独立，事件A与C相互独立. 1号【解析】数据落在[31.5,48.5)内的频数为12+7+ 2.【解】记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独 立地破译出密码” 3=22,样本容量为66，则数据落在[31.5,43.5)内的频率 (1)两个人都破译出密码的概率为P(AB)=P(A)P(B)= 为器=子，放所求概率约是子。 2.【解】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频 (2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出， 率估计概率，4月份任选一天，该市不下雨的概率为 乙破译出甲破译不出，即AB+AB, 2613 ..P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) 3015 =P(A)P(B)+P(A)P(B) (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2 日与3日等).这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日 =}×(1-)+(1-号)×4-是 期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的 (3)“至多有一人破译出密码”的对立事件是“两人都破译 次日不下雨的频率为了。 出密码”， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为？ “其概率为1-PAB)=1-立-品 针对训练3 学业达标 1.B【解析】记5名学生为甲，乙，a,b,c,从中选2人的基本 1.D【解析】不超过10的质数有：2,3,5,7，共4个 事件有：甲乙，甲a,甲b,甲c,乙a,乙b,乙c,ab,ac,bc,共 随机选取两个不同的数，基本事件为 10种.其中包含甲的有4种，故甲被选中的概率为 (2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7),共6种， 其和为奇数包含的基本事件有：(2,3)，(2,5)，(2,7)，共3 4 个，所以P=音=故选D 2.B【解析】从3,4,12,13中任取两个的基本事件有(3,4)， (3,12),(3,13),(4,12),(4,13),(12,13),共6个，其中能 2.B【解析】设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断” 和5组成勾股数的有(3,4)，(12,13)两个基本事件，所以 为事件B, 所求概率为P-合-子·故选B 则P(A)=0.85,P(B)=0.74, 由事件A与B相互独立，得 32 【解析】从甲、乙、丙3名同学中选2名同学，共有“甲 “两根保险丝都熔断”为事件AB, 3 .∴.P(AB)=P(A)·P(B)=0.85×0.74=0.629. 乙，甲丙，乙丙”3种选法，甲、乙两人中恰有一人被选中有 “甲丙，乙丙”2种选法，所以概率P=名 3.号【解析】设第一次取出2支黑色笔分别为a1,6,红色 3 笔为G;第二次取出2支黑色笔分别为a2,b,红色笔为 针对训练4 c2,则所有可能结果为(a1,a2),(a1,b2),(a1,c2),(b1,a2), 1.B【解析】“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一 (b,b),(b,c2),(G,a),(G,b),(G,c2),共9种，其中 等品”，而P(A)=0.65, ∴.“抽到的不是一等品”的概率是1-0.65=0.35. 两次都是黑色笔的有4种，则P=A 9 2.【解】设“乘火车去开会”为事件A,“乘轮船去开会”为事件 【解析】记2个白球分别为白1，白2,3个黑球分别为 B,“乘汽车去开会”为事件C,“乘飞机去开会”为事件D, 它们彼此互斥. 黑1，黑2，黑，从这5个球中任取两球，所有的取法有{白， (1)P(A+D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7 白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白1，黑3}，{白2，黑1}，{白2， (2)P=1-P(B)=1-0.2=0.8. 黑2}，{白2，黑3}，{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，共10 (3)因为P=0.5=0.2+0.3=0.1+0.4,所以他有可能乘 种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概 的交通工具为：轮船或火车，汽车或飞机 率为P=4=2 针对训练5 105 1.①②③【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要 【解析】所有可能的基本事件有12,13,14,21,23,24， P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)- 31,32,34,41,42,43,共12个，其中小于20的两位数有 P(B)P(C),成立即可. 12,13,14,共3个，由古典概型计算公式可得“该两位数小 利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)= 31 0.5,P(C=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)= 于20”的概率为P=2=4 0.25. 6.【解】(1)记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证 可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C), 书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则 P(BC)=P(B)P(C). 所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事 PN-告×合=号， 12 46 P(8)=是×号-， P(C)=P(ABUAB)=P(AB)+P(AB) =P(A)P(B)+P(A)P(B) PO=号×g-日 =3×(1-号)+(1-号)×号=2： 因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能 10.C【解析】由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%× 性最大 600=472.2,结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶. (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D, 11.B【解析】众数是指一组数中出现次数最多的数值，在这 由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则 组数据中，出现次数最多的是4，所以众数为4，故选项A P(D)-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 错误，平均数是指一组数据的和除以数据的个数，即平均 =号××号+号××号+号××号-品 数=4牛4+4+7+7+8+8+9+9+10=7，故选项B正 10 7.【解】(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况有12种，分别为 确；：第75百分位数是指一组数据有75%的数据小于或等 (红桃2，红桃3)，（红桃3，红桃2），（红桃2，红桃4），（红桃 于该值，而另25%的数据大于该值，这组数据中第75百 4,红桃2)，（红桃2，方片4），（方片4，红桃2），（红桃3，红 分位数是9，故选项C错误；中位数是指将一组数据按从 桃4)，（红桃4，红桃3），（红桃3，方片4），（方片4，红桃 小到大的顺序排列后，处于中间位置的数，在这组数据 3),(红桃4，方片4)，（方片4，红桃4） (2)基本事件总数n=12, 中，中位数是第5个数和第6个数的平均值，即？8- 2 事件“甲抽到的牌面数字大于乙抽到的牌面数字”包含的 7.5,选项D错误.故选B. 基本事件有5个，分别为 12.B【解析】体重在[45,50)内的频率为0.10×5=0.5，体 (红桃3，红桃2)，（红桃4，红桃2），（方片4，红桃2），（红桃 重在[50,55)内的频率为0.06×5=0.3，体重在[55,60] 4,红桃3)，（方片4，红桃3）， 内的频率为0.02×5=0.1， .∴.事件“甲抽到的牌面数字大于乙抽到的牌面数字”的概 0.5:0.3:0.1=5:3:1, 率是P品 ∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训 练的集训人数之比为5：3：1，故选B 章末综合测试 【解析】所有的样本点为（红，红，红），（红，红，蓝）， 1.C【解析】总体是这批零件的长度，个体是这批零件中每 (红，蓝，红)，（蓝，红，红），（红，蓝，蓝），（蓝，红，蓝），（蓝， 个零件的长度，抽取的200个零件的长度是样本，样本容 蓝，红)，（蓝，蓝，蓝），共8个，三次都是蓝球的样本点只 量是200. 2.D【解析】至少投中一次，可能是一次或者两次，则他的对 有1个，其概率是8，根据对立事件的概率之间的关系， 立事件是两次都没有投中，故选D. 3.D【解析】任意抽查一件抽得正品的概率为1一0.03 所求的概率为1一合-名。 0.01=0.96. 【解析】最后乙队获胜事件含3种情况：①第三局乙 4.D【解析】由直方图的意义可知，在区间[2700,3000)内 取值的频率为(3000一2700)×0.001=0.3. 胜；②第三局甲胜，第四局乙胜；③第三局和第四局都是 5.C【解析】估计该校学生数学竞赛成绩的平均分x=65× 0.2+75×0.4+85×0.3+95×0.1=78,故选C. 甲胜，第五局乙雕，故最后乙队获胜的概率P=号+号× 6.C【解析】，两道工序相互独立， 3+(号)》×3-9 ∴.产品的正品率为(1-a)(1一b) 15.7.18.05【解析】把这组数据从小到大排列得2.4， 7.B【解析】由题意可知，这是一个分层随机抽样的问题，其 3.2,3.6,4.5,4.6,6.4,7.8,7.9,8.0,8.1,8.4,8.6, 8100 中北乡可抽取的人数为300×8100+7488+6912 因为12×50%=6,12×75%=9， 30×号0=108，放选B 所以这组数据的50%分位数是64十7.8=7.1， 2 &D【解析】由图可知纵坐标表示器放z=01 75%分位数是8.08.1-8.05. 2 0.054-0.010-0.006-0.006-0.006=0.018. 16.0.25【解析】“年降水量在[200,300)(mm)范围内”由 9.C【解析】设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示 “年降水量在[200,250)(mm)范围内”和“年降水量在 “乙通过听力测试” [250,300)(mm)范围内”两个互斥事件构成，因此概率为 根据题意，知事件A和B相互独立， 0.13+0.12=0.25. 且PA)=7,P(B)= 17.号【解析】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数 记“有且只有一人通过听力测试”为事件C, 的样本点共有24个，而满足三位数是“凹数”有的214， 则C=ABUAB,且AB和AB互斥. 213,312,314,324,412,413,423,共8个，所以这个三位 47 数为“凹数“的概率为员-号 12道， 所以任选一道灯谜， 18.a<b=c【解析】依题意有 次数0次1次2次3次4次 甲猎对的概率为P,=8-号， 人数7人13人17人10人3人 乙猜对的概率为B-=号- 所以共统计了50人，众数为2，中位数为2， (2)任选一道灯谜，甲、乙至少有一人猜对的概率为 平均数为X7+13×1+17×2+10X3+3×48 50 502, p=1-(-)(1-号)=1号-器 ∴.a<b=c. [或P=号×(1-号)+号×(1-号)+号×号-器] 19.【解】(1)第四小组的频率为1-0.1-0.3一0.4=0.2. (2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x=5, 2.【解11200=0.19.=380. ∴.x=50,故参加这次测试的学生有50人. (2)初三年级的人数为y十x=2000一(373+377+380十 (3)由题意，样本的达标率约为0.3十0.4十0.2=0.9， 370)=500,现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名 ,∴.该年级学生跳绳测试的达标率为90%. 20.【解m=8+6+8+6+5+9_42=7, 学生，应在初三年级抽取的人数为280×500=12 6 6 -6+7+7告8+10+4-号=7， (3)初一年级应抽取学生的人数为280×750=18， 6 4=日×[8-7)2+(6-702+(8-79+(6-79+(5 初二年级应抽取学生的人数为280×750=18， 79+(9-)9]=号×1+1+1+1+4+0=号=2. 所以该校所有学生体重的平均数约为云一授×40十将× 2=日×[(6-72+(？-7+(7-7)2+(8-7P+(10 50+最×60=48.75(k8. 该校所有学生体重的方差约为 7+4-]=日×1+0+0+1+9+9)-29-9， 63 ÷=18×[1+(40一4875P]+8×[2+(50-4875P]+ 2<号，∴函<2，所以甲发挥的更为稳定 最×[3+(60-4875]=62.8125 21.【解】(1)在一次猜灯谜活动中，共20道灯谜， 甲、乙两名同学独立竞猜，甲猜对了16道，乙猜对了 专题分类练习 练习1一元二次不等式 所以方程的解为x=一2或x=1.抛物线y=一x2一x十2 1.解：(1)x(x-5)=0,.x=0或x=5. 开口向下， (2)由x2-9=0,得x2=9,得x=-3或x=3. 所以x<一2或x>1.所以原不等式的解集为{x|x<一2 (3):x2-3x-4=0可化为(x-4)(x十1)=0，得x=-1 或x>1}. 或x=4. 5.解：x2≥4台x2-4≥0.令2一4=0，得x=-2或x=2. (4)2x2一x-3=0可化为(2x一3)(x十1)=0，得x=-1 抛物线y=x2一4开口向上，所以x≤-2或x≥2， 或=是 所以原不等式的解集为{xx≤≤一2或x≥2}.故选C. 6.解：令2x2一x一3=0，则(2x一3)(x十1)=0，得x=一1或 (5).△=-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0, “x=-b生6-1±5 Za 2 (6)△=12-4×1<0，方程x2十x十1=0无实根， 抛物线y=22-x-3开口向上，所以x<-1或>多， 2.解：令x2一9=0，得x=一3或x=3. 抛物线y=2一9开口向上，所以一3≤x≤3，所以原不等 所以原不等式的解集为{xxK-1或x>名}： 式的解集为{x-3≤x≤3.故选D. 7.解：令x2-x-1=0,则△=8-4ac=(-1)2-4×1× 3.解：令9一x2=0,得x=一3或x=3,抛物线y=一x2十9 (-1)=5>0, 开口向下， 所以x≤一3或x≥3，所以原不等式的解集为{xx≤一3 所以x艺5，范物线y=心--1开口向 2a 或x≥3}.故选C 4.解：令-x2一x十2=0，则x2十x一2=0，所以(x+2)(x一1)=0， 上或， 8第十章 统计与概率 %赢%在物考情精析% 考点 课标解读 1.随机抽样 随机抽样 (1)理解随机抽样的必要性和重要性， (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层随机抽样方法. 2.用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率 折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. (2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 用样本估计 (3)能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合 总计 理的解释 (4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总 体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实 际问题. 3.事件与概率 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了 随机事件的概 解频率与概率的区别. 率、古典概型 (2)了解两个互斥事件的概率加法公式 4.古典概型 (1)理解古典概型及其概率计算公式 (2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率， 赢在考点练 考点1 随机抽样 二夯三实三基三础三 (2)每个个体被抽到的概率 (3)常用方法：抽签法和 1.简单随机抽样 2.用样本平均数估计总体平均数 (1)抽取方式：逐个 (1)总体平均数 )>>16<<< 一般地，总体中有N个个体，它们的变量 值分别为Y,Y2,…,YN,则称Y 8-0.25,从而N=120, Y1+Y2++YN_1 (2)样本的平均数为 N 宫为总体均值，又称 y- 6×5+8×8+10×4+12×1+15×2 总体平均数， 20 (2)样本平均数 8.8, 如果从总体中抽取一个容量为n的样 样本中消费不低于10元的比例为4+1十2 20 本，它们的变量值分别为y,y2,…,y,则称 =0.35, )-4士”士十-含%为样本均值，又 所以估计该校高一全体学生每天午餐的平 均费用为8.8元， 称样本平均数， 3.分层随机抽样 在全体学生中，午餐费用不低于10元的比 例约为0.35. (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的 层，然后按照 ,从各层独立地 【答案】(1)A(2)见解析 抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合 【名师点拨】当总体容量很大时，一般用样本 在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层 的平均数估计总体的平均数，用样本中某类 随机抽样 个体所占的比例估计该类个体在总体中所占 (2)分层随机抽样的应用范围： 的比例， 当总体是由 的几个部分组成 ·针对训练1心 时，往往选用分层随机抽样 1.要检查一个工厂产品的合格率，从1000件 产品中抽出50件进行检查，检查者在其中 -三提三升三三能三三力三 随意抽取50件，这种抽样方法可称 考向1简单随机抽样 为 ◆典型例题1◆ 2.一个总体中共有200个个体，用简单随机 (1)从总体容量为N的一批零件中，抽取一 抽样的方法从中抽取一个容量为20的样 个容量为30的样本，若每个零件被抽 本，则某一特定个体被抽到的可能性 到的可能性为0.25，则N的值为( 是 A.120B.200C.150D.100 3.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行 (2)为了调查某校高一学生每天午餐消费 投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学 情况，从该校高一学生中抽查了20名 员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投 学生，通过调查这20名学生每天午餐 中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估 消费数据如下（单位：元） 计该训练营投篮投中的比例为 8106681215686 考向2分层随机抽样 10881568108810 色典型例题2· 试估计该校高一学生每天午餐的平均 (1)某中学有老年教师20人，中年教师 费用，以及午餐费用不低于10元的 65人，青年教师95人，为了调查他们的 比例. 健康状况，需从他们中抽取一个容量为 【解析】(1)因为从含有N个个体的总体中 36的样本，则合适的抽样方法是( ) 抽取一个容量为30的样本，在整个抽样过 A.抽签法 B.随机数法 程中，年个个体被抽到的可能性为职，所以 C.分层随机抽样D.其他抽样方法 (2)已知某校高一、高二、高三的人数分别为 >>>117<< 400,450,500.现用分层随机抽样的方法 D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2 从这三个年级中抽取27名学生参加志 个进行质量检验（假设10个手机已编好 愿者活动，则高二年级应抽取的学生数 号，对编号随机抽取) 为 2.为了了解某校高三学生每天的作业量，通 【解析】(1)由于老年教师、中年教师和青年教 过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了 师的身体情况会有明显的差异，所以要用分层 60名学生，通过调查发现这60名学生每天 随机抽样.故选C 完成作业平均用时2小时，则可以推测该校 (2)设高二年级应抽取的人数为x,得 高三学生每天完成作业所需时间的平均数 450 400+430+5002员，解得x=9. A.一定为2小时 B.高于2小时 【答案】(1)C(2)9 C.低于2小时 D.约为2小时 【名师点拨】进行分层随机抽样，常用到的两个3.某校高一(1)班有男、女学生共50人，其中 关系 男生20人，用分层随机抽样的方法，从该 (1) 样本容量n_该层抽取的个体数 班学生中随机选取15人参加某项活动，则 总体的个数N 该层的个体数 应选取的男、女生人数分别是 ( ) (2)总体中某两层的个体数之比等于样本 A.6和9 B.9和6 中这两层抽取的个体数之比. C.7和8 D.8和7 ·针对训练2色 4.某企业为了解员工身体健康情况，采用分 1.某校高三年级有男生500人，女生400人， 层随机抽样的方法从该企业的营销部门和 为了解该年级学生的体重状况，从男生中 研发部门抽取部分员工体检，已知该企业 随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进 营销部门和研发部门的员工人数之比是4 行调查.这种抽样方法是 ) ：1,且被抽到参加体检的员工中，营销部 A.分层随机抽样 B.抽签法 门的人数比研发部门的人数多72，则参加 C.随机数法 D.其他随机抽样 体检的人数是 ) 2.(2022·福建学业水平考试)某校有高一学 A.90 B.96 C.120D.144 生550人，高二学生500人，高三学生450 5.(2025·福建校级期末)《九章算术》第三章 人.现采用分层随机抽样方法抽取部分学 “衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六 生参加党史知识竞赛，在高三年级学生中 十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡 抽取了18人，则在高二年级学生中应抽取 三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出 的人数为 之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560 A.24 B.22 C.20 D.18 钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起 -二学业三达三标 出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按 比例出钱”，则丙应出 钱 1.下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ) A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为 6.某校高二年级化生史组合只有2个班，且 每班50人，在一次数学测试中，从两个班 样本 抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统 B.某饮料公司从仓库中的1000箱饮料中 计得在该次测试中，两班中各抽取的20名 一次性抽取20箱进行质量检查 学生的平均成绩分别为110分和106分，则 C.某连队从200名战士中，挑选出50名最 该组合学生的平均成绩约为 分 优秀的战士去参加抢险救灾活动 >>>118<< 考点2用样本估计总体 二夯三实三三基三础 本中所有个体的平均数叫做 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的 1.频率分布直方图 改变，平均数可以反映出更多关于样本数据 (1)定义：利用直方图反映样本的 全体的信息， 分布规律，这样的直方图叫频率分 (4)标准差 布直方图 考查样本数据的 (2)表示方式：纵轴表示 的 最常用的统计量是 标准差 比值.数据落在各小组内的频率用 是样本数据到平均数的一种 表示.各小长方形的面积总和等于 一般用 s表示. 2.百分位数 (1)百分位数定义：一般地，一组数据的 s[国-+(s++x-, 第饣百分位数是这样一个值，它使得这组数 (5)方差 据中至少有%的数据 这个值，且至 从数学的角度考虑，有时用标准差的平 少有 的数据 这个值 (2)计算一组n个数据的第力百分位数 方2=[（五-）2+(2-x)2++(z 的一般步骤如下： x)2]来代替标准差，作为测量样本数据 第1步，按 排列原始数据； 的工具 第2步，计算= 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整 三提三升三三能三三力二 数为j,则第p百分位数为 ;若i是整 考向1统计图表 数，则第p百分位数为第i项与第 项 ◆典型例题1◆ 数据的 (1)某班50位学生期中考试数学成绩的频 3.样本数字特征 率分布直方图如图所示，其中成绩分组 (1)众数的概念 区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)， 在一组数据中，出现次数 的数 [70,80),80,90),[90,100],则图中x 据叫做这组数据的 的值等于 ( ) (2)中位数的概念 频率 组距 将一组数据按大小顺序依次排列，把处 0.05 在 位置的一个数（或两个数的平均 数)叫做这组数据的 (3)平均数的概念 888 0405060708090100成绩分 如果有n个数x1,x2,…,xn,那么x= C十x2十十x叫做这n个数的 A.0.12 B.0.012 n C.0.18 D.0.018 总体中所有个体的平均数叫做 ;样 (2)给出如图所示的三幅统计图及四个 )>>19<<< 命题： 到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口 ①从折线统计图能看出世界人口的变 的总和还要多，故③正确；④由题中三幅统 化情况： 计图并不能得出从1957年到2050年中哪 ②2050年非洲人口将达到大约15亿； 个洲人口增长速度最慢，故④错误.因此正 ③2050年亚洲人口比其他各洲人口的 确的命题有①③.故选B. 总和还要多； 【答案】(1)D(2)B ④从1957年到2050年各洲中北美洲 【名师点拨】1.频率分布直方图的注意点 人口增长速度最慢 (1)横坐标表示组距，纵坐标表示频率 其中命题正确的有 组距 世界人口变化情况统计图 ②)小长方形的面积=组距X领津/ 人口/亿 100 80 频率 6 40 (3)各小长方形的面积总和等于1. 20H 2.扇形图、条形图、折线图的特点 195719741987199920252050年份 (1)扇形图用扇形的面积表示部分在总 2050年世界人口分布预测图 体中所占百分比，易于显示每组数据相对于 欧洲 总数的大小。 非洲 亚洲 (2)条形图能够显示每组中的具体数据 北美洲 易于比较数据之间的差别. 拉丁美洲及 加勒比地区 (3)折线图易于显示数据的变化趋势 2050年世界人口预测图 ·针对训练1心 人口亿 1.某学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器 50 人五个社团，全校所有学生每人都参加且 40 只参加其中一个社团，校团委在全校学生 中随机选取一部分学生（这部分学生人数 非 北拉丁美洲亚 美及加勒比洲 少于全校学生人数)进行调查，并将调查结 洲 洲 地区 果绘制了如图不完整的两个统计图，则 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 人数 250 【解析】(1)依题意，0.054×10+10x+ 200 合唱 150 机器人 0.010×10+0.006×10×3=1,解得x= 100 50 航模 舞蹈 0.018. 0 200% 演讲舞蹈航模合唱机器人社团 15% (2)①从折线统计图能看出世界人口的变 A,选取的这部分学生的总人数为1000人 化情况，故①正确；②从条形统计图中可 B.选取的学生中参加机器人社团的学生数 得：2050年非洲人口大约将达到18亿，故 为80人 ②错误；③从扇形统计图中能够明显地得 C.合唱社团的人数占样本总量的40% )>>120<<< D.选取的学生中参加合唱社团的人数是参 频率 组距 加机器人社团人数的2倍 0.0375 2.(2025·福建月考)统计某商城一年中各月 0.0125 份的收人、支出（单位：万元）情况，并制作 50556065707万体重kg 折线图如图所示，则下列说法正确的是 考向2用样本数字特征估计总体 心典型例题2· 4收支万元 (1)已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5， 80 则该样本的标准差为 ) 70 60 A.1 B.√2 40 C.√3 D.2 30 20 (2)在一次中学生田径运动会上，参加男子 10 跳高的17名运动员的成绩如表所示： 0123456789101112月份 注：收入—支出- 成绩 1.501.601.651.701.751.801.851.90 利润=收入-支出 (单位：m) A.利润最高的月份是2月份 人数 2 3 2 34 11 1 B.7月份至9月份的月平均支出为50万元 分别求这些运动员成绩的众数、中位数 C.支出的最高值与支出的最低值的比是 与平均数， 3:1 【解析】(1)x=5×(1+2+3+4+5)=3, D.2月份至3月份的收入的变化量与11月 .s= 份至12月份的收人的变化量相同 3.如图所示是一容量为100的样本的频率分 X[a-3y+2-3y+3-39+43Y+63] 布直方图，则由图中的数据可知，样本落在 =2. [15,20]内的频数为 ( (2)在17个数据中，1.75出现了4次，出现 频率 的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题 组距 0.1 中表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最 0.0 中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70. 15 20 数据 这组数据的平均数是x一7 ×(1.50×2+ A.20 B.30 C.40 D.50 1.60X3++1.90X1)=28,75≈l.69(m】 17 4.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均 直方图，已知图中第二组等于第一组与第 数依次为1.75m,1.70m,1.69m 三组和的一半，第二组的频数为15，则抽取 【答案】(1)B(2)众数、中位数、平均数依 的学生人数为 次为1.75m,1.70m,1.69m. )>>121<<< 【名师点拨】用样本的数字特征估计总体问题 -三学业三达三标二 的类型及解法 1.某人在5次上班途中所花的时间（单位：分 (1)直接给出样本数据：根据平均数、中位 数、众数、方差、标准差的概念进行相关计算得 钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的 出相应数据. 平均数为10，则x十y的值为 A.10 B.16 (2)给出统计图表，一方面可以由图形得到 C.15 D.20 相应的样本数据，再计算平均数、方差（标准 2.(福建学业水平测试)某地区连续六天的最 差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据 的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数 低气温（单位：℃）为9,8,7,6,5,7，则该六 天最低气温的平均数和方差分别为( ) 据的波动性反映方差（标准差）的大小 (3)实际应用：用样本估计总体时，样本 A7和 B8和 的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差 的近似.当所得数据平均数不相等时，需先分 C.7和1 D.8和号 析平均水平，再计算标准差（方差）分析稳定 3.某社区有300户居民.为了解该社区居民 情况。 的用水情况，从中随机抽取一部分住户某 色针对训练24 年每月的用水量（单位：t)进行分析，得到这 1.某学习小组在一次数学测验中，得100分 些住户月均用水量的频率分布直方图（如 的有1人，得95分的有1人，得90分的有 图).由此可以估计该社区居民月均用水量 2人，得85分的有4人，得80分和75分的 在[4,6)的住户数为 ) 各1人，则该小组数学成绩的平均数、众 频率 组距 数、中位数分别为 ) 0.20 A.85分，85分，85分 0.15 0.10 B.87分，85分，86分 0.05 C.87分，85分，85分 0 246810月均用水量h D.87分，85分，90分 A.50 B.80 C.120 D.150 2.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目 4.下列一组数据的25%分位数是 () 选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示： 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3, 选手 甲 乙 $ 丁 5.6 平均环数x8.3 8.8 8.8 8.7 A.3.2 B.3.0 方差2 3.5 3.6 2.2 5.4 C.4.4 D.2.5 从这四个人中选择一人参加该运动会射击 5.某学校为了了解本校学生的上学方式，在 项目比赛，最佳人选是 ( 全校范围内随机抽查部分学生，了解到上 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 学方式主要有：A结伴步行，B自行乘车，C 3.某小组六名学生上周的体育运动时间（单 家人接送，D其他方式，并将收集的数据整 位：h)为7,8,9,10,10,10，则该小组体育运 理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根 动时间的平均数和方差分别是 据图中信息，求本次抽查的学生中A类人 A10,是 B9, 数是 ( ) C.9,8 D.9,0 )>>122<<< 学生上学方式条形统计图 些分数分成以下6组：[40,50)，[50,60)， 人数1 学生上学方式扇形统计图 60 D [60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并 50 占1 40 525 画出了样本的频率分布直方图，部分图形 30 20 18 如图所示.观察图形，回答下列问题： 10 (1)算出第三组[60,70)的频数，并补全频 0 A B C D上学方式 率分布直方图； A.30 B.40 C.42 D.48 (2)请根据频率分布直方图，估计样本的众 6.已知样本x1,x2,x3,x4,x5的平均数为4， 数和平均数. 方差为3，则01十6，x2十6，x3+6,x4十6， 频率 x5十6的平均数和方差分别为 ( 组距， 0.030 A.4和3 B.4和9 0.025 0.020 C.10和3 D.10和9 0.015 0.010 7.某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手 0.005 0 405060708090100→分数 打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5， 8.7,9.9,则其50%分位数为 8.某校为了解学生对食堂伙食的满意程度， 组织学生给食堂打分（分数为整数，满分为 100分)，从中随机抽取一个容量为120的 样本，发现所有数据均在[40,100]内.现 将这 考点3 随机事件的概率、古典概型 三夯实三基三础三 (5)样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结 1.随机事件及其概率 果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E (1)在一定的条件下必然要发生的事件， 的样本空间，一般地，用2表示样本空间，用ω 叫做 表示样本点，如果一个随机试验有n个可能 (2)在一定的条件下不可能发生的事件， 结果w1,2,…,wn,则称样本空间2={w1, 叫做 ；在一定的条件下可能发生也 ,…,wm}为有限样本空间. 可能不发生的事件，叫做 2.互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：若A∩B为 事件 (3)在大量重复进行同一试验时，事件A (A∩B=⑦)，则称事件A与事件B互斥，其 发生的频率总是接近于 ,在它附近 含义：事件A与事件B在任何一次试验中不 摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率， 会同时发生， 记作P(A),且 互斥事件的概率加法公式： (4)一次试验连同其中可能出现的每一 ①如果事件A与事件B互斥，则 个结果称为一个基本事件 P(AUB)= )>>123<<< ②一般地，如果事件A1,A2,…,A.两两 对任意两个事件A与B,如果P(AB)= 互斥，那么事件“AUA2U…UAn”发生（是指 成立，则称事件A与事件B相互独 事件A1,A2,…,A中至少有一个发生)的概 立，简称独立 率，等于这n个事件分别发生的概率和，即 (2)相互独立事件的性质 P(A1UA2U…UAn)= 如果事件A与B相互独立，那么A与B, 上述两个公式叫做互斥事件的概率加法 A与B,A与B也都相互独立， 公式.公式的使用前提是事件A1,A2,…,An 三提升三能二三力三 彼此互斥. (2)对立事件：若A∩B为 事件， 考向1事件关系的判断 而AUB为 事件，那么事件A与事 心典型例题1一 件B互为对立事件，其含义：事件A与事件B 从一批产品中取出3件产品，设A={3件 在任何一次试验中有且仅有一个发生 产品全不是次品}，B={3件产品全是次品}， 对立事件的概率和为1，即P(A)+ C={3件产品不全是次品}，则下列结论正确 P(A)= 它的变形形式为 的是 (填写序号) P(A)= ①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互 3.基本事件的特点 斥；④A与B对立；⑤B与C对立， 基本事件是试验中不能再分的最简单的 【解析】A={3件产品全不是次品}，指的是 随机事件，每一次试验有且仅有一个基本事 3件产品全是正品，B={3件产品全是次 件发生 品}，C={3件产品不全是次品}，它包括1 (1)任何两个基本事件是 的， 件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全 (2)任何事件（除不可能事件）都可以表 是正品3个事件.由此知：A与B是互斥事件， 示成 但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件， 4.古典概型的定义 更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对 如果随机试验具有以下两个特征： 立事件 (1) ,在一次试验中，所有可能 所以正确结论的序号为①②⑤， 出现的结果只有有限个，即只有有限个不同 【答案】①②⑤ 的基本事件 【名师点拨】互斥事件、对立事件的判定方法 (2) ,每个基本事件发生的可能性 (1)利用基本概念 是相等的， ①互斥事件不可能同时发生 我们称这样的概率模型为古典概型. ②对立事件首先是互斥事件，且必须有 5.基本事件的概率与古典概型的概率 一个要发生 公式 (2)利用集合的观点来判断 (1)在基本事件总数为n的古典概型中， 设事件A与B所含的结果组成的集合 每个基本事件发生的概率为 分别是A,B. (2)基本事件总数为n的古典概型中，若 ①事件A与B互斥，即集合A∩B=⑦. 事件A包含m个基本事件，则事件A的概率 ②事件A与B对立，即集合A∩B=☑， P(A)= 且AUB=I,即A=CB或B=CA, 6.事件的独立性 色针对训练1◆ (1)相互独立事件的概念 1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有 )>>124<<< 一次中靶”的互斥事件是 ) 【名师点拨】用频率估计事件发生概率的方法 A.两次都中靶 B.至少有一次中靶 (1)根据题设的统计图表，选用适当的方 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 法，计算出所求事件发生的频数， 2.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通 (2)计算出事件发生的频率 卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动 (3)根据频率与概率的关系估计出事件 卡”的概率是，那么概率是乙的事件是 发生的概率值。 注意：计算的关键是计算此事件出现的 频数 A.至多有一张移动卡 ·针对训练2色 B.恰有一张移动卡 1.有一个容量为66的样本，数据的分组及各 C.都不是移动卡 组的频数如下： D.至少有一张移动卡 [11.5,15.5)2[15.5,19.5)4 考向2随机事件的频率与概率 [19.5,23.5)9[23.5,27.5)18 ·典型例题2· [27.5,31.5)11[31.5,35.5) 12 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的 [35.5,39.5)7[39.5,43.5)3 人数相应的概率如下： 根据样本的频率分布估计数据落在[31.5， 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 43.5)内的概率约是 概率 0.10.160.30.30.1 0.04 2.随机抽取一个年份，对某市该年4月份的 求：(1)至多2人排队等候的概率； 天气情况进行统计，结果如下： (2)至少3人排队等候的概率。 日期1 2 3 4 6 7 8 9 10 【解】记“无人排队等候”为事件A,“1人排 天气晴 雨阴阴阴雨 阴晴晴 晴 队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件 日期11 12131415 161718 19 20 C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等 天气阴晴晴晴晴晴 阴雨 阴 阴 候”为事件E,“5人及5人以上排队等候” 日期21222324252627282930 为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼 天气晴阴晴晴晴阴晴睛晴雨 此互斥 (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则 (1)在4月份任取一天，估计该市在该天不 G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+ 下雨的概率； C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1十0.16+ (2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开 0.3=0.56. 始举行连续两天的运动会，估计运动会 (2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件 期间不下雨的概率。 H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+ E十F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3十 0.1+0.04=0.44. 方法二：记“至少3人排队等候”为事件H, 则其对立事件为事件G,所以P(H)=1 P(G)=0.44. )>>125<<< 考向3古典概型 【名师点拨】求古典概型的概率 ·典型例题3◆ 首先，阅读题目，收集题目中的各种信 某中学调查了某班全部45名同学参加书 息；其次，判断基本事件是不是等可能事件， 法社团和演讲社团的情况，数据如下表（单 并用字母A表示所求事件；再次，求出基本 位：人) 事件的总数n及事件A包含的基本事件的 同学 参加书法社团 未参加书法社团 个数m;最后，利用公式P(A)= 参加演讲社团 P 6 未参加演讲社团 % 30 A包套的荟素章件锁个数一份，求出李件A 基本事件的总数 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少 的概率 参加上述一个社团的概率； ◆针对训练3· (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8 1.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲 名同学中，有5名男同学A1,A2,A3, 被选中的概率为 A4,A5,3名女同学B,B2,B,现从这5 A司 B号 名男同学和3名女同学中各随机选1人， c岩 D号 2.中国古代数学名著《周髀算经》中有“勾股 求A被选中且B未被选中的概率 各自乘，并而开方除之”，用符号表示a2十 【解】(1)记“该同学至少参加上述一个社团” b=c2(a,b,c∈N*),并把a,b,c叫做勾股 为事件A, 数.现从数字3,4,12,13中任取2个，能和 则P(A)=8+2+5=1 45 31 5组成勾股数的概率是 () 所以该同学至少参加上述一个社团的概率 A日 B号 c D司 3.(学业水平考试)从甲、乙、丙3名同学中随 (2)从5名男同学和3名女同学中各随机选 机选出2名同学参加社区服务，则甲、乙两 1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 人中恰有一人被选中的概率为 (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1), 考向4互斥事件与对立事件的概率 (A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),（A3,B2), 之典型例题4· (A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3), 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上 (A,B1),(A5,B2),(A,B3),共15个 取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训 根据题意，这些基本事件的出现是等可 练，某队员射击一次命中7~10环的概率 能的， 如下表所示： 其中A1被选中且B1未被选中的基本事件 命中环数 o 9 7 有(A1,B2),(A1,B3),共2个. 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 所以A1被选中且B1未被选中的概率为 求该射击队员在一次射击中： P-2 (1)命中9环或10环的概率； 15 (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率 【解】记事件“射击一次，命中环”为A( ∈N,k≤10)，则事件A彼此互斥 (1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件 )>>126<<< A,那么当Ag,A0之一发生时，事件A发考向5事件的相互独立性 生，由互斥事件的概率加法公式，得P(A)·典型例题5· =P(Ag)+P(A10)=0.28+0.32=0.6. 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的 (2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B, 概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购 那么当Ag,Ag,A0之一发生时，事件B发 买甲、乙保险相互独立，各车主间相互 生，由互斥事件的概率加法公式，得P(B) 独立， =P(Ag)+P(Ag)+P(A10)=0.18+0.28 (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的 +0.32=0.78. 概率； (3)设“射击一次命中不足8环”为事件C, (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲 由于事件C与事件B互为对立事件，故 种保险的概率 P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22. 【解】记A表示事件“购买甲种保险”，B表 【名师点拨】对于求含“至多”或“至少”等事件 示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与 的概率问题，常常利用补集的思想，即正难则目 B,A与B,A与B,B与A都是相互独立事 反，先求原来事件的对立事件A的概率，然后 件，且P(A)=0.5,P(B)=0.6. 用1-P(A)求得原来事件的概率 (1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保 ◆针对训练44 险”，则C=AB,所以P(C)=P(AB)= 1.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A= P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3. “抽到一等品”，事件B=“抽到二等品”，事 (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买 件C=“抽到三等品”，已知P(A)=0.65, 甲种保险”，则D=AB,所以P(D)= P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的不 P(AB)=P(A)·P(B)=(1-0.5)× 是一等品”的概率为 0.6=0.3. A.0.65 B.0.35 【名师点拨】1.求相互独立事件同时发生的概 C.0.3 D.0.005 率的步骤 2.某员工去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机 (1)首先确定各事件之间是相互独立的. 去的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4，求： (2)求出每个事件的概率，再求积. (1)他乘火车或乘飞机去的概率； 2.使用相互独立事件同时发生的概率计算 (2)他不乘轮船去的概率； 公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是 (3)如果他乘交通工具去的概率为0.5，请 相互独立的， 问他有可能是乘何种交通工具去的？ ◆针对训练5· 1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正 面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事 件具有相互独立性的是 (填序号) ①A,B;②A,C;③B,C 2.甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为号和寻，两人能否破译密码相互独 立，求两人破译时，以下事件发生的概率： (1)两人都能破译的概率； )>>12⑦<<< (2)恰有一人能破译的概率； 同的数字，将它们组成一个两位数，该两位 (3)至多有一人能破译的概率， 数小于20的概率是 6.计算机考试分理论考试与实际操作两部分 进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合 格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考 试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人 在理论考试中“合格”的概率依次为，是。 号，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 -二学=业三达三标 2,8所有考试是杏合格相互之间没有 影响， 1.世界数学三大猜想：“费马猜想”“四色猜 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实 想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和 际操作两项考试，谁获得合格证书的可 “费马猜想”已经分别在1976年和1994年 能性最大？ 荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年 (2)这三人进行理论与实际操作两项考试 过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好 后，求恰有两人获得合格证书的概率. 的成果“1+2”由我国数学家陈景润在1966 年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不 超过10的质数中，随机选取两个不同的 数，其和为奇数的概率为 A. B名 c号 D 7.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红 2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断 桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌 的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、 洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙 乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根 后抽，抽出的牌不放回，各抽一张， 保险丝都熔断的概率为 ( (1)写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； A.1 B.0.629 (2)事件“甲抽到的牌面数字大于乙抽到的 C.0 D.0.74或0.85 牌面数字”的概率是多少？ 3.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签 字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后 放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一 支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概 率为 4.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其 中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取 出的两球颜色相同的概率是 5.从1,2,3,4，这四个数字中任意选取两个不 )>>128<<( 综合测斌 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分） 一道工序的次品率为a,第二道工序的次品 1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测 率为b,则产品的正品率为 () 了其中200个零件的长度，在这个问题中， A.1-a-b 200个零件的长度是 ( B.1-ab A.总体 B.个体 C.(1-a)(1-b) C.总体的一个样本 D.样本容量 D.1-(1-a)(1-b) 2.(2023·福建学业水平合格性考试模拟)某7.我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分 人连续投篮两次，下列事件中与事件“至少 问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百 投中一次”互为对立的是 ( 八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三 A.至多投中一次 B.两次都投中 乡，发役三百人，则北乡遣 () C.只投中一次 D.两次都没有投中 A.104人 B.108人 3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均 C.112人 D.120人 属于次品，若生产中出现乙级品的概率为 8.如图是某班50名学生期中考试数学成绩 0.03,丙级品的概率为0.01，则从产品中任 的频率分布直方图，其中成绩分组区间是 意抽查一件抽得正品的概率为 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80, A.0.09 B.0.98 90),[90,100],则图中x的值等于() C.0.97 D.0.96 频率 ↑组距 4.观察新生儿的体重，其频率分布直方图如 0.054 图所示，则新生儿体重在[2700,3000)的 频率为 ) 0.010 0.006 0.001 0 405060708090100成绩/分 0240027003000330036003900体重(g A.0.120 B.0.180 A.0.001 B.0.1 C.0.012 D.0.018 C.0.2 D.0.3 9.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率 5.某校高二年级有50人参加“希望杯”数学 分别为2和}，两人同时参加测试，其中有 竞赛，他们竞赛成绩制成了如下的频率分 布表，根据该表估计该校学生数学竞赛成 且只有一人能通过的概率是 绩的平均分为 ( A号 R号 分组[60,70)[70,80)[80,90)[90,100) 频率 0.2 0.4 0.3 0.1 c日 D.1 A.70 B.73 C.78 D.81.5 10.根据某市疾控中心的健康监测，该市在校 6.一件产品要经过两道独立的加工程序，第 中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商 )>>129<<< 要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人 在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获 一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼 胜的概率都为号，前2局中乙队以2：0领 镜厂商应带滴眼液的瓶数为 A.600 B.787 先，则最后乙队获胜的概率是 C.不少于473 D.不多于473 15.数据3.2,3.6,4.5,2.4,4.6,6.4,7.8， 11.(2024·福建学业水平合格性考试模拟) 7.9,8.0,8.1,8.4,8.6的50%分位数是 从某班所有同学中随机抽取10人，获得 ,75%分位数是 他们某学年参加社区服务次数的数据 16.我国西部一个地区的年降水量在下列区 如下： 间内的概率如表所示： 44477889910 年降 「100,150) T150,200) 200,250) 「250,300 根据这组数据，可估计该班同学这一学年 水量/mm 参加社区服务次数的 概率 0.21 0.16 0.13 0.12 A.众数为7 则年降水量在[200,300)(mm)范围内的 B.平均数为7 概率是 C.第75百分位数为8.5 17.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数 D.中位数为7 字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称 12.某校为了对初三学生的体重进行摸底调 为“凹数”（如213,312等），若a,b,c∈{1， 查，随机抽取了50名学生的体重(kg),将 2,3,4},且a,b,c互不相同，则这个三位数 所得数据整理后，画出了频率分布直方 为“凹数”的概率是 图，如图所示，体重在[45,50)内适合跑步 18.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学 训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体 们的广泛关注.学校为了解全校学生课外 重在[55,60]内适合投掷相关方面训练， 阅读的情况，随机调查了部分学生在一周 估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、 内借阅图书的次数，并制成如图不完整的 投掷三项训练的集训人数之比为( 统计图表， 十频率 组距 3次 0.10h 0.08 10 4次 0.06 0次 0.04 1次 26g 0.02 0次1次2次3次 4次 04045505560体重kg) 若该组数的平均数、众数、中位数依次为 A.4:3:1 B.5:3:1 a,b,c,则a,b,c的大小关系为 C.5:3:2 D.3:2:1 三、解答题（共4个大题，第19~21题各10分， 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 第22题12分，共42分) 13.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一19.为了了解小学生的体能情况，抽取某校一 个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为 个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数 次试验，试验共进行三次，则至少摸到 的测试，将数据整理后，画出频率分布直 次红球的概率是 方图（如图所示）.已知图中从左到右前三 14.排球比赛的规则是5局3胜制（无平局）， 个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4，且第 )>>130<<< 一小组的频数为5. 20.(2023·福建学业水平合格性考试模拟) 1频率 甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中 组距 各射击6次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 5 9 6 7 7 8 10 0 49.574.599.5124.5149.5次数 分别计算两人射击环数的平均数和方差， (1)求第四小组的频率； 并对两人的射击水平进行评价. (2)求参加这次测试的学生的人数； (3)若一分钟跳绳次数在75次以上（含75 次)为达标，试估计该年级学生跳绳测 试的达标率 )>>131<<< 21.(2024·福建学业水平合格性考试模拟)22.某初级中学共有学生2000名，各年级男、 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两 女生人数如下表： 名同学独立竞猜，甲同学猜对了16道，乙 初一年级初二年级初三年级 同学猜对了12道，假设猜对每道灯谜都 女生 373 x 是等可能的. 男生 377 370 (1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初 概率； 二年级女生的频率是0.19. (2)任选一道灯谜，求甲和乙至少有一人 (1)求x的值； 猜对的概率 (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取 48名学生，问应在初三年级抽取多 少名？ (3)在(2)中，若所抽取的初一年级、初二 年级、初三年级三个年级学生的体重 的平均数分别是40kg,50kg,60kg, 方差分别是1,2,3，估计该校所有学生 体重的平均数和方差. )>>132<<