第10章 课时冲关71 概率与统计的综合问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教A版）

课时冲关71　概率与统计的综合问题 对应学生用书　P335 [基础巩固练] 1．(2024·四川省眉山第一中学校考)随着我国经济的不断深入发展，百姓的生活也不断的改善，尤其是近几年汽车进入了千家万户，这也给城市交通造成了很大的压力，为此交警部门通过对交通拥堵的研究提出了交通拥堵指数这一全新概念，交通拥堵指数简称交通指数，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0,9]，分别有5个级别：T∈[0,2)畅通；T∈[2,4)基本畅通；T∈[4,6)轻度拥堵；T∈[6,8)中度拥堵；T∈[8,9]严重拥堵．早高峰时段(T≥3)，从北京市交通指挥中心随机选取了五环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示： (1)据此直方图估算交通指数T∈[4,8)时的中位数和平均数； (2)据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？ (3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望． 解：(1)由直方图知，T∈[4,8)时交通指数的中位数为5＋1×(0.2/0.24)＝35/6， T∈[4,8)时交通指数的平均数为4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. (2)设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1，则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P＝C×2×＋C×3＝，所以3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为. (3)由题意，所用时间X的分布列如下表： X 30 35 45 60 P 0.1 0.44 0.36 0.1 则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，所以此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟． 2．(2024·河北张家口统考二模)某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 性别 奧数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 (1)判断是否有99%的把握认为是否为“奧数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率． 参考数据与公式： α 0.10 0.05 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)提出假设H0：“奥数迷”与性别无关． 则χ2＝ ＝＝≈1.04. 因为1.04＜6.635＝x0.01， 故没有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关． (2)根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人， 记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B， 则P(A)＝2＋C××＝，P(AB)＝C××＝， 由条件概率的公式得P(B|A)＝＝＝，故在恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为. 3．(2023·北京卷)为了研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示，在描述价格变化时，用“＋”表示“上涨”；即当天价格比前一天价格高；用“－”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到 第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋ 第21天 到第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋ 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．(结论不要求证明) 解：(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个＋，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：＝0.4. (2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35,0.25，未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C×0.42×C×0.35×0.25＝0.168. (3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大． [能力提升练] 4．(2024·江苏无锡校联考模拟)为调查学生数学建模能力的总体水平，某地区组织10 000名学生(其中男生4 000名，女生6 000名)参加数学建模能力竞赛活动． (1)若将成绩在[70,85]的学生定义为“有潜力的学生”，经统计，男生中有潜力的学生有2 500名，女生中有潜力的学生有3 500名，完成下面2×2的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关？ 是否有潜力 性别 男生 女生 合计 有潜力 没有潜力 合计 (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49，女生成绩的均值为75，方差为64. (ⅰ)求全体参赛学生成绩的均值μ及方差σ2； (ⅱ)若参赛学生的成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，试估计成绩在[61,93]的学生人数． 参考数据： ① α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3. 参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)2×2列联表如下： 是否有潜力 性别 合计 男生 女生 有潜力 2 500 3 500 6 000 没有潜力 1 500 2 500 4 000 合计 4 000 6 000 10 000 零假设为H0：学生是否有潜力与性别无关，根据列联表中的数据，得 χ2＝ ＝ ＝≈17.361＞10.828， 我们推断H0不成立，即有99.9%的把握认为学生是否有潜力与性别有关． (2)(ⅰ)假设男生成绩为xi(1≤i≤4 000)，女生成绩为yi(1≤i≤6 000)， 则μ＝80×0.4＋75×0.6＝77. 因为49＝(xi－80)2＝－2×80×i＋＝－802， 即＝6 400×4 000＋49×4 000，同理64＝－752，即＝5 625×6 000＋64×6 000，所以σ2＝－772＝(6 400×4 000＋49×4 000＋5 625×6 000＋64×6 000)－772＝(6 400×0.4＋49×0.4＋5 625×0.6＋64×0.6)－772＝(2 560＋19.6＋3 375＋38.4)－5 929＝64(或者直接用公式计算：σ2＝×[49＋(80－77)2]＋×[64＋(75－77)2]＝64)． (ⅱ)由X～N(77,82)，得P(77－2×8≤x≤77＋2×8)＝P(61≤x≤93)＝0.954 5， 所以这次考试中成绩在[61,93]的学生大约有0.954 5×10 000＝9 545人． 学科网（北京）股份有限公司 $$