练习13 解三角形-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

练习13 一、巩固提高 (一)面积公式 1.在等边△ABC中，边长为2，则S△4BC 2.在△ABC中，已知B=30°，a=2,S△Bc= 3,则c= (二)正弦定理 3.在△ABC中，B=75°，C=60°，AB=√3，则 最短边的长等于 4.在△ABC中，已知A=45°，a=6,b= 3√2，则B的大小为() A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 5.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A, B,C所对的边，若a=1,b=√3，A十C 2B,则sinA= 6.在△ABC中，若cosA=4 5,cos C=5 3,a =1,则b= （三)余弦定理 7.在△ABC中，AC=1,AB=2,A=60°，则 BC= 8.在△ABC中，B=120°，AC=7,AB=5,则 BC- 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c若a=5,c=2,c0sA=弓，则6=( A.√2 B.√3 C.2 D.3 10.在△ABC中，若a2=b2+bc+c2,则A >>》 解三角形 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且a2=b-c2+√2ac,则角B的大 小是( ) A.45° B.60° C.90° D.135° (四)解三角形公式小综合 12.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,若a2=-bc十c2,bc=4,则 △ABC的面积为( A司 B.1 C.3 D.2 13.在△ABC中，A=60°，b=1,这个三角形 的面积为√3，则a= (余弦定理 与面积公式) 14.纯角三角形ABC的面积是2，AB=1, BC=√2，则AC=( A.5 B.√5 C.2 D.1 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,面积为√3，B=60°，a2十c2=3ac, 则b= (五)边角互换 16.在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分 别为a,b,若2 asin B=√3b,则角A等 于 A. B 160<<< c.8 D透 (六)解三角形解答题 24.在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为 17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,6c,且C- a,b,c,若c=√2 bsin C,则B= (1)求sin Acos B+cos Asin B的值； 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 (2)若a=1,b=2,求c的值； a,b,c,且满足csin A=√3 acos C,求角C (3)在(2)的条件下，求三角形ABC 的大小.（化后约，弦化切) 的面积 25.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且a=2 bsin A. 19.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 (1)求B的大小； 别是a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A, (2)若a2+c2=7,三角形ABC的面积为 则△ABC的形状为() 1,求b的值. A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 20.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别是a,b,c,已知bcos C十csin B=a,则B 21.在△ABC中，a=5,b=3,则sinA:sinB 的值是() A号 B号 c D.号 22.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分 别是a,b,c,sin2B=2 sin Asin C.若a=b, 则cosB= 23.在△ABC中，若sinA+sinB-sin Asin B =sinC,且满足ab=4,则三角形的面积 为 >>>161<<< 26.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 28.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 a,b,c.已知a=7,c=5,A=60°. 为a,b,c,已知m=(cosB,cosC),n= (1)求cosC; (2a+c,b),且m⊥n. (2)求△ABC的面积. (1)求角B的大小； (2)若b=√/13，a十c=4,求△ABC的面积 29.如图，位于A处的海面观测站获悉，在其 27.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 正东方向相距40海里的B处有一艘渔 abc,且3a=b 船遇险，并在原点等待营救，在A处南偏 cos A sin B' 西30°且相距20海里的C处有一艘救援 (1)求角A的值： 船，则该船到救助处B的距离为() (2)若B=否，且△ABC的面积为43， 刘 求BC边上的中线AM的长， →东 A 40 2030 A.2800海里 B.1200海里 C.20√3海里 D.20√7海里 >>>162<<<象的函数表达式为y=sin(受+晋）(x∈R).选C M(号，2)代人，得sin(于+)=，而0<g<x l5.解：y=sinx横坐标变为原来2倍→y=sin号x,再向右 ∴音+g吾g受故f)=sim(叶）=msz 平移0个单位长度+y-sim2(x-)=sm(号x (2依题意有cmsa=号，cs日是，而e,9c(0,受）， 无)选B ∴如√-(）=号m√1-()=， 16.解：y=cos2x向左平移2个单位长度→y=c0s2(x十 fa-BD=cos(a-m=计-sin asin-号×号+ ）=os(2z+1D.选C 号×最需 17.解：函数y=2sim(2x十石）的周期为元，将函数y 练习13解三角形 一、巩固提高 2sim(2x+晋)的图象向右平移4个周期即平个单位长 (一)面积公式 度，所得图象对应的函数为y=2s血[2(x一)+晋]， 1.解：Sam=合×2X2sin60°=5. 即y=2sim(2x-苓，故选D, 1 2.解：Sac=2 acsin B,.3=2·2cm30,c=6. 18解：Df)=2ms(骨)-2s-2x号-1 (二)正弦定理 3.解：在△ABC中，A=180°-B-C=45°，根据大角对大边， (2)因为cos0=号，0e(经，2x), 所以最短边为BC 所以血=√1-(）=-告 由正弦定理得，A一即-解得BC =√2. 所以f(0-晋)=2os(g-吾-)=2s(0-年）》 解：由正孩定理。品B得看m行潮得血B a =2(cos0cos年+sin0sinT） =号，又B为三角形内角，所以B-30或B=150,又因为 (是×号-告×号》=- a>b,所以A>B,即B=30°.选A. 5.解：在△ABC中，A十B+C=180°，又，A+C=2B, 19.解：(1)依题意有f()=Asim(段+)=Asin ..3B=180°，即B=60°. 号A-号，所以A-3. 由正弦定理，a=”B六sinA=-之1 b 2 (2)由(1)得f(x)=3sin(x+）,x∈R,f()+ 6,解：因为c0sA=青，c0sC-是且A,C为三角形内角，所 f-)-5sim(0+牙)+sin(-0+)门=6cos0 以sinA=号，smC-将， 13 -2 sin B-sin(A+C-sin Acos C+cos Asin C-63 51 cos0=.0e(0,受)， 又因为A品B所以6-m及-得 sin A 13 m0=v1-s0√1-g=, (三)余弦定理 ∴-0)-sin(-叶晋)-5s0-, 7.解：在△ABC中，由余弦定理，得 4 BC=AB+AC-2AB·AC·cosA=22+12-2X2X 20.解：(1)依题意有A=1,则f(x)=sin(x十p),将点 1Xcos60°=3， 59 所以BC=√3. 16.解：由正弦定理2 sin Asin B=√3sinB,故2sinA=√3，得 8.解：设AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理知=c2十a2 2cacos B, 如4-9 即a2+5a-24=0,解得a=3(a=-8舍去).故BC=3. 因为△ABC是锐角三角形，所以A=子，选A 9.解：由余弦定理得cosA=+2-￠，即十4-5= 17.解：由正弦定理sinC=√2 sin Bsin C,故1=√2sinB,得 2bc 3 整理得仔-号6-1=(6-3)（什号）=0，解得6=3或6= sin B=2 号合.故选D 因为B∈0，，所以B=牙或B=平 18.解：，'csin A=√3 acos C, 10.解：由a2=+bc+c2得+c2-a2=一bc, 由余弦定理得0sA-十￠-2产=一合，所以A .由正弦定理得sin Csin A=√3 sin Acos C. 2bc 2bc .'0A<π，.sinA≠0，.sinC=√3cosC,.tanC=√3. =120°. 0<C<,C-吾 11.解：△ABC中，：a2=-2+2ac,可得2+2-8=√2ac, l9.解：由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A, 曲余弦定理可得m日=流8-织-号 故sin(B+C)=sinA,得sinA=sinA,得1=sinA,所以 2ac ,B∈(0，)，.B=45°.故选A 在△ABC中A=受.选A (四)解三角形公式小综合 20.解：由正弦定理sin Bcos C+sin Csin B=sinA, 12,解：d=+-ksA-名A-子又c=4, sin Bcos C+sin Csin B=sin(BC), 得sin Bcos C-+sin Csin B=sin Bcos C+cos Bsin C,得 △ABC的面积为bcsin A=3.故选C sin Csin B=cos Bsin C, 1&解：“S%证=号besin A,∴=分1c…m60,∴c 得sinB=osB,得anB=1,所以在△ABC中B=平. =4. 21解品合台-号选A 由余弦定理得a2=b十c2一2 bccos A=12十42-2X1× 22.解：由正弦定理得子=2ac,又a=b,所以a=b=2c. 4cos60°=13，.a=√13. 由余弦定理得csB=心+-世-22十2-(2_1 2ac 2X2cXc 4 14解：Sx=号1AB1·BC·smB,即？=名·1· 1 23.解：由正弦定理得a2+-ab=c2,∴a2十-c2=ab, E·血BmB=号，即B=5或135 由余弦定理得0sC=Q+?一2=b。1 2ab 2ab2.sin C= 又，|AC2=|AB2+|BC2-2|AB|·|BC·cosB, 号∴Sm=7mC-X4X9-5 .|AC12=1或5. (六)解三角形解答题 又：△ABC为钝角三角形，.|ACI2=5,即|AC1=√5. 24.:(1)sin Acos B+cos Asin B=sin(A++B)=sin(x-C) 选B. mC-咖等-9 1 15.解：由题意，S△ABc= 2 acsin B=3 ac=3,所以ac=4, (2)由余弦定理得c2=a2+仔-2 abcos C=12+2-2X a2+c2=12, 1X2cos3=1,c=7. 所以=d+2-2 B=12-2X4×号=8，解得 (3)SL=合XuXbXx血C-号XIX2X号-g b=22(负值舍去). 25.解：(1)由a=2 bsin A,根据正弦定理得sinA=2sinB· 故答案为2√2. sin A, (五)边角互换 60 又simA心0，所以simB= 29.解：由已知得AB=40海里，AC=20海里，∠BAC =120°， 由△ABC为锐角三角形得B=否， 根据余弦定理可得BC=AB十AC-2AB·ACos∠BAC (2)由△ABC的面积为1，得宁acsin B=-1,又smB=立， =40+20-2×40×20×(-2）=280, .ac=4. 则BC=20√7海里.选D. 由余弦定理得心+-2 acB=i,又cosB-写， 练习14平面向量 一、巩固提高 .=7-43/(2-√3)2，∴.b=2-√3 L.解：AB+BD-AC-C励=(A+BdD)-(AC+Cd)=AD 26.解：(1)由余弦定理a2=?+c2-2 bccos A,得+25 -AD=0.选D. 5b=49, 2.解：Cd=C+d--武+号BA选A. 解得b=-3(舍)或b=8, osC=2+2-2=49+64-25=1卫 3.解：Md-Mi+A心-a+吾Ai=a+吾M迹-M=a+ 2ab 2×7×8 14 (2由(1D得Se=2kA=号X8X560=10,原 {(b-a)=石a+号b,选D 2玩解：1)由正弦定理得品A二品分义由已知 b 4.解：AD=AC+Cd=AC+号C=AC+号(A心-A$)= b -sin B' -号+号AC,选A 所以A品AmA-9因为Ac0,,所以A吾 5.解：=本-成=号迹--子动+2成选D 31 (2)由1)知A=晋，又B=晋，则a=b,C- 6.解：Ai·Ad-ABI[ACIcoS A-=1X1Xcs60°=？选B 由5aw=2a6sinC-名csmg-9e=45,得d 7.解：a·a+a·b=al川a+cos60°=1+1X2 16,则a=4=b.在△ACM中，由余弦定理，得 选B AMF-CA+CVF-2CA.CMc0s-4+2-2X2X4 8.解：a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故选B. 9.解：.a=(1,-1),b=(一1,2)，.2a-b=2(1,-1)-（-1,2) ×(-2)=28, =(3,一4)， .(2a-b)·b=(3,-4)·(-1,2)=3X(-1)+(-4)× 所以AM=2√7. 2=-11. 28.解：(1).'m⊥n,∴.m·n=(2a+c)cosB+bcos C=0,即 10.解：a·b=一x十6=3，故x=3.故选A 2acos B-+ccos B++bcos C=0. 11.解：2a+b=(3,2+k),由a·(2a+b)=0,得(2,1)· 由正弦定理可得2 sin Acos B+sin Ccos B+sin Bcos C=0, (3,2+)=0, 2sin Acos B+sin(B+C)=2sin Acos B+sin A- .2×3十1×(2十k)=0,解得k=一8.选B. sin A(2cos B+1)=0. 12.解：.a=(x,1),b=(3,6),aLb,.3x十6=0，.x=-2. ,A,B∈(0，r),.sinA≠0，.2cosB+1=0, .a=(-2,1),∴.2b-a=2(3,6)-(-2,1)=(6,12)- 即cosB=-7B-子 (-2,1)=(8,11). (2)由余弦定理，得=a2+c2-2 accos B=(a十c)2 13.解：由a=(1,2),b=（-2,m),且a∥b,得1×m=2×(-2)→ 2ac(1+cos B), m=-4,从而b=(-2,一4)，那么2a+3b=2(1,2)十3(-2， b=√13，a十c=4,.13=16-ac,.ac=3, -4)=(-4,-8).选B. 14.解：因为a-1b=(1,3)-(3,4)=(1-3λ，3-4)，所以 则△ABC的面积S=寸ecsin B=3￥ 4 由(a一b)⊥b可得， 61