分级练(74)　成对数据的统计分析（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(74)　成对数据的统计分析 分级一　提能强化 1．根据分类变量X和Y的样本观察数据的计算结果，有不少于99.5%的把握认为X和Y有关，则χ2的一个可能取值为(　　) A．3.971 B．5.872 C．6.775 D．9.698 α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 D　解析：因为有不少于99.5%的把握认为X和Y有关，所以χ2≥7.879.选项中只有9.698≥7.879，满足题意． 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到如图所示的散点图． 由此散点图判断，在10至40 ℃之间，下列四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x D　解析：根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，并结合选项可排除A，B，C. 3．下列说法不正确的是(　　) A．回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小 B．一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，若ei恒为0，则R2＝1 C．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 D．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号 D　解析：对于A，回归分析中，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，故A正确；对于B，一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，若ei恒为0，则R2＝1，故B正确；对于C，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，故C正确；对于D，残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，故D错误． 4．某互联网公司借助某手机应用平台推广自己的产品，对今年前5个月的月平台推广费用x(单位：百万元)与月利润额y(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 p 70 经计算，月平台推广费用x与月利润额y满足经验回归方程＝6.5x＋17.5，则p的值为(　　) A．50 B．56.5 C．60 D．70 A　解析：由于经验回归直线过样本中心点，＝5，＝，故代入经验回归方程得＝6.5×5＋17.5，解得p＝50. 5．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．已知两个变量具有线性相关关系，其经验回归方程为＝＋x，若＝2，＝1，＝3，则＝1 B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0 C．在经验回归方程＝0.2x＋12中，当变量x每增加1个单位时，则变量平均增加0.2个单位 D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到回归方程＝0.3x＋4，则c＝e4，k＝0.3 ACD　解析：对于A，将＝2，＝1，＝3代入经验回归方程＝＋x，得3＝＋2，则＝1，故A正确；对于B，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故B错误；对于C，在经验回归方程＝0.2x＋12中，当变量x增加1个单位时，则变量＝0.2(x＋1)＋12＝0.2x＋12＋0.2，平均增加0.2个单位，故C正确；对于D，对y＝cekx两边取对数，得ln y＝ln c＋kx，设z＝ln y，则z＝kx＋ln c，与z＝0.3x＋4比较，得4＝ln c，k＝0.3，则c＝e4，故D正确． 6．某研究性学习小组调查研究学生玩手机对学习的影响，部分统计数据如下表： 玩手机 不玩手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20 10 30 经计算χ2的值，则有________%的把握认为玩手机对学习有影响． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案：99.5　解析：由表中数据，计算得到χ2＝＝10，且10>7.879，因此有99.5%的把握认为玩手机对学习有影响． 7．已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5.若对y＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y值为________． x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 答案：e　解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y，则z＝bx－0.5. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5，代入＝－0.5得3.5＝·2.5－0.5，则＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e. 8．为了构筑“绿色长城”，我国开展广泛的全民义务植树活动，有力推动了生态状况的改善，森林植被状况的改善，不仅美化了家园，减轻了水土流失和风沙对农田的危害，而且有效提高了森林生态系统的储碳能力．某地区统计了2015年到2024年十年中每年人工植树的成活数yi(i＝1，2，3，…，10)(单位：千棵)，用年份代码xi(i＝1，2，3，…，10)表示2015年，2016年，2017年，2018年，…，2024年，得到如图所示的散点图． 对数据进行回归分析发现，有两个不同的回归模型可以选择．模型一：＝x＋.模型二：＝e＋x，其中e是自然对数的底数． (1)根据散点图，判断所给模型哪个更适宜作为每年人工植树成活数y与年份代码x相关关系的回归分析模型(给出判断即可，不必说明理由)； (2)根据(1)中选定的模型，求出y关于x的回归方程； (3)利用(2)中所求回归方程，预测从哪一年开始每年人工植树成活棵数能够超过5万棵． 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 参考数据：＝385，＝13.5，iyi＝914.1，设zi＝ln yi(i＝1，2，3，…，10)，≈2.5，izi≈150.7，ln 2≈0.693，ln 5≈1.609. 解：(1)根据散点图可知，随着x的增长y呈指数型增长，故应选模型二：＝e＋x. (2)由已知＝e＋x，两边同时取对数可得ln ＝＋x，令＝ln ，则＝＋x. 由＝＝5.5，izi≈150.7，≈2.5，＝385可知， ＝≈＝0.16， ＝－≈2.5－0.16×5.5＝1.62， 所以＝ln ＝1.62＋0.16x，即＝e1.62＋0.16x. (3)令＝e1.62＋0.16x>50，即1.62＋0.16x>ln 50＝ln 25＋ln 2＝2ln 5＋ln 2≈3.911，得x>14.319，故预测从2029年开始每年人工植树成活棵数能够超过5万棵． 分级二　知能探究 9．在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来的发展方向．某市大力推广新能源汽车，成果显著，该市近6年的新能源汽车保有量数据如下表所示． 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y/万辆 1 1.8 2.7 4 5.9 9.1 (1)记x＝i(i＝1，2，3，4，5，6)时对应的新能源汽车保有量为yi，其相较上一年的增长量为zi(i≥2)，分析发现变量z和y有线性关系，试建立变量z和y的回归方程(精确到0.01)； (2)根据(1)问的结果分析，在①y＝cx＋d，②y＝cedx＋f，③y＝cx2＋d中哪一个更适合作为新能源汽车保有量y与年份x的回归方程类型？判断并说明理由． (2)选择②，理由如下： 由(1)问知z和y有线性关系，故用估计z，得yi－yi－1＝0.02＋0.34yi(i≥2)， 则0.66yi＝0.02＋yi－1，可得0.66(yi＋)＝＋yi－1， 可得{yi＋}是首项为y1＋＝，公比为q＝的等比数列， 从而yi＝×(0.66)1－i－≈0.7×e(－ln 0.66)·xi－0.06，满足y＝cedx＋f的形式， 故②适宜作为y与x的回归方程类型． 10．某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检． (1)在试产初期，该款芯片的批次M生产前三道工序的次品率分别为P1＝，P2＝，P3＝. ①求批次M芯片的次品率PM； ②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次M的芯片智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； (2)该企业改进生产工艺后生产了批次N的芯片．某手机生产厂商获得批次M与批次N的芯片，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，安装批次M有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次N有60部，其中对开机速度满意的有58人．依据α＝0.005的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关？ 附：χ2＝. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)①批次M芯片的次品率为 PM＝1－[(1－P1)(1－P2)(1－P3)] ＝1－××＝. ②记“批次M的芯片智能自动检测合格”为事件A，“批次M的芯片人工抽检合格”为事件B. 由已知得P(A)＝，P(AB)＝1－PM＝1－＝， 则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B|A， P(B|A)＝＝×＝. (2)零假设为H0：芯片批次与用户对开机速度满意度无关联． 由数据可建立2×2列联表如下：(单位：人) 开机速度满意度 芯片批次 合计 M N 不满意 10 2 12 满意 30 58 88 合计 40 60 100 根据列联表得 χ2＝ ＝≈10.67>7.879. 因此，依据α＝0.005的独立性检验，我们推断零假设H0不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 学科网（北京）股份有限公司 $$