分级练(75)　概率与统计的综合问题（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（云南专版）

分级练(75)　概率与统计的综合问题 分级一　提能强化 1．随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试A，B两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用黄瓜做对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数达到45及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成频率分布直方图，其中质量指标值分组区间是[30，35)，[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55]. (1)分别求A实验区黄瓜质量指数的平均数和中位数；(每组数据以区间的中点值为代表，结果保留小数点后一位) (2)请根据题中信息完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用肥料有关． A有机肥料 B有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥x0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解：(1)A片实验区黄瓜的质量指数平均数为 32．5×0.05＋37.5×0.15＋42.5×0.2＋47.5×0.55＋52.5×0.05＝44.5. 设A片实验区黄瓜质量指数中位数为x，则0.05＋0.15＋0.2＋(x－45)×0.11＝0.5，得x＝45≈45.9. (2)零假设为H0：“质量优等”与使用肥料无关． 由题意可得2×2列联表为 A有机肥料 B有机肥料 合计 质量优等 60 30 90 质量非优等 40 70 110 合计 100 100 200 χ2＝ ＝＝≈18.182. 因为18.182>10.828，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用肥料有关． 2．当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争．我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利． (1)在研发过程中，对研发时间x(单位：月)和产品的厚度y(单位：nm)进行统计，其中1～7月的数据资料如下： x/月 1 2 3 4 5 6 7 y/nm 99 99 45 32 30 24 21 现用＝＋作为y关于x的经验回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少； (2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线．现有以下两种售卖方案可供选择： ①直接售卖，则每条生产线可卖5万元； ②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖．已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则该条生产线可卖20万元；若改造失败，则该条生产线卖价为0万元．请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学，并说明理由． 参考数据：设z＝，zi＝，＝0.37，＝50，iyi＝184.5，－72＝0.55. 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程＝u＋中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝，＝－. 解：(1)由题可得 ＝＝＝100， ∴＝－＝50－100×0.37＝13，∴＝13＋. ∵x>0，>0，∴＝13＋>13，即该产品的“理想”优良厚度约为13 nm. (2)方案①，售卖收益为5×3＝15(万元)； 方案②，设X为3条老旧生产线改造后的收益，则X的可能取值为－20，0，20，40， P(X＝－20)＝(1－)3＝， P(X＝0)＝C××()2＝， P(X＝20)＝C×()2×＝， P(X＝40)＝()3＝， ∴E(X)＝(－20)×＋0×＋20×＋40×＝25(万元). ∵25>15，∴该企业应选择方案②更为科学． 3．为了振兴乡村经济，某知名电商平台决定为乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2024年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2024年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)的数据如下表： 日期 7月 10日 7月 11日 7月 12日 7月 13日 7月 14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y万人 75 84 93 98 100 (1)依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)是否具有较高的线性相关程度；(参考：若0.3<|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|>0.75，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01) (2)求购买人数y与直播的天数x的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位：万人). 参考数据：(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，≈65.879. 附：相关系数r＝，经验回归方程＝x＋中的斜率＝，＝－. 解：(1)由表中数据可得＝3，＝90， 所以(xi－)2＝10. 又(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64， 所以r＝ ＝≈0.97>0.75， 所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度． (2)由(1)知可用经验回归模型拟合人数y与天数x之间的关系． 由表中数据可得＝＝＝6.4， 则＝－＝90－6.4×3＝70.8， 所以＝6.4x＋70.8， 令x＝38，可得＝6.4×38＋70.8＝314(万人). 故预测从7月10日起的第38天到该专营店购物的人数约为314万人． 分级二　知能探究 4．根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为 X 1 2 3 0 概率 α α(1－p) α(1－p)2 其中α>0，0<p<1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多). (1)若p＝，求α，并根据全概率公式P(B)＝(B|Ai)P(Ai)，求P(B)； (2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等). ①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？ ②是否存在p的值使得E(X)＝，请说明理由． 解：(1)由题意得＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝2α＋α＋α＋α＝α＝1， 所以α＝. P(B|A1)＝C×，P(B|A2)＝C()2， P(B|A3)＝C()3＋C()3. 由全概率公式，得P(B)＝(B|Ai)P(Ai)＝×＋C()2α＋[C()3＋C()3]α(1－p)＝×＋α＋α(1－p). 又p＝，则P(B)＝α＝. (2)①由＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1， 得＝p2－3p＋＋3. 记f(p)＝p2－3p＋＋3，0<p<1， 则f′(p)＝. 记g(p)＝2p3－3p2－1， 则g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)<0， 故g(p)在(0，1)上单调递减． 又g(0)＝－1，所以g(p)<0， 所以f′(p)<0，f(p)在(0，1)上单调递减． 因此增加p的取值，会减小，α增大， 即P(X＝2)增大． ②假设存在p使E(X)＝＋2α＋3α(1－p)＝. 又＝p2－3p＋＋3， 将上述两式相乘，得＋5－3p＝－5p＋＋5， 化简得5p3－6p2＋2＝0. 设h(p)＝5p3－6p2＋2， 则h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)， 则h(p)在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，h(p)的最小值为h()＝>0， 故不存在p0使得h(p0)＝0， 即不存在p的值使得E(X)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$