第9章 立体几何初步-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

第九章立体几何初步 %赢在%考情精析 考点 课标解读 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描 空间几何体的 述现实生活中简单物体的结构. 结构特征、直 (2)会用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其 观图 简单组合)的直观图. (3)掌握球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式。 2.点、直线、平面之间的位置关系 空间几何体的 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据 表面积与体积 的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点 在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 空间点、线、面 该点的公共直线 的位置关系 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个 角相等或互补 (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线 面平行、垂直的有关性质与判定定理. ①理解以下判定定理. 直线、平面平 行的判定与 果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面 亚行 性质 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面 平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平 面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直， ②理解以下性质定理. 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交， 直线、平面垂 那么这条直线就和交线平行. 直的判定与 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行！ 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平 面垂直. (3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单 命题. )>>96<< 赢在考点训练% 考点 1 空间几何体的结构特征、直观图 三夯三三实三三基三础 ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一 周所形成的几何体都是圆锥； 1.空间几何体的结构特征 ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长 (1)棱柱：侧棱都 ,上、下底面是全等的 一定相等 多边形，并且相互 多 其中正确命题的个数是 ( (2)棱锥：底面是任意多边形，侧面是有一个 面 的三角形 A.0 B.1 体 (3)棱台：由 的平面截棱锥得到，其上、下底 C.2 D.3 面是 多边形 【解析】①不一定，只有当这两点的连线平 (4)圆柱：可以由 绕其任一边所在直线旋 行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所 转得到. 在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的 (5)圆锥：可以由直角三角形绕其 所在 旋 直线旋转得到 面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它 转 (6)圆台：可以由直角梯形绕其 所在直线或等 是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误， 体 腰梯形绕其 所在直线旋 棱台的上、下底面相似且是对应边平行的 转得到，也可由 的平面截圆锥得到. 多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱 (7)球：可以由半圆或圆绕其 所在直线旋 长不一定相等 转得到 2.水平放置的平面图形的直观图的斜二 测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴，两轴相交于O点.画直观图时，把它们画 成对应的x轴与y'轴，两轴相交于O且使 【答案】A ∠x'O'y'= ,它们确定的平面表示水 【名师点拨】(1)关于空间几何体的结构特征 平面 辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要 (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线 善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明 段，在直观图中分别画成平行于x轴或y√轴 个命题是错误的，只需举一个反例 的线段 (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中 (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直 在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各 观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段， 元素的关系。 长度变为原来的 (3)既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的， -三提三三升三能三力三 所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为 考向1空间几何体的结构特征 锥”的解题策略 ·典型例题1色 色针对训练1一 给出下列命题： 1.下列命题正确的是 () ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点， A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面 则这两点的连线是圆柱的母线； 体是棱台 >>>97<< B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形 的多面体是棱台 +1,且A'D'∥BC',AB'⊥B'C', 2 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为 旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成 : 六这块装地的面积S=(A'D'+BC)· 的旋转体是圆台 AB'-号×(1+1+号)×2-2+号 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和 矩形 【答案】2+号 2.给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平 【名师点拨】(1)由原图形的面积求直观图的 行四边形； 面积，关键是确定直观图的形状，作出直观图 ②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面 后，求出其边长和高，进而求出面积；如果由 都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 直观图求原图形的面积，则根据斜二测画法 ③存在每个面都是直角三角形的四面体； 将直观图还原为原图形，再求边长和高，进而 ④棱台的侧棱延长后交于一点. 求面积. 其中正确命题的序号是 (2)斜二测画法中的数量关系 考向2直观图中的计算问题 StV2S果，S=2W2S直 色典型例题2心 有一块多边形的菜地，它的 色针对训练2色 水平放置的平面图形的斜 1.如图所示为一个水平放置的正方 二测直观图是直角梯形（如 形ABCO,在平面直角坐标系中， /B(O)C 点B的坐标是(2,2)，则在用斜二 可C 图所示)，∠ABC=45°，AB=AD=1, 测画法画出的正方形的直观图中，点B到x DC⊥BC,则这块菜地的面积为 轴的距离是 ( 【解析】如图（1)，在直观图中，过点A作 AE⊥BC,垂足为E A.2 B号 C.1 D.√2 2.若水平放置的△ABC有一边在水平线上， 它的直观图是正三角形，则△ABC是 B(OE ) A.锐角三角形 图(1) 图(2) B.直角三角形 在Rt△ABE中，AB=1,∠ABE=45°， C.钝角三角形 E盟 D.任意三角形 3.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一 而四边形AECD为矩形，AD=1,∴.EC= 个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积 AD=1. 等于 ( ∴BC=BE+EC=Y2+1. 2 B.2√2a 由此可还原原图形如图(2) 在原图形中，A'D'=1,A'B'=2,BC= G D.Pi )>>98<< -三学三业三达三标工 A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 1.(福建学业水平测试)如 D C,i 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图 图，在长方体ABCD- A 是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰 A1B1CD1中，AB=AD 梯形，那么原平面图形的面积是 () =1,BD1=2,则AA1= D () A.2+√2 B.1+2 2 A.1 C.2+2 D.1+√2 B.√2 2 C.2 4.已知正三角形ABC的边长为a,那么 D.√3 △ABC的平面直观图△AB'C的面积为 () 2.如图，长方体ABCD-A'BCD'被截去一 部分，其中EH∥AD'.剩下的几何体是 ( D C流 ne 5.用斜二测画法画水平放置的矩形的直观 图，则直观图的面积与原矩形的面积之比 为 考点2 空间几何体的表面积和体积 -二夯三实三基三三础二 体积公式为V=专S.圆锥和棱锥的体积公式 1.柱体、锥体、台体的侧面积就是各侧面面 可以统一为 ,其中S为底面面积，h 积之和，表面积是各个面的面积之和，即 为高 与 之和. 2.圆柱的侧面积公式是S柱侧 5.圆台的体积公式为V=3π(2+r十 ,表面积公式是S准= ;圆锥 ),棱台的体积公式为V-(S+VSS十 的侧面积公式是S锥侧三 ,表面积公 式是S锥= ；圆台的侧面积公式是 S)h,圆台和棱台的体积公式可以统一为 S台侧=π(r十r)l,表面积公式是S台=π(r2十 V台= ,其中S,S分别为上、 产十r1十r),其中r,r分别为上、下底面的半 下底面的面积，h为高. 径，l为母线长 6.用一个平面去截一个球，截面是圆面. 3.长方体的体积公式为 ,正方 球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心 体的体积公式为 圆柱的体积公式 的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d 为 棱柱的体积公式为V=Sh.棱柱 与球的半径R及截面圆的半径r有下面的关 和圆柱的体积公式可以统一为 ,其 系： 中S为底面积，h为高. 7.球的体积及球的表面积公式： 4.圆锥的体积公式为V=名h,棱锥的 (1)半径为R的球的体积为 (2)半径为R的球的表面积为 >>>99<< 三提三升三能三力三 【名师点拨】几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积 考向1空间几何体的表面积 之和 ·典型例题1◆ (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该 面面积的和.求旋转体的侧面积一般要进行 棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表 转化，即将侧面展开化为平面图形来解决（化 面积为 曲为直)，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开 A.8Int B.16π 图的形状及平面图形面积的求法. 4 (3)简单组合体，应搞清各构成部分，并 C.9π D.27x 注意重合部分的处理， (4)若以三视图的形式给出，解题的关键 (2)圆台的上、下底面半径分别是10cm和 是对给出的三视图进行分析，从中发现几何 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心 体中各元素间的位置关系及数量关系，得到 角是180°，那么圆台的表面积为 几何体的直观图，然后根据条件求解， (结果中保留π). 色针对训练1色 【解析】(1)如图(1)，设球的半径为R, 1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方 棱锥的高为4，底面边长为2， 形，那么这个圆柱的侧面积是 () ∴.R2=(4-R)2+(2)2. A.4πS B.2πS R=是 C.πS D.2y5x5 ∴球的表面积为4R=4x×(程)”-8 2.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的 屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶. 单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊， 前后左右都有斜坡（如图(1）)，类似五面体 FE一ABCD的形状（如图(2）)，若四边形 ABCD是矩形，AB∥EF,且AB=CD= 2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3, 五面体FE一ABCD的表面积为 图(1) 图(2) 正脊 (2)如图(2)所示，设圆台的上底周长为C, 因为扇环的圆心角是180°，所以 C=π·SA. 图(1) 图(2) 又C=2πX10=20π，所以SA=20. A.48 B.32W5 同理SB=40. C.16+16w/5 D.32+165 所以AB=SB-SA=20. 3.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4， S表=S侧十S上底十S下底 若母线长为10，则圆台的表面积为() =π(r1十r2)·AB+π十πr2 A.81π B.100π C.168π D.169π =π(10+20)×20+π×102+π×202 考向2空间几何体的体积 =1100π(cm2) ·典型例题2一 故圆台的表面积为1100πcm. (1)若正三棱柱ABC-A1BC的底面边长 【答案】(1)A(2)1100πcm 为2，侧棱长为√3，D为BC的中点，则 )>>100<< 三棱锥A-B1DC1的体积为 球的体积与圆柱的体积比V球：V柱为 A.3 B昌 c.1 A.1:2 B.2:3 (2)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的 C.3:4 D.1:3 中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的 2.如图所示，在棱长为4的正 D 体积与剩下的几何体体积的比 方体ABCD-A1B,CD 为 中，P是AB上一点，且 PB=子A,则多面体 P-BCC1B1的体积为 A B C.4 D.16 【解析】(1)如图，在正三棱柱ABC -二学二三业二三达二三标三 A1BC中， .AD⊥BC, 1.一个棱长为2的正方体，其顶点均在同一 .AD⊥平面BDC. 球的球面上，则该球的表面积是 （) (参考公式：球的表面积公式为S=4πR2,其 中R是球的半径) A.3π B.4π C.8π D.12π 2.如果一个球的表面积是16π，那么这个球的 体积为 A你 8器 C.16π D.24π VAB,,=3Sa,·AD= 3.攒(cun)尖是我国古代建 √3×√3=1. 筑中屋顶的一种结构样式， (2)设长方体的相邻三条棱长分别为a,b, 多见于亭阁或园林式建筑. 6,它裁出棱维的体积为=号×号×aX 如图是一顶圆形攒尖，其屋 bX=名c,剩下的几何作的体积M= 顶可近似看作一个圆锥，其 轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶 8c 1 abc- 48abc,所以V1:V2=1:47. 角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约 【答案】(1)C(2)1:47 为 ( ) 【名师点拨】空间几何体体积问题的常见类型 A.3√3π B.6√3π 及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求 C.12√3π D.6元 解的柱体、锥体、台体或球，则可直接利用公式4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 进行求解 学名著，书中把“底面为直角三角形的直棱 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利 柱”称为堑堵，今有一将堑堵，其高为2，底 用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等 面直角三角形的斜边长为4，则该堑堵的外 方法进行求解。 接球的表面积为 () 色针对训练2心 A.12x B.20π 1.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则 C.16π D.24π >>>101<< 5.如图，在四棱柱ABCD C.4 D.8 A1B1CD1中，底面ABCD 6.(2025·福建检测)《九章算术》中将正四棱台 是正方形，A1A⊥底面AB (上、下底面均为正方形)称为“方亭”.现有一 CD,A1A=2,AB=1,那么 方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为 该四棱柱的体积为( ) 4,则此方亭的表面积为 A.1 B.2 考点3 空间点、线、面的位置关系 三夯三实三基三础三 三提三三升三三能三力三 1.平面的基本性质 考向1空间中直线与直线的位置关系 名称 文字表示 符号表示 4典型例题1色 如果一条直线上的 若直线l与l2是异面直线，山在平面α内， 在一个平面 A∈a, 公理1 →ABCa 内，那么这条直线在此 B∈a l2在平面β内，l是平面a与平面3的交线， 平面内 则下列命题正确的是 () 世 务 A,B,C三点不共线→ A.L至少与11，l2中的一条相交 公理2 三点，有且只有 有且只有一个平面a, B.L与11，l2都相交 个平面 使A,B,C∈a 如果两个不重合的平 C.1至多与U1,l2中的一条相交 面有一个公共，点，那么 P∈a, D.l与11,2都不相交 公理3 它们有且只有 P∈B, →P∈1 【解析】选项B中，l与l1,l2中的一条相交 过该，点的公 a∩3=l 共直线 时也能满足条件，排除B.选项C中，至多与 平行于 的两 a∥b, 公理4 →a∥c 一条直线相交，包含与☑1,2都不相交，错 条直线互相平行 b∥c 误，排除C.选项D中，直线l1,l在同一平 2.等角定理 面内，山与1不相交则一定平行，即l1∥1；同 一个角的两边和另一个角的两边分别平 理，由l2与1不相交得l2∥1.故l1∥12，这与 行，那么这两个角 已知L1,l2是异面直线相矛盾，排除D. 3.异面直线所成的角 故选A (1)定义：异面直线a,b,经过空间任一点 【答案】A O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的 ,叫异面直线a,b所成的角. 【名师点拨】判定空间直线位置关系的三种类 (2)范围： 型及方法 4.直线和平面的位置关系 (I)异面直线，可采用直接法或反证法. (1)直线在平面内. (2)平行直线，可利用三角形（梯形）中位 (2)直线在平面外 线的性质、公理4及线面平行与面面平行的 直线和平面 性质定理。 直线和平面 (3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来 5.空间直线的位置关系有：相交、平 解央 行、 ·针对训练1心 6.两个平面的位置关系有： 1.已知a∥a,bCa,则直线a与直线b的位置 )>>102<< 关系是 A.平行 B.相交或异面 C.异面 D.平行或异面 2.和直线l都平行的直线a,b的位置关系是 图(2) ( 连接AD,取AD的中，点H,连接HE,则 A.相交 HE瘙铁DB. B.异面 C.平行 .∠HIEF为异面直线DB与EF所成的角或 D.平行、相交或异面 其补角 3.已知直线a,b,c及平面a,下列条件能确定 ,HE- 连接HF,设AA=1,则EF=2, a∥b的是 ( A.a∥a,b∥a ,取AD的中，点1， √3 B.a⊥c,b⊥c 连接IF,IH,则HI⊥IF, C.a,b与c成等角 D.a∥c,b∥c ..HF=HP+IF2=5 4 4.若直线l不平行于平面a,且1￠a,则( ∴.HF2=EF2+HE, A.a内的所有直线与l异面 ∴.∠HEF=90°. B.a内不存在与l平行的直线 异面直线DB1与EF所成的角为90° C.α内存在唯一的直线与l平行 【名师点拨】求异面直线所成角的方法 D.α内的直线与l都相交 (1)作：利用定义转化为平面角，对于异 考向2异面直线所成的角 ·典型例题2· 面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或 在正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别 两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在 是A1B1,B1C1的中点，求异面直线DB与 特殊的位置上。 (2)证：证明作出的角为所求角. EF所成角的大小. 【解】方法一（中位线平移 (3)求：把这个平面角置于一个三角形 中，通过解三角形求空间角. 法)：如图(1)，连接A1C, BD,并设它们相交于点 注意：两异面直线所成的角归结到一个 三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内 O,取DD1的中点G,连接 4,2 角可能等于两异面直线所成的角，也可能等 AG,CG,OG, 则OG∥BD,EF∥A1C. 图(1) 于其补角。 ∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的 ◆针对训练2· 角或其补角. 1.(2025·福建月考)在正方体A1B1CD1- .GA1=GC1,O为A1C1的中点， ABCD中，BD与B1C所成的角是() .GO⊥AC. A.30° B.45 C.609 D.90 .异面直线DB1与EF所成的角为90° 2.在空间四边形ABCD中，AB,BC,CD的中 方法二（中位线平移法）：如图(2)， ; 点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=√5， )>>103<<< PR=3,那么异面直线AC和BD所成的 ①DA1与BC平行；②DD1与BC垂直； 角是 () ③A1B与BC垂直.以上三个命题中，正 A.90° B.60° C.45° D.30° 确命题的序号是 () 3.在三棱锥A-BCD中，E,F,G分别是AB, D AC,BD的中点，若AD与BC所成的角是 60°，那么∠FEG= ( A.60° B.30° C.120° D.60°或120° 4.如图，在正方体ABCD-A1BCD中，E,F, A.①② B.②③ G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C的中点， C.③ D.①②③ 则异面直线EF与GH所成的角为( 5.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的 四棱柱ABCD-A1B1CD1中，AA1= 2AB=2,则异面直线AB与AD1所成角的 余弦值为 () A.45° B.60° C.90° D.120° 三学三业三达三标子 1.空间中有三条线段AB,BC,CD,且 ∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的 B 位置关系是 A号 R号 c D青 A.平行 6.已知直线1⊥平面a,直线mc平面β，则下 B.异面 列四个命题： C.相交或平行 ①a∥B→l⊥m; ②a⊥3→l∥m; D.平行或异面或相交均有可能 ③l∥m→a⊥β； ④l⊥m→a∥R. 2.如图是一个正方体的平 其中正确命题的序号是 面展开图，则在正方体中 7.已知，四边形ABCD 直线AB与CD的位置 是空间四边形，E,H 关系为 () 分别是边AB,AD的 A相交 B.平行 B C.异面而且垂直 D.异面但不垂直 中点，F,G分别是边 3.已知a,b是异面直线，直线c平行于直线 CB,CD上的点，且 a,那么c与b ( 能==号求证。 A.一定是异面直线 直线FE,GH,AC交于一点， B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 4.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中， )>>104<<< 考点4直线、平面平行的判定与性质 二夯三实三基三础二 GH.求证：AP∥GH 1.直线与平面平行的判定定理 一条直线与此平面内的一条直线 自然语言 ,则该直线与此平面平行 符号语言 ,bCa,且a∥i→a∥a a 【证明】连接AC交BD于，点O,连接MO. 图形语言 ,四边形ABCD是平行四边形， .O是AC的中点. 2.平面与平面平行的判定定理 又M是PC的中，点，∴.AP∥OM 一个平面内的 直线与另一个平面平 自然语言 而AP吨平面BDM,OMC平面BDM, 行，则这两个平面平行 ∴.AP∥平面BDM. 符号语言 aCB,bCB, _,a∥a, →B∥a .平面PAHG∩平面BDM=GH, .AP∥GH 图形语言 【名师点拨】应用线面平行的性质定理可以得 到线线平行.解此类题的关键是找到过已知 3.直线与平面平行的性质定理 直线的平面与已知平面的交线，有时为了得 一条直线与一个平面平行，则 的任一平 到交线需要作出辅助平面.必要时，可反复应 自然语言 面与此平面的交线与该直线 用线面平行的判定定理和性质定理进行平行 符号语言 ,aCB,anB=6→a∥b 关系的转化。 ·针对训练1心 图形语言 1.如图，在四个正方体图形中，A,B为正方体 a 的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中 4.平面与平面平行的性质定理 点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 是 自然语言 么它们的交线 符号语言 ,any=a,βny=b→a∥b 图形语言 ② ③ 2.(2025·福建月考)如图，在四棱锥PAB CD中，AB⊥平面PAD,CD∥AB且CD= 三提三升三能三力二 2AB,PA⊥PC,M为PC的中点.求证：BM 考向1线面平行的判定与性质 ∥平面PAD. 4典型例题14 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平 行四边形，M是PC的中点，在DM上取一 点G,过点G和AP作一平面交平面BDM于 )>>10<< 考向2面面平行的判定与性质 (1)判断直线BD'与平面PQR的位置 ·典型例题2 关系； 如图，在三棱柱ABC (2)判断平面AB'D'与平面PQR的位置 A1BC中，E,F,G,H分 关系. 别是AB,AC,A1B1,AC 的中点，求证： (1)B,C,H,G四点共面； (2)平面EFA1∥平面 BCHG. 【证明】(1).G,H分别是A1B1,AC的 中点， ∴.GH是△A1BC的中位线， ∴.GH∥B1C. 三学业三达三标二 又.BC∥BC,∴.GH∥BC .B,C,H,G四点共面. 1.在空间中，给出下列四个命题： (2)E,F分别为AB,AC的中点， ①平行于同一直线的两条直线平行： .EF∥BC. ②平行于同一平面的两条直线平行； ,EF吨平面BCHG,BCC平面BCHG, ③垂直于同一直线的两条直线平行； ∴.EF∥平面BCHG. ④垂直于同一平面的两个平面平行. .A1G瘙狹EB, 其中正确命题的序号是 () ∴.四边形A1EBG是平行四边形， A.① B.② C.③ D.④ ∴.AE∥GB. 2.如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE,且 ,A1Ed平面BCHG,BGC平面BCHG, BD=2,AE=1,点F在CD上，要使AC∥ ∴.AE∥平面BCHG .AE∩EF=E, 平面EFB,则的值为 '.平面EFA1∥平面BCHG A.3 ·针对训练2◆ B.2 1.如图为某一正方体的平 C.1 面展开图，在这个正方 体中： n方 ①BM∥平面DE; ②CN∥平面AF; 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ③平面BMD∥平面AFN; AB=2,E为AD的中点，点F在CD上，若 ④平面BDE∥平面NCF. EF∥平面ABC,则EF= 其中正确的序号是 2.如图所示，长方体ABCD-A'B'CD'中，P, Q,R分别为BC,CD,CC的中点. 4.如图，在三棱柱ABC-A1BC中，CC⊥底 面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,点D是 )>>106<< AB的中点. (1)求证：AC⊥BC; (2)求证：AC∥平面CDB. 考点5 直线、平面垂直的判定与性质 三夯三实三基三础子 若直线和平面平行或直线在平面内，则 直线与平面所成的角是 1.直线与平面垂直的定义 4.平面与平面垂直的判定与性质 如果直线l与平面α内的 直线 (1)两平面垂直的判定定理 都垂直，我们就说直线1与平面α互相垂直， 一个平面过另一个平面的 ,则这两个 记作l⊥a.直线l叫做平面a的垂线，平面a 自然语言 平面垂直 叫做直线1的 ,当直线与平面垂直 符号语言 ,AB∩B=B,ABCa→ 时，它们唯一的公共点P叫做垂足， 2.直线与平面垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直的判定定理 图形语言 一条直线与一个平面内的两条 直线都 自然语言 垂直，则该直线与此平面垂直 (2)平面与平面垂直的性质定理 符号语言 aCa,bCa, ,lLa, →l⊥a 两个平面垂直，则一个平面内 的直线 自然语言 与另一个平面垂直 符号语言 a⊥B,a∩3=l, →a⊥3 图形语言 (2)直线与平面垂直的性质定理 图形语言 自然语言 垂直于同一个平面的两条直线 5.平面与平面所成的角 符号语言 ,b⊥a→ (1)二面角的定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.这条直 图形语言 线叫做二面角的棱，如图(1)中的AB,图(2) 中的，这两个半平面叫做二面角的面，如 图(1)，(2)中的a,B. 3.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的 ,叫做这条直线和这个平面所 成的角. 规定：若直线和平面垂直，则直线与平面 所成的角是直角. 图(1) 图(2) >>>107<<< (2)二面角的平面角的定义：以二面角的 【名师点拨】判定线面垂直的四种方法 棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别 (1)利用线面垂直的判定定理， 作 的两条射线，这两条射线所成的 (2)利用“两平行线中的一条与已知平面 角叫做二面角的平面角 垂直，则另一条也与这个平面垂直” (3)二面角的大小可以用它的平面角来 (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中 度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二 面角是多少度.平面角是直角的二面角叫 的一个，则与另一个平面也垂直” 做 (4)利用面面垂直的性质定理， 色针对训练1一 三提三升三能三力二 1.设l,m均为直线，其中m在平面a内，则“1 考向1线面垂直的判定与性质 ⊥a”是“L⊥m”的 ( ) 之典型例题1色 A.充分不必要条件 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 B.必要不充分条件 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°， PA=AB=BC,E是PC的中点. C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(学业水平考试)已知直线m与平面a,则下 列结论成立的是 () A.若直线m垂直于平面a内的一条直线， 则m⊥a (1)证明：CD⊥AE; B.若直线m垂直于平面a内的两条直线， (2)证明：PD⊥平面ABE. 则m⊥a 【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中， ,PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,故 C.若直线m平行于平面a内的一条直线， PA⊥CD 则m∥a .AC⊥CD,PA∩AC=A, D.若直线m与平面a没有公共点，则m∥a ∴.CD⊥平面PAC 3.(学业水平考试)如图，PA是圆柱的母线， 而AEC平面PAC,.CD⊥AE AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于 (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°，可得 A,B的一点，且PA=AC=BC=2. AC-PA, E是PC的中点，.AE⊥PC 由(1)知，AE⊥CD,且PC∩CD=C, .AEL平面PCD,而PDC平面PCD, ∴.AE⊥PD. ,PA⊥底面ABCD,PD在底面ABCD内 的射影是AD,AB⊥AD, (1)求证：BC⊥平面PAC: .AB⊥PD (2)若M是PC的中点，求三棱锥B-ACM 又.AB∩AE=A, 的体积. ∴.PD⊥平面ABE. (参考公式：锥体的体积公式为V=司 )>>108<<< Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体【名师点拨1.面面垂直证明的两种思路 的高.) (1)用面面垂直的判定定理，即先证明其 中一个平面经过另一个平面的一条垂线. (2)用面面垂直的定义，即证明两个平面 所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直 的问题转化为证明平面角为直角的问题。 2.垂直问题的转化关系 线线手立选线面香直程瓷面面華改 ◆针对训练2· 考向2面面垂直的判定与性质 1.如图，三棱柱ABC ◆典型例题2◆ A1B1C中，∠BAC= 如图，三棱柱ABC 90°，BC⊥AC,过C作 A1B1C1中，侧棱垂直底 A CH⊥平面ABC,垂足 面，∠ACB=90°，AC= 为H,则H必在() BC-合AA,D是棱AA: A.直线AB上 B.直线BC上 的中点 C.直线CA上 (1)证明：平面BDC1⊥平 D.△ABC内部 面BDC; 2.设α，3是两个不同的平面，l是一条直线，给 (2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两 出四个命题： 部分体积的比. ①若La,aLB,则CB; 【解】(1)证明：由题设知BC⊥CC,BC⊥AC, ②若l∥a,a∥3，则Cβ； CC∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1. ③若l⊥a,a∥B,则1⊥B; 又DC1C平面ACC1A1,所以DC1⊥BC. ④若L∥a,a⊥B,则L⊥β. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°， 则正确命题的个数为 个 所以∠CDC1=90°，即DC1⊥DC 3.如图所示，四棱锥S 又DC∩BC=C,所以DC⊥平面BDC. ABCD中，底面ABCD 又DC1C平面BDC1,故平面BDC1⊥平 为平行四边形，侧面 D 面BDC. SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°， (2)解：设棱锥B-DACC1的体积为V1, SA=SB.求证：SA⊥BC AC=1. 由题意，得V=}×1+2X1x1= 2 21 又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1, 所以(V-V1):V1=1：1. 故平面BDC分此棱柱所得两部分体积的 比为1：1. )>>109<< 考向3与空间角有关的问题 色典型例题3心 又FM=2BC,且FM∥BC,所以FM∥ 如图，四棱锥P-ABCD AE,且FM=AE,则四边形AEFM为平行 的底面ABCD是平行四 四边形 边形，BA=BD=√2， AD=2,PA=PD-5,E, 故EF=AM=里 F分别是棱AD,P℃的中 又BE=1,故在Rt△EBF中， 点.若二面角P-AD-B为60°. sin∠EFB= BE 2V11 (1)证明：平面PBC⊥平面ABCD; EF11· (2)求直线EF与平面PBC所成角的正 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值 弦值 【解析】(1)证明：如图，连 为2细 接PE,BE. 【名师点拨】(1)求解直线和平面所成的角，其 因为PA=PD,BA= 核心问题是过直线上一点作平面的垂线，确 BD,而E为AD的 定点在平面内的射影通常有以下两种方法： 中点， ①斜线上任意一点在平面内的射影必在斜线 故PE⊥AD,BE⊥AD, 在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得 所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角. 出线面垂直，确定射影.(2)求二面角的关键 在△PAD中，由PA=PD=√5，AD=2, 是先作出二面角的平面角，然后把平面角归 可解得PE=2. 结在某一个三角形中求解. 在△ABD中，由BA=BD=√2，AD=2, 色针对训练3心 可解得BE=1. 在△PEB中，PE=2,BE=1,∠PEB=60°， 1.如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长 由余弦定理，可得PB=PE十BE一2PE· 为6，点M在棱DD'上，且DM=2MD,连 BE·c0s∠PEB=4+1-2X2X1X2,则 MB,MA',MB',MC',A'C'. PB=√3， (1)求直线BM与平面ABCD所成角的正 从而∠PBE=90°，即BE⊥PB. 切值； 又BC∥AD,BE⊥AD, (2)求三棱锥M-A'B'C'的体积！ 从而BE⊥BC,PB∩BC=B,因此BE⊥平 D 面PBC 又BEC平面ABCD, 所以平面PBC⊥平面ABCD (2)解：如图，连接BF,取BP的中点M,连 接AM,FM由(1)知，BE⊥平面PBC, 所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成 的角. 由PB=√3，PA=√5，BA=√2，得∠ABP为 直角 而MB=号PB-受，可得AM=, 2 )>>110<< 2.如图，在三棱锥P-ABC中， 4.如图，三棱锥P-ABC ∠APB=90°，∠PAB=60°， 中，PA⊥PB,PB⊥PC, AB=BC=CA,点P在平面 PC⊥PA,PA=PB= ABC内的射影O在AB上. PC=2,E是AC的中 (1)求直线PC与平面ABC所成的角的正 点，点F在线段PC上 弦值； (1)求证：PB⊥AC; (2)求二面角B-AP-C的正切值. (2)若PA∥平面BEF,求四棱锥B APFE的体积. (参考公式：锥体的体积公式V=号S%, 其中S是底面积，h是高.)】 二学三业三达三三标三 1.(2025·福建模拟)已知m,n,1为三条不同 的直线，α，3为两个不同的平面，则下列命 题中正确的是 A.a∥B,mCa,nC3→m∥n 5.如图，直三棱柱ABC-A1BC中，底面是 B.l⊥B,aL3→l∥a 边长为2的等边三角形，点D,E分别是 C.m⊥a,mLn→n∥a BC,AB的中点. D.a∥β，l⊥a→l⊥3 (1)证明：DE∥平面ACC1A1; 2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中， (2)若BB1=1,证明：CD⊥平面ADE. A ∠BAC=90°，且BC⊥AC,过C作CH⊥ 底面ABC,垂足为H,则点H在( A.直线AC上 B.直线AB上 C.直线BC上 D.△ABC内部 3.如图所示，三棱锥P-ABC 中，PA⊥平面ABC, ∠BAC=90°，二面角 B-PA-C的大小等 于 )>>1<<< 6.如图，四边形ABCD是菱形，四边形7.如图，在四棱锥P-ABCD MADN是矩形，平面ADN L平面AB 中，PA⊥AB,PA⊥AD, CD,E,F分别为MA,DC的中点. AC⊥CD,∠ABC=60°， 求证：(1)EF∥平面 PA=AB=BC=2,E是PC MNCB; 的中点、 (2)平面MAC⊥平 (1)证明：AP⊥CD; 面BDN. (2)求三棱锥P-ABC的体积； (3)证明：AE⊥平面PCD. 章未综合测斌 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分）4.下列命题正确的是 ) 1.棱锥的侧面和底面可以都是 ( A.若两条直线和同一个平面所成的角相 A.三角形 B.四边形 等，则这两条直线平行 C.五边形 D.六边形 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的 2.下面多面体中有12条棱的是 ( ) 距离相等，则这两个平面平行 A.四棱柱 B.四棱锥 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这 条直线与这两个平面的交线平行 C.五棱锥 D.五棱柱 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这 3.(2023·福建学业水平合格性考试模拟)已 两个平面平行 知a,3是两个不同的平面，则“a∥是“a与 5.已知a,3表示平面，m,n表示直线，m⊥B, β没有公共点”的 ) a⊥B,给出下列四个结论： A.充分不必要条件 ①Hna&,n⊥B; ②HnCB,m⊥n; B.必要不充分条件 ③HnCa,m∥n; ④3nCa,m⊥n. C.充要条件 则上述结论中正确的个数为 () D.既不充分又不必要条件 A.1 B.2 C.3 D.4 )>>12<<< 6.将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱 形器皿中，量得水面高度为6cm,若将这些 水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿 中，则水面高度为 ( A.6√3cm B.6 cm A.30° B.45° C.218 cm D.312 cm C.60° D.90° 7.若空间中四条两两不同的直线4,2，，4，满 12.在正方体ABCD-A1B1CD1中，E为棱 足1⊥2,2∥1，⊥4，则下列结论一定正确 CD的中点，则 () 的是 A.AE⊥DC A.l⊥L4 B.A1E⊥BD B.l1∥L4 C.A1E⊥BC C.l1与4既不垂直也不平行 D.AE⊥AC D.1与4的位置关系不确定 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 8.已知直线m,n与平面a,3,给出下列四个命 13.如图，在正方体ABCD-A1BCD1的八个 题.其中正确的是 ( ) 顶点中任取两个点作直线，与直线AB异 A.若n∥a,n∥3，则a∥3 面且夹角成60的直线的条数为 B.若m⊥a,m∥B,则a⊥3 D C.若m∥a,n∥a,则m∥n D.若m⊥β，a⊥3，则m∥a 9.已知m,n是空间两条不同的直线，a,B是空 间两个不同的平面，下列命题为真命题 的是 ( ) 14.体积为a3的正方体外接球的表面积 A.若m∥a,m∥3，则a∥3 为 B.若a∥3，mC,n⊥B,则m⊥n 15.若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱 C.若m⊥a,m⊥n,则n∥a 长是2，则球的半径为 D.若a⊥B,mCa,n⊥B,则m∥n 16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 10.已知等腰直角三角形的直角边的长为2， 为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转 A-DED的体积为 周而形成的曲面所围成的几何体的体 积为 ( A.22x B.4v2x 3 3 C.2√2π D.4√2π 11.如图，在直三棱柱ABC-A1BC中，D为17.已知正方体ABCD-A1BGD中，E为 A1B1的中点，AB=BC=2BB1=2,AC= CD的中点，则异面直线AE与BC所成角 22,则异面直线BD与AC所成的角为 的余弦值为 （)18.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平 )>>113<< 面BCD,∠BAD=90°，∠BCD=90°，且20.(2024·福建学业水平合格性考试模拟) AB=AD,则AC与平面BCD所成的角 如图，直线EA和DC都垂直于平面 是 ABC,AB⊥AC,且AB=AC=AE=2,F 三、解答题（共4个大题，第19~21题各10分， 是线段BE上一动点， 第22题12分，共42分) (1)求证：DC∥平面ABE; 19.如图所示，在四面体ABCD中，CB=CD, (2)求△ACF面积的最小值. AD⊥BD,点E,F分别是AB,BD的 中点 求证：(1)直线EF∥平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD. B )>>14<<( 21.如图，AB是⊙O的直径，且AB=4,PA22.如图所示，在长方形ABCD中，AB=2, 垂直于⊙O所在平面，点C是圆周上不同 AD=1,E为CD的中点，以AE为折痕， 于A,B的任意一点. 把△DAE折起到△D'AE的位置，且平面 (1)求证：BC⊥平面PAC; DAE⊥平面ABCE. (2)若AC=2,PA=2√2，求直线PB与 (1)求证：AD'LBE; 平面PAC所成角的大小。 (2)求四棱锥D-ABCE的体积. D )>>15<<<所以m一子满足题意。 实部cos6in0叶1=1+号sin20<号，最大值为号， 10.B【解析】由已知，(x-2)2十y=4. 虚部cos0-sin0=√2cos(什平)≤V2,最大值为/2. ·点(x,y)在以(2,0)为圆心，以2为半径的圆上. 又|z十2=|x十yi表示点(x,y)到原点的距离. 19.解：(1)(2+iD(2-i)=4-2i+2i-=5. z十2的最大值为圆的直径4. (2)(1+2i)2=1+4+4i=-3+4i. 1L.A【解析】由题意，得之√C3)2+1卫-21-) (1+0(1-D=1 ⑧源式-书++需-景+粤 5 1+i -1+i. 一i,所以=1十i,其在复平面内对应的点为(1,1)，位于 第一象限，故选A =15-5i-15-5i-(15-5i)(3-4D 20.【解】%=2+=3+4=(3+43-D 12D僻标：一法1-88智-号+得 -25275i-1-31, 25 ∴之的共轭复数为号一召，：的虚部为， 则(1)2=(2-3i)(1一3i)=-7-9i. √（告）+（名）=，：在复平面内对应的点 (2)名=2-3i=(2-3)(1+3D 21-3i(1-3i)(1+3i) 5 为（号，），在第一象限，故选D -品+品 21.【解】(1)：(1+2i)z=4+3i, 13.3【解析】因为+21-b-i,所以a+2i=i+1,所以a -+器8碧-0.2i=2i 5 1,b=2, (2)由(1)知x=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+ 所以a+b=3. (a十1)i]2=4-(a+1)2+4(a十1)i, 14.1√2【解析】因为(1十i)z=2, ,复数(x十ai)在复平面内对应的点在第一象限， 所以=品=1-。 /4-(a+102>0, 解得-1<a<1, 4(a+1)>0, 所以其实部为1，|之=√2. 即实数a的取值范围为(-1,1). 15.25【解析】由名=1-i,a=3-5i, 22.【解】(1)设x=bi(b∈R且b≠0)，则z=一bi, 知Z(1,-1),Z2(3,-5), 由两点间的距离公式，得 因为x一2=2√3，则12bi=2V3,即|b=√3， d=√(3-1)2+(-5+1)2=2√5. 所以b=土3，所以x=士3i. (2)设x=a十bi(a,b∈R),则z=a一bi, 16-2【折】因为a=会-得得+器=”2+ 13 因为x-=2√3，则12bi=2√3，即b=√3， 6+36bi,a∈R,所以5+3b=0>6=一2. 因为x-2=a十bi-(a-bi)2=a-a2+形+(b+2ab)i 13 13 又之一之为实数， 17.士1【解析】之=a一i,因为复数之与它的共轭复数之所对 所以b+2ab=0. 应的向量互相垂直，所以a2=1,所以a=士1. 18.号厄【解析1·a=(cos0-D(sin0叶) 因为161=3，所以a=一2， =(cos 0sin 0+1)+i(cos 0-sin ) 所以√(-)+（生2= 2 第九章 立体几何初步 考点1空间几何体的结构特征、直观图 2.(1)45(或135)(3)-半 夯实基础 能力提升 1.(1)平行且相等平行(2)公共顶点(3)平行于底面 针对训练1 相似(4)矩形(5)任一直角边(6)直角腰上、下底 1.C【解析】如图所示，可排除A,B选项.只有截面与圆柱 的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭 边中点的连线平行于圆锥底面(7)直径 36 圆或椭圆的一部分。 由斜二测画法可，AB=AB=a,0C=号0C-=停。 a,在 图2中作CD1g于D,则CD=号oC-号。 =8a所以 SAABC= A.CD号Xa×。-得2，放选n 1 2.②③④【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个 【解析】设原矩形的长为a,宽为b,则其直观图是长 4 侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过 相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正 为a,高为乡s血45-是6的平行四边形，所以毫题= 4 S矩形 确，如图，正方体ABCD-A1BCD,中的三棱锥C ABC,四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念 b 4 √2 可知 ab 4 考点2 空间几何体的表面积和体积 夯实基础 1.侧面积底面面积 2.2xrl2πr(r+0πrlπr(r+0 3.V=abc V=a3 V=nr2h V=Sh 针对训练2 1.B【解析】在直观图中，B到x轴的距离与A'到x轴的距 4V=号s别 离相等，故0A'1cos45=号×cs45-号 5.(S+/55+5)h 2.C【解析】由于直观图是正三角形，其内角均为60°，所以 6.=R2- △ABC中必有一个内角是钝角，即△ABC为钝角三角形. 7V=专R (2)S=4元R2 3.B【解析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则， 提升能力 可以得出平面图形的面积S与它的直观图的面积S'之间 针对训练1 的关系是S-s 1.A【解析】设圆柱的底面半径为r,则S=π2，于是r= 因为直观图的面积为a2, √，底面周长为2x√ ,又因为侧面展开图为正方形， 所以原平面图形的面积S= -2√2a2. 所以母线长=2x√ ,故圆柱侧面积S=2πrl=2x· 学业达标 √2√-4.放选A 1.B【解析】在长方体ABCD-A1B,CD,中，BD=AB十 2.D【解析】五面体FE-ABCD中，四边形ABCD是矩形， AD+AA?,则2=12+12+AA?,解得AA1=√2.故选B. AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB 2.C【解析】由几何体的结构特征，知剩下的几何体为五 FC=3, 棱柱. 所以五面体FE一ABCD的表面积为S=S矩形ABD十 3.A【解析】由题意，原图形为一直角梯形， 所以S=合×1+2+1)×2=2+厄.故选A 2S带e阳+2S6r=8X4+2×合×(4+8)XV3-2 4.D【解析】如图(1)、图(2)所示的实际图形和直观图. +2×号×4×V3-g-32+16,5.故选D 3.C【解析】圆台的轴截面如图所示， 设上底面半径为，下底面半径为 R,则它的母线长为1= A'O D'RY √/h+(R-r)2=√/(4r)十(3r)2= 图(1) 图(2) 5r=10,所以r=2,R=8. 3> 故Sm=π(R+r)l=x(8+2)X10=100元， 考点3空间点、线、面的位置关系 S表=S侧+π产2+πR=100π十4π十64π=168元.故选C. 夯实基础 针对训练2 1.两点不在同一条直线上一条同一条直线 2.相等或互补 1.B【解析】设球的半径为R,则宁 2 πRX2R31 3.(1)锐角（或直角） 2(o,] 2B【解析】Vr四马=专S两马·PB=号×× 1 4.(2)相交 平行 1=9 5.异面 .相交平行 学业达标 提升能力 1.D【解析】依题意，得(2R)2=3a2=12,则球的表面积为 针对训练1 S=4元R2=12元. 1.D【解析】：直线a∥平面，直线b在平面a内， 2.B【解析】设球的半径为R,则S=4πR2=16π，解得R= ∴.a∥b或a与b异面，故选D. 3R=32 2,则球的体积V= π 2.C【解析】由平行公理得，和直线l都平行的直线a,b的 位置关系是平行.故选C 3.B【解析】因为圆锥的轴截面是底边长为6，顶角为的 3.D【解析】如图(1)可否定A;如图(2)可否定B; 等腰三角形， c 所以圆锥底面圆的半径为3，母线长为23， 所以圆锥的侧面积为S侧=πX3×2√3=6√3π， 即该屋顶的面积约为6√3π 故选B. 4.B【解析】，今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的 斜边长为4，“该堑堵的外接球半径R=②于=5， a 2 图(1) 图(2) ∴.该堑堵的外接球的表面积S=4πR=4π×5=20元. C.正三棱锥侧棱与底面所成角相等，却不平行； 5.B【解析】，在四棱柱ABCD-A1BCD1中，底面ABCD D.符合平行的传递性，显然D正确.故选D. 是正方形，A1A⊥底面ABCD,A1A=2,AB=1, 4.B【解析】依题意，直线l∩a=A(如 .该四棱柱的体积为V=S正方形CD XAA1=12X2=2. 图).α内的直线若经过点A,则与直线l 故选B. 相交；若不经过点A,则与直线是异面 6.20十12√5【解析】如图所示，AC,BD分别是正四棱台不 直线.故选B. 相邻两个侧面的高，AE⊥CD, 针对训练2 A R 1.C【解析】因为AD∥BC,所以∠ADB就是BD与B1C 所成的角，而△A,DB是等边三角形，故∠ADB=60°. 2.A【解析】∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定 理可知∠PQR=90°. 3.D【解析】注意异面直线AD与BC所成的角可能等于 则AE即为正四棱台的高，AE=2, ∠FEG,也可能等于∠FEG的补角， 由AB=2,CD=4,得AC=BD√2+(422)=5， 4.B【解析】连接A1B,BC,A1C(图略)，则A1B=BC= AC,因为EF∥A1B,GH∥BC,所以AB与BC所成 所以此方亭的表面积为4华+2+4X2+4)×5=20十 2 的角即为异面直线EF与GH所成的角.又△A1BC是等 12√5.故答案为20+12√5. 边三角形，所以AB与BC1所成的角为60°，所以异面直 线EF与GH所成的角等于60°.故选B. 38 学业达标 6.①③【解析】直线l⊥平面a,直线mC平面β， 1.D【解析】如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情 当a∥3有l⊥m,故①正确； 况，故选D. 当α⊥3有l∥m或1与m异面或相交，故②不正确； 当l∥m有&⊥A,故③正确； 当lLm有a∥β或a与B相交，故④不正确. 综上可知，①③正确. 7.【证明】连接BD,,E,H分别 图(1) 图(2) 图(3) 是边AB,AD的中点， 2.D【解析】由该正方体的平面展开图画出它的直观图 .EH∥BD, 如下. 既瓷导 .FG/∥BD, 因此EH∥FG且EH≠FG, 故四边形EFGH是梯形， ∴.EF,HG相交，设EF∩HG=K, 可以看出AB与CD异面； K∈EF,EFC平面ABC,∴.K∈平面ABC. 如图，设该正方体一顶点为E,连接CE,DE,则AB∥CE; 同理，K∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴∠DCE为异面直线AB,CD的夹角，并且该角为60°， .K∈AC, .AB,CD异面但不垂直.故选D. 故直线FE,GH,AC交于一点， 3.C【解析】由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为 考点4直线、平面平行的判定与性质 相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c,则a∥b,与已知 夯实基础 a,b为异面直线相矛盾. 1.平面外平行a中a 4.C【解析】①在正方体ABCD-A1B1CD中，由图可知 2.两条相交a∩b=Pb∥a DA1与BC异面，故①不正确. 3.过这条直线平行a∥a ②因为DD∥CC,BC不垂直CC,所以DD,与BC不 4.平行a∥B 垂直.故②不正确。 提升能力 ③在正方体ABCD-A1BCD中，AB⊥平面BCCB, 针对训练1 又因为BCC平面BCCB,所以AB与BC垂直.故③ 1.①③【解析】①中可过点P作PC∥MN交正方体的棱于 正确.故选C 点C,连接NC,图略，则NC∥AB,则AB∥平面MNP; 5.D【解析】连接BC,易证BC∥AD1, ③中可证AB∥MP,进而可证AB∥平面MNP. D C 2.【证明】在四棱锥P-ABCD中，取PD的中点N,连接 AN,MN,如图， B D! A B 则∠A1BC即为异面直线A1B与AD1所成的角. 连接A1C,由AB=1,AA1=2, 因M为PC的中点，则MN∥CD,MN=2CD, 则A1C=√2，AB=BC=√5， 又CD∥AB且CD=2AB,则有MN∥AB,MN=AB, 在△ABC中，由余弦定理，得 即四边形ABMN是平行四边形，有BM∥AN,而ANC平 cos∠ABC=5+5-2=4 面PAD,BM在平面PAD, 2×5X√55： 所以BM∥平面PAD. 39 针对训练2 1.①②③④【解析】将平面图形折 起，折成一个正方体，如图，利用线 面、面面平行的判定定理可以证明 ①②③④都正确， 2.【解】(1)如图所示，连接BD,则BD∥BD' :P,Q分别为BC,CD的中点， BCCB,是矩形， ∴PQ∥BD,.B'D'∥PQ. E是BC1的中点，又D是AB的中点，在△ABC中， B'D'在平面PQR,PQC平面PQR, DE∥AC, ∴.B'D'∥平面PQR. 又AC士平面CDB,DEC平面CDB, (2)如图所示，连接BC, AC∥平面CDB, P,R分别为BC,CC的中点， 考点5直线、平面垂直的判定与性质 .PR∥BC. 夯实基础 又易知AD∥BC D 1.任意一条垂面 .AD∥PR. A 2.(1)相交a∩b=PL⊥b(2)平行a⊥aa∥b .'AD寸平面PQR,PRC平面PQR, 3.锐角0的角 .AD∥平面PQR. 4.(1)垂线AB⊥Ba⊥B(2)垂直于交线aCaa⊥l 由(1)知BD'∥平面PQR, 5.(1)两个半平面(2)垂直于棱(3)直二面角 又B'D'nAD=D, 提升能力 ∴.平面ABD'∥平面PQR. 针对训练1 学业达标 1.A【解析】①正确；②③中两直线平行、相交或异面；④中 LA【解折】由线面垂直的性质定理可知：若 mCa=l 两平面平行或相交.故②③④错误 %:反之，者L ”1⊥α.由充分必要条件的概念知，命题 2.B【解析】如图，连接AD交BE于点O,连接OF, mCa 中前者是后者成立的充分条件而非必要条件，故选A 3.(1)【证明】因为PA垂直于底面圆，BCC底面圆， 所以PA⊥BC 因为AB是底面圆的直径， 所以△ABC是直角三角形， 所以AC⊥BC. 因为ACC平面PAC,PAC平面PAC,AC∩PA=A, 因为AC∥平面EFB,平面ACD∩平面EFB=OF, 所以BC⊥平面PAC. 所以AC/OF,所u8R- (2解】由(I)知BC⊥平面PAC,所以Vu=号X 又因为BD∥AE,所以△EOA∽△BOD, S△ACM X BC, 所以9D-D5-2,故D=2,故选B OA EA FC 因为M是PC的中点，所以SAN=2Sac=号X2=1, 3.√2【解析】根据题意，因为EF∥平面ABC,所以EF∥ 因为BC-2,所以V-a=号X1X2=号 AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点 针对训练2 因为在Rt△DEF中，DE-DF=1,故EF=√2. 1.A【解析】如图所示，连接AC,因 4.【证明】(1).C1C⊥底面ABC,.CC⊥AC, 为∠BAC=90°，所以AC⊥AB.又 ∴.AC=3,BC=4,AB=5, BC⊥AC,所以AC⊥平面ABC. ∴.AC2+BC2=AB2, 因为CH⊥平面ABC,所以AC⊥ ∴.ACI BC,∴.ACL平面BCC1B1,∴.ACI BC CH.所以AC⊥平面CBH.又平 (2)设BC∩B1C=E,如图，连接DE, 面ABC∩平面CBH=BC,所以平面ABC与平面 40 CBH是同一个平面，所以H必在直线AB上 由已知可得，CD⊥平面PAB,所以CD⊥PA. 2.1【解析】①错，可能有∥B:②错，可能有1∥：③正确； 所以PA⊥平面EDC.所以CE⊥PA, ④错，可能为L∥R,1Cβ或相交. 所以∠CED为二面角B-AP-C的平面角. 3.【证明】如图，作SO BC,垂足 由(1)知，DE=√3. 为O,连接AO CD_23=2, 由侧面SBC⊥底面ABCD,得 在R△CDE中，tan∠CED=D-g SOL底面ABCD. 故二面角B-AP-C的正切值为2. 由SA=SB,所以AO=BO 学业达标 又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO 1.D【解析】若a∥B,mCa,nCB,则m与n可能平行或异 因为SOC平面SAO,AOC平面SAO,SO∩AO=O, 面，故A错误；若LB,a⊥B,则l∥a或lCa,故B错误；若 所以BC⊥平面SAO. mLa,mLn,则n∥a或nCa,故C错误；若a∥B,lLa根据 又SAC平面SAO,所以SA⊥BC 线面垂直的判定方法，易得⊥B,故D正确.故选D. 针对训练3 D 2.B【解析】连接AC,如图. 1.【解】(1)，正方体的棱长为6，DM 4 B =2MD, D! ∴.DM=2,MD=4, 连接DB, .'MD⊥平面ABCD, ∠BAC=90°，∴.ACLAB, ∴∠MBD就是直线BM与平面ABCD所成的角， ,BC⊥AC,BC∩AB=B, 在Rt△MBD中，MD=4,DB=6√2，∠MDB=90°， ∴.AC⊥平面ABC. tan∠MBD=MD-4=2 又AC在平面ABC内， DB6√23 ,'.根据面面垂直的判定定理，知平面ABCL平面ABC, (2)MD⊥平面A'B'C'D', 则根据面面垂直的性质定理，知在平面ABC内一点C向 三棱锥M一A'B'C'的体积 平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上.故选B. Va-Ave-XMNXSAe 3.90°【解析】.PAL平面ABC,.PA⊥AB,PA⊥AC, .∠BAC是二面角B-PA-C的平面角， =3×2X号×6x6=12 又∠BAC=90°， 2.【解】(1)如图，连接OC.由已知易知 则二面角B-PA-C的大小等于90° ∠OCP为直线PC与平面ABC所成 4.(1)【证明】.PA⊥PB,PB⊥PC,PAC平面PAC,PCC平 的角。 面PAC,PA∩PC-P,∴.PB⊥平面PAC. 设AB的中点为D,连接PD,CD. 又ACC平面PAC,.PB⊥AC 因为AB=BC=CA,所以CD LAB. (2)【解】PA∥平面BEF,PAC平面PAC, 因为∠APB=90°，∠PAB=60°， 平面BEF∩平面PAC=EF,∴.PA∥EF 所以△PAD为等边三角形. 又E为AC的中点，.F为PC的中点. 不妨设PA=2,则OD=1,OP=√3，AB=4. 六Sa多mE=S6e一Sa度=子Se 所以CD=2√3，OC=√OD+CD=√I+12=√13. PCLPA,PA-PC-2..Samc-X2X2-2. 所以PC=√OP2+OC=4. 3 所以在RA0CP中，sm∠OcP-咒-g S阳边形APFE=2 由(1)得PBL平面PAC, 故直线PC与平面ABC所成的角的正弦值为 .PB=2是四棱锥B-APFE的高. (2)如图，过点D作DE⊥AP于E,连接CE. Va=Sm·PB=×X2=1. 1 41 5.【证明】(1)连接A1B,AC, 平面ABCD, 在直三棱柱ABC-A1BC中，侧面ABBA是矩形， .PA⊥平面ABCD, 因为点E是AB1的中点，所以点E是AB的中点. .CDC平面ABCD, 又因为点D是BC的中点，所以DE∥AC .PA⊥CD 因为DE寸平面ACCA1,ACC平面ACCA1, (2)I解SaA=2AB·BC·sin∠ABC-, 所以DE∥平面ACCA. 由(1)可得PA⊥平面ABCD, Ve=}×5aXPA=号Xx2-2g (3)【证明】.PA⊥CD,AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,.CD⊥平面PAC, AEC平面PAC, (2)连接BD,在直三棱柱ABC-A1BC中， ∴.AE⊥CD, 因为BB⊥平面ABC,ADC平面ABC,所以BB,⊥AD. 又PA=AC,E为PC的中点， 又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点， ..AE PC, 所以BC⊥AD,又BC∩BB,=B, CD∩PC=C,CD,PCC平面PCD, ∴.AE⊥平面PCD. 所以AD⊥平面B1BCC,又CDC平面B1BCC, 所以AD⊥CD. 章末综合测试 由BC=2,得BD=1,又BB=CC=1, 1.A【解析】三棱锥的侧面和底面均可以为三角形. 所以DB=CD=√2. 2.A【解析】：n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱， 所以DB+CDP=B,C,所以CD⊥DB, ∴.四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10 DB∩AD=D,所以CD⊥平面ADB, 条棱；五棱柱共有15条棱. 即CD⊥平面ADE. 3.C【解析】因为a,β是两个不同的平面，所以“a∥”，可得 6.【证明】(1)取NC的中点G,连接 到α，β没有公共点，反之也成立，所以是充要条件，故选C. FG,MG, 4.C【解析】对于A,这两条直线可以相交或为异面直线， 因为ME∥ND且ME=号ND, .A错误；对于B,这两个平面可以相交，∴.B错误：对于 又因为F,G分别为DC,NC的中点， D,这两个平面还可能相交，∴.D错误；而由线面平行的性 质定理可证C正确.故选C FG/ND且PG=合ND, 5.B【解析】由于m⊥B,a⊥B,所以mCa或m∥a,HnCa, 所以FG与ME平行且相等， n⊥或n,3斜交或n∥β，①不正确；HnCβ，m⊥n,②正确： 所以四边形MEFG是平行四边形， HnCa,m∥n或m,n相交或互为异面直线，③不正确； 所以EF∥MG, ④正确.故选B. 又MGC平面MNCB,EF￠平面MNCB, 6.B【解析】设圆锥中水的底面半径为rcm, 所以EF∥平面MNCB. 由题意知号×3=x×2X6, (2)连接BD,MC,因为四边形MADN是矩形， 所以ND⊥AD,又因为平面ABCD⊥平面MADN, 得r=23, 所以DN⊥平面ABCD, 水面的高度是3X23=6(cm). 所以ND⊥AC. 7.D【解析】不妨令1,2，分别 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD, 为如图所示正方体的棱所在的 A 13 B 因为BD∩ND=D,所以AC⊥平面BDN, 直线。 又因为ACC平面MAC, 若l4为直线BC,则有4∥； D 所以平面MAC⊥平面BDN. 若l为直线BB,则h⊥4；若 7.(1)【证明】PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,AB,ADC 4为直线BC,则4与4异面， 2 冬 故与4的位置关系不确定.故选D. 14.3πa2【解析】根据正方体的体积为a,可得正方体的边 8.B【解析】由直线m,n与平面a,B,知： 长为a,正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直 在A中，若n∥a,n∥B,则a与B相交或平行，故A错误； 在B中，若mLa,m∥B,则由面面垂直的判定定理得a⊥B, 径，即5a=2R,即R-写a,球的表面积为4K=3d. 故B正确； 故选C 在C中，若m∥a,n∥a,则m与n相交、平行或异面，故C 15√3【解析】球的直径即球的大圆的直径，就是正方体的 错误； 体对角线： 在D中，若m⊥B,a⊥B,则m∥a或mCa,故D错误， 正方体的体对角线长=√22+22+22=2√3， 故选B. .2R=2√3， 9.B【解析】由m∥a,m∥B,得a∥β或a与B相交，故A错 .球的半径为√3.故答案为√3 误；由a∥B,n⊥B,得nLa,由mCa,则m⊥n,故B正确；若 mLa,m⊥n,则n∥a或nCa,故C错误；若a⊥B,mCa 16.6 【解析】由题意得BC∥平面ADDA, nLB,则m∥n或m与n相交或m与n异面，故D错误 ∴.E到平面ADD1A,的距离d为定值1， ∴真命题是B. 10.B【解析】依题意，曲面所围成的几何体为两圆锥的组合 体，所求体积V=2×号S=2×号x×(W2)2×2 1号 【解析】如图，取AB的中点 F,连接EF,AF,可得EF∥BC,则 42r.故选B. 3 ∠AEF为异面直线AE与BC所成 11.C【解析】如图，取BC的中点E,连接BE,DE, 的角.设正方体的棱长为2，则在 C Rt△AFE中，EF=2,AF=√5，AE=3,所以cos∠AEF= EF 2 AE3· 18.45°【解析】如图所示，取BD的中点O,连接AO,CO 则AC∥AC∥DE, 则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角. 由条件可知BD=DE=EB=√2，所以∠BDE=60° 12.C【解析】如图，由题设知，A1B1⊥平面BCCB1, D 因为AB=AD,所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD 因此，∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于∠BAD=90=∠BCD,所以A0-=OC-=号BD, 从而AB⊥BC, 又AOLOC,所以∠ACO=45°. 又BC⊥BC,且A1B∩BC=B, 19.【证明】(1)，E,F分别是AB,BD的中点， A1B,BCC平面ABCD, .EF是△ABD的中位线，.EF∥AD 所以BC⊥平面A1BCD, EF庄平面ACD,ADC平面ACD, 又A1EC平面A1B1CD, .直线EF∥平面ACD. 所以A,E⊥BC. (2)AD⊥BD,EF∥AD,.EF⊥BD 13.4【解析】在正方体ABCD-A1B1CD的八个顶点中任 CB=CD,F是BD的中点，∴.CF⊥BD. 取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线 又.'EF∩CF=F,EF,CFC平面EFC, 有AD,AC,D1B1,B1C,共4条. .BD⊥平面EFC. 43 BDC平面BCD,.平面EFC⊥平面BCD. (2)【解】因为BCL平面PAC,则PB与平面PAC的夹角 20.(1)【证明】，DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC, 为∠BPC, ∴.DC∥EA. 在Rt△PAC中，PA=2√2，AC=2,则PC= 又EAC平面ABE,DC中平面ABE, √PA2+AC-√(2√2)2+2=√12=23， .DC∥平面ABE 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,AC=2,则BC= (2)【解】，EA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC, √AB-AC巴=W42-22=√/12=2√3， ∴EA⊥AB,EA⊥AC 所以BC=PC,因此，△PBC为等腰直角三角形，则 又AC⊥AB,EAC平面ABE,ABC平面ABE,EA∩AB ∠BPC-45°，所以PB与平面PAC的夹角为45°. =A, 22.(1)【证明】根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和 .AC⊥平面ABE .AFC平面ABE,AC过平面ABE, △CBE为等腰直角三角形，∴∠DEA=∠CEB=45°， .'.ACLAF. ∴.∠AEB=90°，即BE⊥AE. ,平面DAE⊥平面ABCE,且平面DAE∩平面 又AC=2, ABCE=AE,BEC平面ABCE, Se=2AC·AF=含X2:AF=AF, ∴.BE⊥平面DAE, 即当AF最小时，S△Acr最小. ,ADC平面DAE, ,F为线段BE上一动点， ∴.AD'I BE. 当AF⊥BE时，AF最小. (2)【解】取AE的中点F,连接DF,则DF⊥AE,且 .'AE=AB=2, △EAB为等腰直角三角形，且有∠ABF=45° 0r-号 ,平面DAE⊥平面ABCE ∴.AF=ABsin45°=√2 且平面D'AE∩平面ABCE=AE,DFC平面D'AE, 此时S△Acr=√2，故SAACF的最小值为V2. DF⊥平面ABCE, 21.(1)【证明】因为AB是圆的直径，C是圆上一点，所以AC 1 ⊥BC,因为PA⊥平面ABC,且BCC平面ABC,所以PA V-AE=-3Sa边形cE·DF ⊥BC,由BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,ACC平面 PAC,PAC平面PAC,所以BC⊥平面PAC =号××1+2)x1×号-9 41 第十章 统计与概率 考点1随机抽样 得品品所以x=20 夯实基础 学业达标 1.(1)不放回抽取(2)相等(3)随机数法 1.D【解析】选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这 3.(1)一定的比例(2)差异明显 与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一 提升能力 次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误； 针对训练1 选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的 1.简单随机抽样 等可能性，故错误。 2。【解析可能性为器=0 2.D 3.0.6【解析】10名学员投中的平均次数为 3A【解折描样比为及一吕-品：则应抽取的男生人数为 4×5+3×6+2×7+1×8=6, 10 20×品-6（人），应轴取的女生人数为(60-20)×品 所以投中的比例约为品-0.6。 9(人)，故选A 针对训练2 4.C【解析】设参加体检的人数是n, 1.A【解析】从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽 则号-号=72，解得n=120, 取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样. 所以参加体检的人数是120人.故选C. 2.C【解析】设高二年级学生中应抽取的人数为x,由题意 44