第4章 幂函数、指数函数和对数函数-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

第四章幂函数、指数函数与对数函数 赢在考情精析 考点 课标解读 1.幂函数 (1)了解幂函数的概念. 幂函数 (2)结合函数)=工，=2，y=2,=,y=的图象，了解它们的变化 情况. 2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景。 指数与指数 (2)理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算， 函数 (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通 过的特殊点. 3.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成 自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 对数与对数 (2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通 函数 过的特殊点。 (3)了解指数函数y=ad与对数函数y=logx互为反函数(a>0,且a≠1). 赢在考点%训练 考点 1 幂函数 三夯三实三基三础三 ①图象都通过点 ②在第一象限内，函数值随x的增大而 1.幂函数的定义 增大 形如 的函数称为幂函数，其中x (2)当α<0时，幂函数y=x有下列 是自变量，a为 性质： 2.幂函数的性质 ①图象都通过点 (1)当a>0时，幂函数y=x有下列 ②在第一象限内，函数值随x的增大而 性质： >>>37<< 减小. 值域为(-∞，0)U(0,十∞). 3.五种常见幂函数的性质 因为函数的定义域关于坐标原点对称，且 幂函数y=x y=x2 y=x y=xc克 y=x-1 f(一x)=(-x)-3=-x3=-f(x),所以 定义域 R R R {xx∈R,且x≠0 函数f(x)=x3是奇函数，其图象如图(3)， 由图可知，函数在（一∞，0）和(0，十∞)上 值域 中 个 [0,+∞) 都是减函数， 奇偶性奇 偶 非奇非偶 =x-3 当x∈[0， 当 十o)时，增； 单调性增 物 步 时，减；当x∈ 当x∈（一∞， (一∞，0)时，减 0]时，减 图(3) 图(4) 定点 (4)因为f(x)=x号= 1 三提三升三能三力台 所以定义域为（一∞，0）U(0,+∞)，值域为 考向幂函数的图象与性质 (0,十o). 心典型例题1· 1 1 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性，并 因为f-)=- =f(x), 作出函数图象，根据图象说明函数的单 所以f(x)=x号是偶函数，图象关于y轴 调性. 对称，如图(4)，由图可知，函数在（一∞，0） (1)f(x)=x;(2)f(x)=x; 上是增函数，在(0，十∞)上是减函数 (3)f(x)=x3,(4)f(x)=x, 【名师点拨】画幂函数图象时，可先根据定义 【解(I)函数的定义域为R,值域为[0，十∞). 域及单调性画出其在第一象限内的图象，再 因为函数的定义域关于坐标原点对称，且 根据奇偶性画出在其他象限内的图象.由图 f(一x)=(一x)=x4=f(x),所以函数 象可确定幂函数的单调性与值域。 f(x)=x是偶函数，其图象如图(1).由图 色针对训练 可知，函数在（一∞，0]上是减函数，在[0， 十∞)上是增函数. 1.函数y=x2的图象大致是 )=x )=x 图(1) 图(2) (2)函数的定义域为[0，十∞)，值域为[0， 十∞). 因为函数的定义域关于坐标原点不对称， 所以函数f(x)=x既不是奇函数也不是偶 函数，其图象如图(2).由图可知，函数在 0 Ox [0,十∞)上是增函数 (3)函数的定义域为（一∞，0）U(0,+∞)，2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，则 )>>38<<< f(4)= ) B.32 5.已知函数f(x)=x,若a=-f(og1), A.16 C.64 D.128 b=f(log39.1),c=f(2.9),则a,b,c的大 3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0， 小关系为 十∞)上单调递减的函数是 ( ) A.a<b<c B.b<a<c A.y=x-2 B.y=x1 C.c<b<a D.c<a<b C.y=x2 D.y=x3 6.已知幂函数y=x(α为常数)的图象经过点 2-x-1,x≤0， (2,4),则a= 4.已知函数f(x)= √元，x>0, 则7.已知实数a,b满足等式a立=，下列五个 关系式：①0<b<a<1;②-1<a<b<0; f(f(-2))= ③1<a<b;④-1<b<a<0;⑤a=b.其中 二学三业三达三三标二 可能成立的式子有 (填上所有可 1.函数f(x)=x3,x∈R,其奇偶性为（) 能成立的式子的序号) A.是奇函数，但不是偶函数 8.已知幂函数f(x)=x+m(m∈N*). B.是偶函数，但不是奇函数 (1)求函数f(x)的单调区间； C.既是奇函数，也是偶函数 (2)若该函数图象经过点(2，√2)，试确定m D.既不是奇函数，也不是偶函数 的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1) 2.(2025·福建检测)函数y=x在区间[2， 的实数a的取值范围. 2上的最大值是 A司 B.-1 C.4 D.-4 3设a∈{-1,1,23，则使函数y=x的定 义域为R且为奇函数的所有α的值为 ( A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 4.已知幂函数f(x)=x2+m是定义在区间 [一1，m]上的奇函数，则f(m十1)=( A.8 B.4 C.2 D.1 考点2 指数与指数函数 三夯三实三基三础二 2.根式的相关结论 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一 1.根式的概念 个 负数的n次方根是一个 如果 ,那么x叫做a的n次方 ,可表示为a. 根，其中n>1且n∈N*. (2)当n为偶数时，正数的n次方根有 >>>39<< ,它们互为 ,可表示为土a 6.指数函数y=a,y= (a>0). ,y=c,y=在同一平 (3)零的n次方根是零，负数没有偶次 面直角坐标系中的图象如 方根 图所示，则0<c<d< ,n为奇数， 1<a<b. (④a (a≥0) 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 lal= (a0) n为偶数； 由大变小 (Wa)"= (注意a必须使a有 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 意义) 由大变小。 3.分数指数幂的表示 (无论在y轴的左侧还是右侧，底数都按 (1)正数的正分数指数幂： 逆时针方向变大) a”= (a>0,m,n∈N*,n>1). 三提三升三能三力二 (2)正数的负分数指数幂： 考向1指数式的运算 a贤= (a>0,m,n∈ 色典型例题1色 N*,n>1). (3)0的正分数指数幂是 ,0的 化简：a导b)寸·.b 9a·b 负分数指数幂无意义， 【解)a·b)·a·b症_ 4.有理数指数幂的运算性质 9a·b (1)aa'= (a>0,r,s∈Q) (2)(a)= (a>0,r,s∈Q) a·a.位=a+号-t.b片音=a. a·b (3)(ab)'= (a>0,b>0,r∈Q). 【名师点拨】利用分数指数幂进行根式运算， 5.指数函数的图象与性质 其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据 指数 分数指数幂的运算性质进行计算. a>1 0a<1 函数 色针对训练1色 1.将根式a3(a≠0)化为分数指数幂是 ly=a 图象 0,1 --y=1 A.a B.a 定义域 C.a D.-a 值域 过定点 2.化简：(a)(-3a)÷(行a）= 当x>0时， 当x>0时， 当x<0时， A.6a 性质 当x<0时， B.-a 在(-∞，十∞)上 在（一∞，十）上 C.-9a D.9a2 )>>40<<< 3.已知a=2寸，b= 求aba(a)2 1 【名师点拨】1.与指数函数有关的复合函数的 定义域、值域的求法 的值. (1)函数y=af)(a>0,且a≠1)的定义 域与y=f(x)的定义域相同. (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数 的性质可确定y=afo(a>0,且a≠1)的值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调区 间的求解步骤 考向2指数函数的性质及应用 (1)求复合函数的定义域. 色典型例题2◆ (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而 (1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.5.6,则a, 成的， b,c的大小关系是 (3)分层逐一求解函数的单调性. A.a<b<c (4)求出复合函数的单调区间（注意“同 B.a<c<b 增异减”) C.b<a<c 3.比较大小问题.常利用指数函数的单 D.b<c<a 调性、图象及中间值(0或1)法，具体如下： (2)若函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在 (1)化同底，化同底后就可以应用指数函 [一1,2]上的最大值为4，最小值为m,且 数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽 可能化同底. 函数g(x)=(1一4m)·√x在[0，十∞) (2)化同指，当指数相同，底数不同时，构 上是增函数，则a= 造两个指数函数，利用图象比较大小（也可利 【解析】(1)，y=0.62为减函数， 用幂函数的单调性比较大小). .0.6.6>0.61.5,且0.60.6<1.而c= (3)取中间值法，不同底、不同指数比较大 1.50.6>1, 小时，先与中间值0或1比较大小，再间接地得 .1.50.6>0.60.6>0.61.5,即c>a>b. 出大小关系 (2)当a>1时，有a2=4,a1=m, 之针对训练24 a=2,m=, 1.(2025·福建期末)函数f(x)=√4一2r的定 义域为 ( ) 此时函数g(x)=一√元在[0，十∞)上为减 A.[0,2] B.2,4] 函数，不符合题意； C.(-∞，2] D.[2,十∞) 当0<a<1时，有a1=4,a2=m, 2.已知a=0.80.8,b=0.8.9,c=1.20.8,则a, 即a=寻m= 1 b,c三者的大小关系是 () A.b<a<c B.b<c<a 此时函教g(）=是丘在[0，十∞)上为增 C.a<b<c D.c<b<a 3.(福建学业水平考试)函数f(x)=a-x+5 函数，符合题意.故a= (a>0,且a≠1)的图象必过定点 4.若不等式a2x>a-1的解集是{xx>-1}, 【答案】(1)C(2) 则a的取值范围是 )>>40<< -二学三业三达三标工 5.若点(2,1)在y=a(a>0,且a≠1)关于 y=x对称的图象上，则a= 1.(福建学业水平测试)已知a>0,则a= 6.若函数y=3x一m的图象不经过第一象 a 限，则实数m的取值范围是 C.a D.a 7.函数y=(合)】 的值域为 A.a B.a 2.如果函数f(x)=a(a>1)的图象经过点 8.已知f(x)=a&2c-a)(a>0,且a≠ (3,8),那么实数a的值为 ( A.2 B.3 C.4 D.24 1). 3.已知a=0.9.2,b=1.10.9,c=1,则a,b,c的 (1)判断f(x)的奇偶性； 大小关系是 ( ) (2)讨论f(x)的单调性； A.a<c<b B.c<a<b (3)当x∈[-1,1时，f(x)>b恒成立，求b C.b<c<a D.b<a<c 的取值范围， 4.函数y=a一a(a>0,且a≠1)的图象可能 是 B D 考点3 对数与对数函数 -二夯三三实三基三础三 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0,且a≠1，N>0) 1.对数的概念 ①aN= ;②logaN= (1)对数的定义 (2)对数的重要公式 如果 ,那么数x叫 ①换底公式： (a,b均大于零 做以a为底N的对数，记作 ,其中 且不等于1，N>0). 叫做对数的底数， 叫做真数. ②logb= 1 (2)几种常见对数 1oga推广：logb·loge· logd= (a,b,c均大于零且不等于 对数形式 特点 记法 1,d大于零) 一般对数 底数为a(a>0,且a≠1) (3)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 常用对数 底数为10 ①log(MN)= M 自然对数 底数为e ②log.N ③log M"= (n∈R): )>>42<<< 3.对数函数的图象与性质 色针对训练1色 对数 1.已知x,y为正实数，则 a>1 0<a<1 函数 A.2gz+lgy=2lgx+2gy x=1 y=logax B.21gx+v)=2lgx·21gy 图 C.2gx·gy=2gx十2lgy 象 N(1,0) 1(1,0) x D.2g)=2lgx。21gy y=logax 定义域： 2.若1og1og3(log2x)]=0,则x的值为() 值域：R A.3 B.2√3 性 过点 ,即x=1时，y=0 C.2√2 D.3√2 质 当x>1时，y>0; 当x>1时，y0; 当0x<1时，y0 当0<x1时，y>0 3已知3==m,且2+名=2，则m的值为 a 是(0，十∞)上的函数 是(0，十∞)上的函数 () 三提三升三能三三力三 A.15 B.√/15 考向1对数的运算 C.±√/15 D.225 4典型例题1心 (1)计算：g2 +2lg2- (2) 4.(2)+iog16= 考向2对数函数的图象和性质及应用 (2)计算：log22 ,21og23+g3 ·典型例题2心 (1)已知函数y=1og.(x+c) 【解桥】11g+2g2-(） (a,c为常数，其中a>0, a≠1)的图象如图，则下列 =lg5-lg2+2lg2-2 结论成立的是 ( =lg5+lg2-2 A.a>1,c>1 =1g(5×2)-2 B.a>1,0<c<1 =1-2=-1. C.0<a<1,c>1 (②)loe竖log2=7 D.0<a<1,0<c<1 20gg3+log3-208g322 0g3-33. (2已知a=21,6=log3c=lcg3则 1 【答案】1)-1(2)-233 ( 【名师点拨】对数运算的一般思路 A.a>bc B.a>c>b (1)将真数化为底数的指数幂的形式进 C.c-ab D.c>b>a 行化简. 【解析】(1)方法一：由对数函数的性质得 (2)将同底对数的和、差、倍合并. 0<a<1.因为函数y=loga(x十c)的图象 (3)利用换底公式将不同底的对数式转化 在c>0时是由函数y=logx的图象向左 成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 平移c个单位长度得到的，所以根据题中图 用及变形应用. 象可知0<c<1. (4)利用常用对数中的1g2十1g5=1. 方法二：根据函数在x=0,x=1处的函数 )>>43<< 值与0的大小关系确定c的取值范围， C3,C4中的a依次为a1,a2,a3,a4,则它们 即logc>0且l1og(1+c)<0,由于0< 的值分别为 ( ) a<1, 所以c<1且1+c>1,即0<c<1. (2)由a=2,知0<a<1, 而6=1og3<0,c=log3>1, ∴.c>a>b. A号日品 【答案】(1)D(2)C 【名师点拨】1.对数函数图象的特点 且2品日 (1)对数函数y=logx(a>0,且a≠1) 的图象过定点(1,0)，且过点(a,1), c音w (合一1，函数图象只在第一、四象限。 E,0 D. .31 (2)在直线x=1的右侧，当a>1时，底 3.(福建学业水平考试)已知a=log2,b- 数越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，底 数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低” 3，0= 2 ,则a,b,c的大小关系是 (3)常见的结论 ①函数y=log|x|的图象关于y轴 A.a<c<b 对称. B.b<a<c ②函数y=a与y=logax互为反函数， C.c<a<b 它们的图象关于直线y=x对称. D.a<b<c 2.对数值的大小比较的主要方法 (1)化同底数后利用函数的单调性比较. 三学三业三达三标三 (2)化同真数后利用图象比较. 1.log318-log32= ( ) (3)借助中间量(0,1等)进行估值比较. A.4 B.2l0g32 ·针对训练2 C.logs2 D.2 1.(2025·福建期中)使式子1og(2z-1)·(2 2.下列图象中，有可能表示对数函数的是 x)有意义的x的取值范围是 ( ( A.(2,十∞) B.(-o∞，2) C.(2) D.(2,1)U1,2) 2.图中的曲线是y=logx的图象，已知a的 D 值分别为，青员号相应曲线G,G, 3.设a=log23,b=log0.32,c=log32,则() )>>4<<< A.c<b<a 7.若函数f(x)=log(x+m)十1(a>0,且 B.b<a<c a≠1)恒过定点（2，n),则m十n的值 C.a<b<c 为 D.b<c<a 8.已知函数f(x)=logax(a>0,且a卡1)， 4.对任意的正实数x,y,下列等式不成立的是 f(3)=1. ( (1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域； Algy-lgx=lg义 (2)设函数g(x)=f(1+x)-f(1一x),试 判断g(x)的奇偶性，并说明理由； B.Ig(x+y)=lg x+lg y (3)若不等式f(t·4r)≥f(2x-t)对任意 C.lg x3=31g x x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围. Inx D.Ig x-in 10 5函数y=(。-1)的图象关于（） Ay轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 6.已知函数f(x)=4一log2x,x∈[2,8]，则 f(x)的值域是 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分）4.已知函数f(x)=log3x,则f(9)=（) 1.已知a<1,则/(a-1)2+= ( A.1 A.-1 B.1 B.-1 C.2a-1 D.1-2a C.2 2.设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则（） D.-2 A.b<a<c 5.(2025·福建学业水平合格性考试)已知函 数f(x)=e,则正确的是 () B.c<a<b C.c<b<a A.f(-1)=-f(1) D.a<c<b B.f(-1)=f(1) C.f(1)>f(0) 3.已知x2十x2=3,则x十x1的值为（) D.f(1)<f(0) A.√5 B.1 6已知点w在释函数)的图象上，则 C.±5 f(x)是 () D.+1 A.奇函数 )>>4⑤<< B.偶函数 A.4 C.定义域内的减函数 B.12 D.定义域内的增函数 C.36 7.下列等式恒成立的是 D.108 左u0 12.已知函数f(x)=log|x在(0，十∞)上单 调递增，则 ) B.(3x)2=3 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.logs (x2+1)+l0gs2=l0g3(x2+3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.logs=-x C.f(-2)<f(1)<f(3) 8.已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在(0， D.f(3)<f(1)<f(-2) 2)内的值域是(1，a),则函数y=f(x)的图 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 象大致是 13.若log2=m,log3=n,则a2mn= 14.已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则 f(a2)+f(b) 3e-1,x<3, 15.已知f(x)= 则 9.设a>0,且a≠1，则“函数f(x)=a在R上 10g3(x2-6),x≥3， 是增函数”是“函数g(x)=x在R上是增 f(f(3)的值为 函数”的 (a-2)x,x≥2， A.充分不必要条件 16.设函数f(x) -1,x<2 是R上的 B.必要不充分条件 C.充要条件 单调递减函数，则实数a的取值范围 D.既不充分也不必要条件 为 10.函数y=一lg|x|的图象大致是 17.函数f(x)=ln(4十3x一x2)的单调递减区 间是 18.(2025·福建月考)近年来，在国家一系列 政策举措的支持下，新能源车的发展迅 B 猛，同时给新型动力电池的发展带来了巨 大机遇.有关资料显示，某品牌蓄电池的 容量C(单位：Ah),放电时间t(单位：h)与 放电电流I(单位：A)之间存在关系C= ·t,其中k为常数.在电池容量不变的条 3,x≥3， 件下，当I=15A时，t=32h;当I=20A 11.已知函数f(x)= f(x+1),x<3 时，t=18h.则电池的容量C为 f(1og34)的值是 Ah. )>>46<<< 三、解答题（共4个大题，第19~21题各10分，20.已知函数f(x)=lg(x一1），g(x)=lg(4一x). 第22题12分，共42分) (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域； 19.求下列各式的值. (2)求不等式f(x)>g(x)成立时，实数x (1)0.027寸-(-7)°+256 的取值范围。 31+(√2-1)°. (2)(log62)2+(1og63)2+3log62× (1ogs18-专log2） )>>47×<< 21.已知函数f(x)=b·a(其中a,b为常数， 2.已知f)=2+a(2)》 是偶函数。 >0,且a≠1)的图象过点A(1,, (1)求a的值； B(3,4 (2)解关于t的不等式f(2t)≥f(t十1)； (3)求函数y=f(2x)-6f(x)+1,x∈[ (1)求f(x); 1,2]的值域 (2)若不等式(+（合）广-m≥0在x∈ [1,十∞)时恒成立，求m的取值范围. )>>48<<<20.解：(1)根据题意，函数f(x)=x2一2ax=(x一a)2一a2, 则f()-f()=(好十2)-（十吃2） 其对称轴为x=a, 当a≤-1时，f(x)在区间[-1,1]上为增函数，则g(a)= =(-(1-》 f(-1)=1+2a; =(x十2)（知- (+)1-) 当-1<a<1时，g(a)=f(a)=-a2; 由1<<2，可得f)-f(2)<0, 当a≥1时，f(x)在区间[-1,1]上为减函数，则g(a) 故函数f(x)在区间(1，十∞)上是单调增函数. f(1)=1-2a, 22.【解】(1)H,2∈D,有f(·2)=f(x)十f(2), 1+2a,a≤-1， .令=2=1，得f1)=2f(1). 故g(a)= -a2,-1<a<1, f1)=0. 1-2a,a≥1. (2)f(x)在D上为偶函数，证明如下： 11十2x>-3, (2)根据题意，若g(x)>-3,则有 或 令=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), 2≤-1 [-x2>-3,1-2x>-3, ∴-1)=2f1)=0. 或 -1<x<1lx≥1， 令=-1,2=x,有f(-x)=f(-1)十f(x, 解得-2<x≤-1或-1<x<1或1≤x<2, .f(一x)=f(x)..f(x)在D上为偶函数 综合可得-2<x2,即不等式的解集为（一2,2）. (3)依题意，得f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 21.(1)【解】根据题意，因为函数f(x)为偶函数，则f(一x)= 由(2)知，f(x)是偶函数， f(x)对任意x∈R恒成立， .f(x-1)<2,即为fx-1)<f(16). 即(-x)2+(-x)2十(-x十x1)=2+x2+(x-x1), 又f(x)在(0，十∞)上是增函数， 整理可得(x一x1)=0对任意实数x恒成立， .0<|x-1<16. 则有=0. 解得一15<x<17且x≠1. (2)【证明】当k=0时，f(x)=x2+x-2. .x的取值范围是（一15,1）U(1,17). 对任意的，x2∈(1，十∞)，且<x, 第四章幂函数、指数函数与对数函数 考点1幂函数 由幂函数的图象过点(2,8)，得f(2)=2=8,解得a=3, 夯实基础 所以f(x)=x3,则f(4)=43=64.故选C. 1.y=x常数 3.A【解析】y=x1和y=x3都是奇函数，故B,D不满足条 2.(1)①(0,0)(1,1)(2)①(1,1) 件；y=x2虽为偶函数，但在(0，十∞)上为增函数，故C不 3.[0,十∞)[0，+∞){yy∈R,且y≠0}奇 满足条件；y=。2=之在(0，十∞)上为减函数，且为偶函 x∈(0，+∞)(0,0)，(1,1)(1,1) 提升能力 数，故A满足条件， 针对训练 4.√3【解析】f(-2)=4-1=3,.ff(-2)=f3)=√3. 1.B【解析】函数y=立=√元的定义域和值域都是 学业达标 为[0，十o∞)， 1.A【解析】：fx)=x2,f-x)=(-x)3=一x, 当0<x<1时，√元>x,故函数的图象位于直线y=x的 f-ax)=-f(x).故选A. 上方； 2.C【解析】：函数y=x在第一象限是减函数， 由于当x>1时，√<x,故函数的图象位于直线y=x的 “函数y=x在区间[2,2]上的最大值是合） 下方. 故选B. (侵)广=4 2.C【解析】设幂函数f(x)=x,a为常数， 故选C. 3.A【解析】y=x为幂函数，要保证定义域为R,则α不能 2.c【解析】(a号)·(-3at付)÷（3a) 取-1，号.1,3都可以保证函数为奇函数，故选A (-3a)÷(号a站)=-9a,故选C 4.A【解析】由已知得m=1,函数为f(x)=x3, ∴.f(m十1)=f(2)=23=8.故选A 3.【解】原式=a立b~b:a=a=21,1-2 24 5.C【解析】f(x)=x, 针对训练2 ∴.函数f(x)是奇函数，且为增函数 1.C【解析】若函数f(x)=√4一2有意义，则必有4-2r≥ a=-f(1og0）=-f-log10)=f1og,10), 0,解得x≤2， 则2<1og9.1<1og10,29<2,即2.9<log9.1<1og10, 所以其定义域为（一∞，2] 则f2m9)<flog9.1)<flog10),即c<b<a. 2.A【解析】根据y=0.8上单调递减，y=xA8在(0，十∞) 6.2【解析】因为幂函数y=x过(2,4)点， 上单调递增， 所以由2=4，即a=2,故答案为2. ∴.0.80.8>0.80.9,1.20.8>0.80.8， 7.①③⑤【解析】首先画出为=xz与2=x的图象（如 ∴.c>a>b. 图)，已知a2=b房=m,作直线y=m. 故选A r 3.(1,6)【解析】由1-x=0,得x=1. =x3 此时f(x)=6. a l l a ∴.函数f(x)=a-x+5(a>0,且a≠1)的图象必过定点 (1,6).故答案为(1,6). 若m=0或1，则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1; 4.(1,+∞)【解析】a2x>a-1,∴.a(a一a1)>0. 若m>1,则1<a<b.由图象知，成立的是①③⑤. a>0,.a>a1. 8.【解】(1)根据题意，m∈N, 又不等式的解集是{xx>-1},.a>1. 则m+m=m(m士D为正偶数，则，m千>0， 学业达标 幂函数f(）=的递增区间为[0，十∞). 1.D【解析】a=a子，则a 。号c=a故在D 2.A【解析】函数f(x)=a(a>1)的图象经过点(3,8)，所 (2)若该函数图象经过点(2w2),即√2=2m+m,解得m=1, 以a3=8,解得a=2,所以实数a的值为2.故选A. 则f(x)=x立， 3.A【解析】a=0.91.2,b=1.10.9,c=1, 若f(2-a)>f(a-1),则有2-a>a-1≥0， 0.9.2<0.9°=1,1.10.9>1.1°=1， 解得1<a<号，即a的取值范围为[1，号). a<c<b. 考点2指数与指数函数 故选A 夯实基础 4.C【解析】（排除法）当a>1时，y=a是增函数，函数y= 1.x=a a一a的图象可以看作是把y=a的图象向下平移a个单 2.(1)正数负数(2)两个相反数(4)aa一a 位长度，且过点(1,0)，故A,B均不符合； 3.(1)am(2)11 当0<a<1时，y=a是减函数，函数y=a一a的图象可 (3)0 以看作是把y=a的图象向下平移a个单位长度，且过点 4.(1)a+(2)an(3)ab (1,0),观察图象可知D不正确. 5.R(0,+∞)(0,1)y>10<y<10<y<1y>1 5.2【解析】，点(2,1)在y=d(a>0,且a≠1)关于y=x对 单调增函数单调减函数 称的图象上，∴.点(1,2)在y=(a>0,且a≠1)的图象上， 提升能力 ∴.2=d,解得a=2. 针对训练1 6.[1,十o∞)【解析】若函数y=3-x一m的图象不经过第一 1.A【解析】根式9a3化为分数指数幂是a号. 象限，则3一m≤0，解得m≥1. 7.(] 【解析】设x=2-x十是=（女一合）广+合，当 2.C【解析】log[log(1og2x)]=0, ∴.log(log2x)=1,log2x=3,x=8,x2=2√2. x=时，m=又y=()厂在R上是单调递减函 3.B【解析】由3a=5b=m,得a=log3m,b=logm,m>0, 数，所以当=之时，=（）产-号所以原函数的 1+1=2. …1 ogs m logs m 值域为(0，号] .logm3十l1ogm5=2,即logm15=2. .2=15,∴.m=√15. 8.【解1)因为f)-22a-a), 4.4【解析】原式=2+1og44=2+2=4. 所以f(x)的定义域为R. 针对训练2 1.D【解析】1og2)(2-x)有意义， 又f-x)=a凸(a-a)=-a2(a 2-x>0, ax)=-f(x), 则2x-1>0,解得号<<2且x≠1， 所以函数f(x)为奇函数， 2x-1≠1， (2)任取<2， 所以x的取值范围是（分，1）U1,2). 则f)-fa)=a2n-a)[1+a+门 2.C【解析】由对数函数的“底大图低”的性质得到a2>a> 因为1<x2,a>0且a≠1,1十a+2)>0. ①当a>1时，a2-1>0,a2-a>0, 1>a>e,所以，aa的值分别为号E,号高 则有f(x2)-f)>0; 故选C ②当0<a<1时，a2-1<0,a-a<0, 3.A【解析】因为a=1og号<og1=0,6=3对>30=1,6= 则有f(x2)-f()>0. 所以f(x)为增函数. (3)'-日，所以a<c<h (3)当x∈[-1,1]时，f(x)≥b恒成立， 学业达标 即b小于等于f(x)的最小值， 1.D【解析】1og318-log2=log9=log32=2. 由(2)知当x=一1时，f(x)取得最小值， 2.A【解析】由题得，对数函数恒过定点(1,0).故选A. 最小值为a品·（日-a)=-1, 3.D【解析】a>1,b<0,0<c<1,故b<c<a.故选D. 4.B【解析】对于B项，令x=y=1,则lg(x+y)=lg2>lg1 所以≤-1，即b的取值范围是（一∞，一1]. =0,而gx十gy=0,显然不成立，故选B. 考点3对数与对数函数 夯实基础 5.c 【解折1-g(1名文一1)-g吉号 1.(1)a=N(a>0,且a≠1)x=-log.N a N 函数的定义域为（一1,1）， (2)log N Ig N In N 又-)=g1于产-}告-. 2.(1)①N②N 所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称， (2②DgN-8 ②logd 6.[1,3]【解析】函数f(x)=4一l1ogx在x∈[2,8]时单调 (3)①logM+logN②logM-logN③nlog.M 递减，∴.当x=2时，函数取最大值4-1og2=3;当x=8时， 3.(0,+∞)(1,0)增减 函数取最小值4一log8=1,….函数f(x)的值域为[1,3]. 提升能力 7.0【解析】f(x)=log(x+m)+1过定点(2，n),则 针对训练1 log（2十m)十1=n恒成立， 1.D【解析】lg(xy)=lgx十lgy(x,y为正实数)， /2+m=1, m=-1, 解得 .m十n=0. ∴.2gw)=2gx+gy=2gx·2gy. 1=n, （n=1, 6 8.【解】(1)由f(3)=1,得1oga3=1,所以a=3. 1)+1og32=1og32(x2+1). 函数f(x)=log3x的定义域为(0，十o). 8.B【解析】函数f(x)=a'(a>0,且a≠1)在(0,2)内的值 (2)g(x)=log(1十x)-1og(1-x),定义域为(-1,1). 域是(1，a),由于指数函数是单调函数，则有a>1,由底数 因为g(-x)=1og(1-x)-log(1+x)=-g(x), 大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正 所以g(x)是奇函数. 确.故选B. (3)因为f(x)=log3x在(0，十∞)上是增函数，所以不等式 9.D【解析】由函数f(x)=a在R上是增函数，知a>1.当 f(t·4)≥f2:一t)对任意x∈[1,2]恒成立，等价于不等式组 a=多时，g(的定义域为(0，十o),不能满足g(D= t·4>0①， 2x一t>0②，对任意x∈[1,2]恒成立. 在R上是增函数；而当a=3时，g()=在R上是增函 t·4≥2r-t③ 由①得t>0;由②得t2x,依题意，得t<2; 数，此时f()=(兮)”在R上是减函数.故选D 10.B【解析】因为f(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数， 由图得之+7.11： 1· 所以排除C,D, 令u=2x,则u∈[2,4]： 当x>0时，y=一gx,函数为减函数，排除A 易知y=u十在区间[2，上是增函数，所以y=+ 故选B. 11.C【解析】.1<1og34<2,∴.f(log34)=f(1+1og4)= 在区间2，幻上的最小值为号，故，工的最大值为号， 2+2 f(2+1og4)=32×4=36. 12.B【解析】因为f(x)=log。|x在(0，十∞)上单调递增， 所以≥号， 所以a>1,f1)<f(2)<f(3). 又函数f(x)=log为偶函数， 综上所述，的取值范围为号<<2， 所以f(2)=f(-2), 章末综合测试 所以f(1)<f(-2)<f(3) 13.12【解析】由题意知am=2,a”=3,所以a2m+m=(am)2· 1.B【解析】.a<1,.原式=|a-1|+a=1一a十a=1. a"=22×3=12. 2.B【解析】由3<7<9，得log33<1og37<1og39,所以1< 14.2【解析】，f(x)=lgx,f(ab)=1, a<2;由2.1>21，得b>2;由0.83.1<0.8°=1，得c<1,所 ∴.lg(ab)=1.∴.f(a2)+f()=lga2+lg=21ga+ 以c<a<b. 2lgb=21g(ab)=2. 3.C【解析】由(x+x1)2=x2+x-2+2=5,可得x十x-1= 15.3【解析】，f(3)=log(32-6)=1, 土√5.故选C. .f(f(3)=f1)=3e-1=3. 4.C【解析】f(x)=log3x, ∴.f(9)=1og39=1log32=2. 16(-∞，号] 【解析】由题意可得 5C【解析)对A,B:f(-1)=e1=,-f1)=-e,故 fa-2<0, (分)尸-1≥2a-2 解得a≤号 A,B错误； 对C,D:f1)=e,f(0)=e=1,则f(1)>f0),故C正 1n.[是，4)【解析玲g)=4+3x-2>0,则-1<x< 确，D错误 4.要求f(x)=ln(4十3x一x2)的单调递减区间，即求 6.A【解析】设f()=x,由已知得（号）°=3，解得a= gx)在(-1,4)上的减区间，所以x∈[三，4) 一1，因此f(x)=x1,易知该函数为奇函数. 1C=15×32, 7.D【解析】A,是=x青(x≠0)；B,(3)2=3产；C,1og(2+ 18.7200【解析】根据题意，得 x C=20×18, 11 两式相比，得()”·器=1， 所以f(x)=f(-x), 即2s+a(3)）广=2+a(3), 化简得（号）广=最， 解得k=2,所以C=152×32=7200(Ah). 即(a-1)[2-(分）门=0对任意实数恒成立， 19.【解11原式-号-49+61-号+1-19. 因此a=1. (2)原式=(1og62)2+(1og63)2+21og62·1og63= (2由1得，)=2+（合）》尸 (1og62+log3)2=1. 因为f(x)=2+(合）广的导数f(x)-2n2+ 20.解：(1)h(x)=f(x)-g(x)=lg(x-1)-lg(4-x). 要使函数()有意义，则2一1八0， (侵)）产n合=h2[2-(2)}], (4-x>0, 且当x>0时，f(x)>0恒成立， 得>得1<4， 所以K)=2:+(合）广在[0，十∞)上是增函数。 x<4, 即函数h(x)的定义域为(1,4). 又因为)=2+(2)厂是偶函数， (2)由f(x)>g(x),得lg(x-1)>lg(4-x), 又f(2t)≥f(t+1)台f(|2t|)≥f(|t+1|) 得x-1>4-x,得2x>5,得>号 台2≥|+1， 1<x<4, 两边平方可得，3-2-1≥0，解得≥1或≤-3， ∴号<4， 所以不等式的解架为￠≥1或长-日}】 即实数x的取值范围是(？，4)， (3)函数y=f(2x)-6f(x)+1=2+(3）)产 21.【解】(1)由已知，得 6[2+(2)门+1， 6心=24， 令2+(2)》”=k,由x[-1,2]可知，∈[2，￥] 1 a=2’ .a>0,且a≠1，. )=3×(2), 所以由y=2婴+（侵）产-6[2+（经）]+1= b=3 [2+(2)门-6[2+(2)门-1， (2(2）》广+(3）广-m=2+3-m, 设g(k)=2-6k-1=(k-3)2-10, .m2x十3x 因为c[2,], ”y=24十3在[1，十∞)上为增函数，其最小值为5. .m5. 所以g3)≤g≤g(保)，即-10≤g≤-H。 2.【解(1)因为fx)=2+a(号)广是偶函数， 所以函数的值域是[-10，一] 第五章函数的应用 考点1函数与方程 连续增函数， 夯实基础 且有f(信)=g+1ogg-日-3<0， 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点 2.f(a)·fb)<0(a,b)f(c)=0c f()=子+is=-2<0, 3.(1,0),(x2,0)(,0)两个一个无 r(3）-2+1oe2- -1<0,f1)=1>0, 提升能力 针对训练1 所以在[合1]上存在零点。 1.D【解析】因为函数f(x)=x十logx,在x>0时函数是 故选D. 8