第8章 复数-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

第八章复 数 %赢在%考%情精%析烧 考点 课标解读 1.复数的概念 (1)通过方程的解，认识复数， 复数 (2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 2.复数的运算 掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 赢在考点训练 考点 复数 二夯实三基三础台 关系 1.复数的有关概念 虚数集 (1)复数的定义：我们把形如a+i(a,b∈ 复数集 R)的数叫做复数，其中i叫做 ,满足 纯虚数集 实数集 2= (5)复数相等的充要条件 (2)复数的表示方法：复数通常用字母之 设a,b,c,d都是实数，则a十bi=c十di台 表示，即 ,其中a叫做复数之的实 部，b叫做复数之的虚部. a+bi=0台→ (3)复数集 2.复数的几何意义 全体复数所构成的集合叫做复数集.通 常用大写字母C表示 (1)复数之=a十bi(a,b∈R)一对应 (4)复数的分类 复平面内的点Z(a,b), @复数u十h 实数(6=0) (2)复数之=a十i(a,b∈R)一对应 纯虚数(a=0) 平面向量OZ. (a,b∈R) 虚数(0≠0) 非纯虚数(a≠0) 3.复数的模 ②复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的 (1)定义：向量OZ的模叫做复数之=a十bi )>>90<<< (a,b∈R)的模或绝对值. (3)复数除法的法则 (2)记法：复数x=a+i的模记为 设1=a十bi,2=c+di(a,b,c,d∈R,且 (3)公式：x=|a+bi=a2+b. c十di≠0)是任意两个复数，则=a十bi= 4.共轭复数 %c+di (1)定义：当两个复数的实部 c2+d' 虚部 时，这两个复数叫做互为共轭 ea+干c+i≠o, 复数.虚部不等于0的两个共轭复数也 二提升三能三力 叫 考向1复数的相关概念及几何意义 (2)表示：之的共轭复数用之表示，即若 4典型例题1之 x=a十bi(a,b∈R),则z=a-bi. 5.复数加法与减法 (1)已知=2i,则复数的虚部为 i (1)设=a+bi,x2=c+di(a,b,c,d∈ R)是任意两个复数，则 A.-i B.2 ①x1十2=(a+c)+(b十d)i; C.-2i D.-2 ②1一2= (2)已知在复平面内，复数之对应的点是 (2)对任意之1,2,3∈C,有 Z(1,一2)，则复数之的共轭复数之= ①1十2= ( ②（之1十2）十3= (3)复数加减法的几何意义 A.2-i B.2+i 如图，设复数，2对应向量分别为OZ, C.1-2i D.1+2i OZ,四边形OZZZ为平行四边形，向量OZ与复 (3)已知i是虚数单位，设复数1=1+i, 数名十对应，向量Z2Z与复数名一对应： 2=1十2i,则在复平面内对应的点在 Z2 ( A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】(1)：x=2-i-(2-D(-)】 =-1 i i·(-i) 6.复数的乘法和除法 2i,则复数之的虚部为一2.故选D (1)复数的乘法法则 (2).复数之对应的点是Z(1,一2)，∴之= 设之1=a十bi,2=c+di(a,b,c,d∈R)是 1一2i,∴.复数之的共轭复数之=1十2i,故 任意两个复数，则1·2=(a十bi)(c十di)= 选D. (3)由题可得，=1i=1+D1-2D (2)复数乘法的运算律 21+2i(1+2i)(1-2i) 对任意复数1,2,3∈C,有 ,对应在复平面内的点的坐标为 31 交换律 122=22 结合律 (12)3=刘1（23) (得一》，在第四象限 乘法对加法的分配律 1(2十)=12十1 【答案】(1)D(2)D(3)D )>>91<< 【名师点拨】(1)复数的分类及对应点的位置都 【解析】(1)(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2= 可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条 3+i. 件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部 2:=吊+2i=a”)2i (1-i)2 和虚部满足的方程（不等式）组即可. (2)解题时一定要先看复数是不是为a十 1-2i-1+2i=i,lz=|il=1. bi(a,b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (3)+3 (1十2)2+3=1+4i+4+3 z一1 1+2i-1 2i (3)由于复数、点、向量之间建立了一一对 应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联 4一2. 系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使 【答案】(1)D(2)C(3)C 问题的解决更加直观， 【名师点拨】复数代数形式运算问题的常见类 ·针对训练1心 型及解题策略 1.复数之=4一3i在复平面的点位于( (1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项 A.第一象限 B.第二象限 式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作 C.第三象限 D.第四象限 一类同类项，不含ⅰ的看作另一类同类项，分 别合并即可. 2设i为虚数单位，1-牛织，则实数a (2)复数的除法.除法的关键是分子、分 母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把1 的幂写成最简形式 A.2 B.1 (3)复数的运算与复数概念的综合题.先 C.0 D.-1 利用复数的运算法则化简，一般化为a十bi 3.(2024·福建学业水平合格性考试)已知复 (a,b∈R)的形式，再结合相关定义解答. 数x=2一i,则= (4)复数的运算与复数的几何意义的综 考向2复数的运算 合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为 a十bi(a,b∈R)的形式，再结合复数的几何意 ·典型例题2心 义解答 (1)(1+i)(2-i)= ◆针对训练2△ A.-3-i B.-3+i 1.复数之的模为13，实部为5，则i=( C.3-i D.3+i A.±12+5i B.士12-5i (2设1+2i,则- C.12±5i D.-12士5i 2已知为虚数单位，则} A.0 B司 A.2i B.2ti C.1 D.√2 5 5 (3)设复数=1+2i,则牛 C.1-2i 5 D1+2i 5 A.2i B.-2i 3.设之=1+i(i是虚数单位)，则2-2 C.2 D.-2 )>>92<<( A.1+3i B.1-3i 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是() C.-1+3i D.-1-3i A.i(1+i) B.(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 二学三业三达三三标 1.若复数x=(1一i)·(2十ai)(a∈R)为纯虚数， 5.设x=1中十ii为虚数单位)，则|z= 则a的值为 ( ( A.-2 B.1 A号 R号 C.2 D.2 2.复数吕1为虚数单位)的共轭复数是 D.2 ( ) 6已知复数x,则之的虚部为 () A.1+i B.1-i A.2i B.3i C.-1+i D.-1-i C.2 D.3 3.设复数之满足之=1-i十i(i为虚数单7.若复数x=-1十(m一2)i为实数，则m 位)，则复数= ( 为 A.√2-i B.√2+i 8.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为 C.1 D.-1-2i 一1十2i,若点A关于直线y=一x的对称点 为B,则向量OB对应的复数为 凳未综俞测斌 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分） 这个正方形的第四个顶点对应的复数为 1.复数的(1+i)2= () A.2 B.-2 A.3+i B.3-i C.2i D.-2i C.1-3i D.-1+3i 2.i是虚数单位，复数一 3+i ) 6.当之=-1时，0十0+1的值等于 √2 A.2+i B.2-i () C.-2+i D.-2-i 3.若复数(a2一1)+(a-1)i(a∈R)是实数，则 A.1 B.-1 a等于 ( ) C.i D.-i A.1 B.-1 7.(2025·福建期末)已知复数之满足（之一1） C.±1 D.不存在 (1十i)=一1+i,则z= () 4.设之=一3十2i,则在复平面内之对应的点 A.1+i B.1-i 位于 ( C.-1+i D.-1-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 &已知为虚数单位，若复数g一a∈R) 5.在复平面上，一个正方形的三个顶点按顺 的虚部为一3，则川之 ) 序分别对应的复数是1十2i,一2+i,0,那么 A.W10 B.23 )>>93<<< C.√13 D.5 18.已知复数ǎ=cos0-i,忽=sin0十i,则· 9.已知之1=1十2i,2=m十(m一1)i,i为虚数 2的实部最大值为 ,虚部最大值 单位，且两复数的乘积2的实部和虚部 为 为相等的正数，则实数m的值为 ( 三、解答题（共4个大题，第19~21题各10分， A-号 B 第22题12分，共42分) 19.计算： c (1)(2+i)(2-i); (2)(1+2i)2; 10.若复数之=(x一2)十yi(x,y∈R)在复平面 内对应向量的模为2，则之十2的最大值 3告°+ √3-√2i 为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 11.若复数之满足(1十i)z=√3+i,则在复 平面内，之对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12已知为虚数单位复数。，则以下 为真命题的是 ( ) A:的共能复数为号一智目 B:的虚部为 20已知复数=2-3i,名8部求： C.|z=3 (1)2;(2) 22 D.之在复平面内对应的点在第一象限 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知a+2i=b-i(a,b∈R),其中i为虚数 单位，则a十b= 14.已知i是虚数单位，复数之满足(1+i)z=2, 则之的实部为 ,z= 15.若1=1一i,2=3-5i,在复平面上与1， 2对应的点分别为Z1,Z2,则Z1,Z2的距离 为 16设a,b∈Ra=多(i是虚数单位)，则 b= 17.若复数z=a+i(a∈R)与它的共轭复数之 所对应的向量互相垂直，则a= )>>94<<< 21.已知复数之满足(1+2i)z=4十3i. 22.设之为复数之的共轭复数，满足|之一 (1)求复数； z=2√3. (2)若复数（之+ai)2在复平面内对应的点 (1)若x为纯虚数，求； 在第一象限，求实数a的取值范围. (2)若之一为实数，求|z. )>>95<<(第八章复 数 考点复数 (1一iD=一(1一i)=-1+i,不是纯虚数，排除B,(1十i)2=2i, 夯实基础 是纯虚数，正确；i(1十i)=一1十i,不是纯虚数，排除D,故 1.(1)虚数单位一1 选C. (2)z=a+bi(a,b∈R) 5B【解标因为+i=a+可十i=1号+i 1-i (5)a=c且b=da=b=0 3.(2)x或a+bi 是+2所以1√（合）广+（合-号 4.(1)相等互为相反数共轭虚数 6.C 5.(1)②(a-c)+(b-d)i 【解析折1==3十2：的虚部为2 (2)①2十刘 7.2【解析】由题得，x为实数，即虚部为零，得m一2=0， ②十(2十) ∴.m=2. 6.(1)(ac-bd)+(ad+bc)i 8.一2十i【解析】因为A(一1,2)关于直线y=一x的对称点 提升能力 B(-2,1),所以向量OB对应的复数为-2+i 针对训练1 章末综合测试 1.D【解析复数=4一3i在复平面内的点的坐标为(4，一3)， 该点位于第四象限， 1.A【解析】的(1+i)2=-i·(2i)=2. 2C【解折1-i=92+ai=(1-01+)=2,解 2B【解折17=03-D-200-2-i 10 得a=0.故选C. 3.A【解析】因为(a2-1)十(a-1)i(a∈R)是实数， 3.2十i【解析】根据共轭复数的概念，得之=2十1，故答案为 所以a-1=0,解得a=1. 2+i. 4.C【解析】由z=一3+2i,得z=一3-2i,对应点（一3， 针对训练2 一2)位于第三象限. 1.A【解析】令z=5+ai(a∈R), 5.D【解析】在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对 由题意可得√25+a2=13,解得a=±12， 应的复数为一1十3i. ∴.2i=(5+ai)i=5i-a=±12+5i 6.D【解析】2=1一i边2 2 一i, 2D【得折片-侣书得书- 5 则20+0+1=(-i)0十(-iD5+1=2×4+2+(-1)5· 3.C【解析】因为x=1+i,所以x2=(1+i)2=1+2i+= 6×4+1+1=-1一i+1=-i 22-品=a2-2学-212-1-i则 一1+i+1= 2 7.B【解析】由(x-1)(1+)=一1十i,得之=1+ 2-2=2i-(1-D=-1+3i故选C. (-1+D(1-边+1=1+i, (1+iD(1-i) 学业达标 则z=1一i 1.A【解析】z=(1-iD(2十ai)=2十a十(a-2)i, &c【解析】因为：=兽-导骨 又复数之为纯虚数， 2+a=0, 1aa+1-1号2生1所以-生=-3， 2 2 则 a-2≠0， 解得a=一2. 解得a=5,所以z=-2-3i, 2 21+D=2(1+D=1+i,所以 2.B【解析】因为1亡①-D(1十D1-? 所以z=√(-2)2+(-3)严=√13. 9.D【解析】因为a2=(1+2i)[m+(m-1)] 复数2的共轭复数为1-i故选B =[m-2(m-1)]+[2m+(m-1)]i=(2-m)+(3m-1)i, 3.A【解析】复数之满足之=|1一i十i=√2+i,则复数之 所以2-m=3m-1,即m=是 √2-i,故选A 4.C【解析】i(1十i)2=i·2i=一2，不是纯虚数，排除A; 经检验，m=是能使2一m=3m-1>0, 35 所以m一子满足题意。 实部cos6in0叶1=1+号sin20<号，最大值为号， 10.B【解析】由已知，(x-2)2十y=4. 虚部cos0-sin0=√2cos(什平)≤V2,最大值为/2. ·点(x,y)在以(2,0)为圆心，以2为半径的圆上. 又|z十2=|x十yi表示点(x,y)到原点的距离. 19.解：(1)(2+iD(2-i)=4-2i+2i-=5. z十2的最大值为圆的直径4. (2)(1+2i)2=1+4+4i=-3+4i. 1L.A【解析】由题意，得之√C3)2+1卫-21-) (1+0(1-D=1 ⑧源式-书++需-景+粤 5 1+i -1+i. 一i,所以=1十i,其在复平面内对应的点为(1,1)，位于 第一象限，故选A =15-5i-15-5i-(15-5i)(3-4D 20.【解】%=2+=3+4=(3+43-D 12D僻标：一法1-88智-号+得 -25275i-1-31, 25 ∴之的共轭复数为号一召，：的虚部为， 则(1)2=(2-3i)(1一3i)=-7-9i. √（告）+（名）=，：在复平面内对应的点 (2)名=2-3i=(2-3)(1+3D 21-3i(1-3i)(1+3i) 5 为（号，），在第一象限，故选D -品+品 21.【解】(1)：(1+2i)z=4+3i, 13.3【解析】因为+21-b-i,所以a+2i=i+1,所以a -+器8碧-0.2i=2i 5 1,b=2, (2)由(1)知x=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+ 所以a+b=3. (a十1)i]2=4-(a+1)2+4(a十1)i, 14.1√2【解析】因为(1十i)z=2, ,复数(x十ai)在复平面内对应的点在第一象限， 所以=品=1-。 /4-(a+102>0, 解得-1<a<1, 4(a+1)>0, 所以其实部为1，|之=√2. 即实数a的取值范围为(-1,1). 15.25【解析】由名=1-i,a=3-5i, 22.【解】(1)设x=bi(b∈R且b≠0)，则z=一bi, 知Z(1,-1),Z2(3,-5), 由两点间的距离公式，得 因为x一2=2√3，则12bi=2V3,即|b=√3， d=√(3-1)2+(-5+1)2=2√5. 所以b=土3，所以x=士3i. (2)设x=a十bi(a,b∈R),则z=a一bi, 16-2【折】因为a=会-得得+器=”2+ 13 因为x-=2√3，则12bi=2√3，即b=√3， 6+36bi,a∈R,所以5+3b=0>6=一2. 因为x-2=a十bi-(a-bi)2=a-a2+形+(b+2ab)i 13 13 又之一之为实数， 17.士1【解析】之=a一i,因为复数之与它的共轭复数之所对 所以b+2ab=0. 应的向量互相垂直，所以a2=1,所以a=士1. 18.号厄【解析1·a=(cos0-D(sin0叶) 因为161=3，所以a=一2， =(cos 0sin 0+1)+i(cos 0-sin ) 所以√(-)+（生2= 2 第九章 立体几何初步 考点1空间几何体的结构特征、直观图 2.(1)45(或135)(3)-半 夯实基础 能力提升 1.(1)平行且相等平行(2)公共顶点(3)平行于底面 针对训练1 相似(4)矩形(5)任一直角边(6)直角腰上、下底 1.C【解析】如图所示，可排除A,B选项.只有截面与圆柱 的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭 边中点的连线平行于圆锥底面(7)直径 36