第7章 平面向量及其应用-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

第七章平面向量及其应用 赢在考情精析 考点 课标解读 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景. 平面向量的概 (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 念及线性运算 (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义， (2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 平面向量的基 3.平面向量的基本定理及坐标表示 本定理及坐标 (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系 平面向量的数 (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算， 量积及其应用 (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的 垂直关系 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题， (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 6.正、余弦定理及解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 正、余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题， 及解三角形 (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算 有关的实际问题. )>)5×< 赢在考点训练 考点1 平面向量的概念与线性运算 三夯三实三基三础 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存 1.向量的有关概念 在唯一一个实数入，使得 名称 定义 备注 二提三三升三能三三力二 既有大小又有方向的量：向量的 平面向量是自由 向量 大小叫做向量的长度（或称模） 向量 考向1平面向量的概念 零 长度为零的向量；其方向是任 记作 色典型例题1心 向量意的 下列说法中： 单位 非零向量a的单 长度等于1个单位的向量 ①两个有共同起点且相等的向量，其终点 向量 位向量为 a 可能不同； 平行 方向 或 的 ②若非零向量AB与CD是共线向量，则A, 向量 非零向量 0与任一向量 共线方向相同或相反的非零向量 或共线 B,C,D四点共线； 向量又叫做共线向量 ③若非零向量a与b共线，则a=b; 相等长度 且方向 两向量只有相等或不 ④若a=b,则|a=|b. 向量的向量 相等，不能比较大小 相反长度 其中正确的个数为 ( 且方向 0的相反向量为0 向量的向量 A.0 B.1C.2 D.3 2.向量的线性运算 【解析】①显然是错误的；②是错误的，如在 向量 平行四边形ABCD中，AB与CD共线，但 定义 法则（或几何意义） 运算律 运算 A,B,C,D四点不共线；③是错误的，两个 非零向量共线，说明这两个向量方向相同 (1)交换律： a+b- 或相反，而两个向量相等是说这两个向量 求两个向量 加法 三角形法则 (2)结合律： 长度相等，方向相同，因而共线向量不一定 和的运算 b (a+b)+c= 是相等向量，但相等向量却一定是共线向 量；④是正确的，向量相等，即长度相等、方 平行四边形法则 求a与b的 向相同， 相反向量一b b a-b 【答案】B 减法的和的运算， a-b=a+(-b) 【名师点拨】平面向量的概念要注意： 其结果叫做 三角形法则 a与b的差 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平 行也具有传递性. (1)la1= (2)当A>0时，a (2)共线向量即为平行向量，它们均与起 的方向与a的方 点无关 求实数入与 入(ua)= 向 数乘向量a的积 ；当 (3)向量可以平移，平移后的向量与原向 (十2)a= λ<0时，a的方 的运算 λ(a+b)= 量是相等向量、 向与a的方向 ；当λ=0 (①非零向量a与日的关系：日 是与a 时，a 同方向的单位向量 )>>76×<< ◆针对训练1色 【名师点拨】向量的线性运算的解题策略 1.已知非零向量a与b的方向相同，下列等式 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平 成立的是 行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发 A.la+bl=lal+b 的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、 B.a+b=a-b 减法运算及数乘运算来求解. C.a-b=a-bl (2)除了充分利用相等向量、相反向量和 D.a+b=a-bl 线段的比例关系外，有时还需要利用三角形 2.若a为任一非零向量，b为单位向量，下列 中位线、相似三角形对应边成比例等平面几 各式： 何的性质，把未知向量转化为与已知向量有 ①al>|bl;②a∥b:③a>0;④lbl=±1； 直接关系的向量来求解， ⑤日-b 4针对训练2◆ 1.在△ABC中，M是BC边的中点，则向量 其中正确的是 A.①④⑤ AM- ( B.③ A.AB-AC B2(A店-AO C.①②③⑤ D.②③⑤ C.AB+AC D.(AB+AC) 3.如图，四边形ABCD为正方 2.在△ABC中，如果AD,BE分别为BC,AC上 形，△BCE为等腰直角三角 的中线，且AD=a,B克=b,那么BC=() 形，则 (1)图中与AB共线的向量有 个； A号a+b (2)图中与AB相等的向量有 个； C. n-号a+号b (3)图中与AB模相等的向量有 个； (4)图中与EC相等的向量是 3.如图，在平行四边形ABCD中，D2=】 考向2平面向量的线性运算 D心，向量A范=a,AD=b,用向量a,b表示 4典型例题24 A立，则A立 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O 为平行四边形ABCD所在平面内任意一点， 则OA+Oi+OC+O币= A.OM B.2 OM C.3 OM D.4 OM 考向3共线向量定理的应用 ◆典型例题3心 【解析】依题意知，点M是线段AC的中点， 设两个非零向量a与b不共线 也是线段BD的中点，所以OA十O心= (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,C币=3(a- 2 OM,OB+OD-2 OM, b).求证：A,B,D三点共线； 所以OA+O心+O馆+OD=4OM,故选D. (2)试确定实数k,使ka十b和a十b共线. 【答案】D 【解】(1)证明：.AB=a十b,BC=2a+8b >>>7<<( CD-3(a-b) 2e2 CB=ke+ez;CD-3e-2ke2,A,B, ..BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) D三点共线，则= 2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. 三学业三达三标二 ∴.AB,BD共线，又它们有公共点B A,B,D三点共线 1.如图，向量e1,e2,a的起点与终点均在正方 (2)解：.a十b与a十b共线，.存在实数λ， 形网格的格点上，则向量a用基底e1,e2表 示为 () 使a+b=A(a+b),即a十b=a十λb. .(k-λ)a=(k-1)b. ,a,b是不共线的两个非零向量， .k-λ=λk-1=0,∴.k2-1=0,∴.k=士1. 【名师点拨】1.证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A,B,C三点是否 A.e+e2 B.2e1-e2 共线，只需看是否存在实数λ，使得AB= C.-2e1+e2 D.2e1+e2 λAC(或BC=λAB等)即可. 2.CA+AB+BD- (2)利用结论：若A,B,C三点共线，O为 A.AB B.BA 直线外一点台存在实数x,y,使OA=xOB十 C.CD D.DC 3.如图，O是平行四边形 yOC且x+y=1. ABCD的两条对角线的交 2.利用向量共线求参数的方法 点，则下列等式正确的是 判断、证明向量共线问题的思路是根据向 量共线定理寻求唯一的实数入，使得a=b A.DA-DC-AC (b≠0).而已知向量共线求入，常根据向量共线 的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向 B.DA+DC-Dò 量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系 C.OA-OB+AD-DB 数法建立方程，从而解方程求得λ的值 D.AO+0B+BC-AC ◆针对训练34 4.设a,b均为非零向量，则“a∥b”是“a与b 1.设e1,e2是不共线的两个向量，下列四组 的方向相同”的 () 向量： A.充要条件 ①a=e-e2,b=-2e+2e2; B.充分不必要条件 ②a=e1+e2,b=2e1-2e2; C.必要不充分条件 ③a=2e-3e,b=a-6c: D.既不充分也不必要条件 5.在四边形ABCD中，设AD=a,BC=b,那 ④a=2e1,b=-3e1. 么AC+BD= () 其中a与b共线的组数为 A.a-b B.a十b A.1 C.b-a D.不能确定 B.2 6.下列命题中，正确的个数是 C.3 ①单位向量都相等； D.4 ②模相等的两个平行向量是相等向量； 2.设e1与e2是两个不共线向量，AB=3e1十 ③若a,b满足|a|>|b且a与b同向，则 >>>78<< a>b; 8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC ④若两个向量相等，则它们的起点和终点 与BD交于点O,AB+AD=AAò，则 分别重合； λ= ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c. A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知π=(5,12)，则与元方向相同的单位向 量是 考点2 平面向量的基本定理与坐标表示 三夯三实三基三础三 1.平面向量的基本定理 如果e,e2是同一平面内的两个 【解】方法一：设AC,BD交 向量，那么对于这一平面内的任意 于点O, 向量a, 一对实数入1，入2，使 a= 则有A0-0心-？AC 其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底。 a,0-0i-励-a 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向 所以Ai=A0+Oi-A0-B0-2a-2b, 量，叫做把向量正交分解。 BC-BOHO-a+jh. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量 方法二：设AB=x,BC=y,则AD=BC=y, 的模 AB+BC-AC,m∫x+y=a, 又 则 设a=(01,y),b=(x2,y2),则 AD-AB=BD,y-x=b. a+b= ,a-b= 所以x=2ay=a+b, 1 1 a= ,al= (2)向量坐标的求法 即Ai-ab,-2a+2b ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐 标即为向量的坐标」 【名师点拨】用基底表示向量的方法 ②设A(,M),B(x2,2),则AB= 将两个不共线的向量作为基底表示其他 向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性 ,|AB= 运算法则对待求向量不断转化，直到用基底表 4.平面向量共线的坐标表示 示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表 设a=(,),b=（2,2),则a∥b 示向量的唯一性求解。 色针对训练1 -三提三三升三能三力三 1.(2025·福建期中)如图，在△ABC中，点M 是线段BC上靠近B的三等分点，则AM= 考向1平面向量基本定理的应用 ) 4典型例题1之 如图所示，在平行四边形ABCD中，设对角线 AC=a,Bd-b,试用基底a,b表示AB,BC )>>79×<< 北 【名师点拨】平面向量坐标运算的技巧 →东 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、 减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有 40 B 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其 20 30 坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行 求解。 色针对训练2心 A号A+号AC BA+号AC 1.(福建学业水平考试)已知点A(1,2),B(4, 5),则AB= C.-5AB+3AC D.号A-号AC A.(-5,-7) B.(5,7) C.(-3,-3) D.(3,3) 2.在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,M, 2.已知向量a=(2,1),b=(0,1),则a一b= N分别为CD,BC的中点，若AB=入AM+ () μAN,则入十u= ( A.(2,0) B.(0,1) A号B号 c D号 C.(2,1) D.(4,1) 3.已知M(3,-2),N(-5,-1),MP= 3.在三角形ABC中，点E是AB边的中点， 点F在AC边上，且CF=2FA,BF交CE 2M瓜，则P点的坐标为 于点M,设AM=xA立+yA京，则 ( 考向3平面向量共线的坐标表示 6w2 Ax=3. ·典型例题3◆ 5 B.x=3 y= 5 已知a=(2,0),b=(1,2). C==3 3 5y=5 (1)求a+3b: (2)当k为何实数时，ka一b与a十3b平行， 考向2平面向量的坐标及运算 ◆典型例题2· 平行时它们是同向还是反向？ 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设 【解】(1)a+3b=(2,0)+3(1,2)=(5,6). AB-a,BC-b,CA-c,a-mb+nc(m,nE (2)ka-b=k(2,0)-(1,2)=(2k-1,-2) a-b与a+3b平行，则6(2k一1)-5X R),则m十n= 【解析】由已知得 （-2)-0,解得=-号 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). .mb+c=(-6m+n,-3m+8n), 当了时， 〔-6m十n=5, m=-1, -3m+8m=-5, 解得 n=-1. 有-3a-b=-3a+3b, .m+n=-2. 故当及=一日时，两向量平行，此时它们是 【答案】-2 反向的， 【名师点拨】如果已知两向量共线，求某些参 数的取值时，利用“若a=(x1,y1),b=(x2, y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y”解题 比较方便， )>>80<<< ·针对训练3◆ 2.(2025·福建检测)已知向量OA=(2,1), 1.(2025·福建学业水平合格性考试)已知向 O谚=(-2,4)，则AB1= () 量a=(2,x),b=(一2,1)，若a/∥b,则x= A.2 B.3 ( C.4 D.5 A.-1B.1 C.-4D.4 3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中 2.已知向量OA=(3,一4)，OB=(6,-3), A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的 O心-(m,m十1)，若AB∥OC,则实数m的 坐标为 () 值为 ) A.(-7,0) B.(7,6) A- B- C.(6,7) D.(7,-6) 4.在△ABC中，M是AB边所在直线上任意 c n 一点，若CM=-2CA+入CB,则=( ) A.1B.2 C.3 D.4 3.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC= 5.设向量a=(1,3),b=(-2,m),若b∥a,则 (一，10)，且A,B,C三点共线，则k的 m= 值是 ( ) 6.已知AC为平行四边形ABCD的一条对角 A司 线，且AB=(2,4),AC=(1,3),则 c号 n-号 |AD1= 7.设D为△ABC所在平面内一点，BC= -二学三三业三达三三标二 4Ci,若A市=合A范+←AC,则入十 1.已知向量a=(2,0),b=(一1,2)，则a十b= ( A.(1,2) B.(3,-2) &.已知在平行四边形ABCD中，B范=}BC, C.(2,1) D.(-3,2) A龙=xBD+yBC,则x-y= 考点3 平面向量的数量积及其应用 -二夯二二二实二二二三基三础二 和终点B,分别作CD所在直 线的垂线，垂足分别为A1, 1.平面向量数量积的有关概念 B1,得到A1B1,称上述变换为 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和 b,记OA=a,OB=b,则∠AOB=0( ≤ 向量a向向量b投影，A1B叫 做向量a在向量b上的投影CA )叫做向量a与b的夹角. 向量 (2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b,它们的夹角为0，则数量 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=（x2,y2),0为向 叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b,即 量a,b的夹角. a·b= ,规定零向量与任一向 (1)数量积：a·b=a|b1cos0= 量的数量积为0，即0·a=0. (2)模：a=√a·a= (3)向量的投影向量 如图，设a,b是两个非零向量，过AB的起点A a》夹角：m产8治 )>>80<<< (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b= A.6 B.-6 0→ (5)a·bl≤a|b|(当且仅当a∥b时等 c号 D-8 号成立)台|12十h2≤/十·√吃+. (2)若非零向量a,b满足|a=√2|b|,且(a 3.平面向量数量积的运算律 一 b)⊥(2a十3b),则a与b夹角的大小 (1)a·b=b·a(交换律). 为 ) (2)a·b=λ(a·b)=a·(b)(结合律). B (3)(a+b)·c= (分配律). -三提三升三能三力三 c臂 D. 【解析】(1).a=(x,3),b=(2,1),且a⊥b, 考向1平面向量数量积的运算 之典型例题1心 ∴.a·b=2x十3=0， 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，AB=(1,一2)， (2)若(a-b)⊥(2a十3b),则(a-b)·(2a十3b)= AD=(2,1),则AD·AC= () 0,即有2x2-3+a·b=0, A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】，四边形ABCD为平行四边形， 由a=√2b,可得a=2,即有a·b=-, ∴.AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3, -1)..AD·AC=(2,1)·(3,-1)=2×3+ a斋号 2 1×(-1)=5. 由0≤a,b≤，可得a与b夹角的大小为 【答案】A 【答案】(1)D(2)D 【名师点拨】求两个向量的数量积有两种方法 【名师点拨】用数量积解决向量垂直、夹角问题 (1)利用定义，a·b=a|bcos0. 的策略 (2)利用向量的坐标运算，a·b=x1x2十 (1)根据平面向量数量积的性质：若α，b为 1y2. ·针对训练1· 非零向亚，a日治（夹角公式ak0· 1.已知向量a=(1,一2)，b=(2,1),且a一2b b=0等，可知平面向量的数量积可以用来解决 十c=0,则a·c= ( 有关角度、垂直的问题 A.-5 B.5 (2)关于坐标的运算，a=(a,y),b=(2, C.2 D.10 2),则a⊥b台2十M2=0.cos〈a,b〉 2.如图，在△ABC中，AC=3, 02十h BC=4,∠C=90°，D是BC的 √十6+巧 ,向量夹角的范围是[0，元]. 中点，则BA·AD= () 色针对训练24 A.0 B.513 1.若a=(2,0),b=(-1,1),则cos(a,b>= C.17 D.-17 考向2用数量积解决向量的垂直、夹角问题 ·典型例题2· A.② 2 B.一2 (1)已知a=(x,3),b=(2,1),若a⊥b,则 x= ( C.2 1 D. 2 )>>82<< 2.已知向量a,b,其中a=√2，b|=2,且 值是 (a-b)⊥a,则向量a与b的夹角是()3.已知向量a=(1,-1),b=(2,1),向量c= A.否 B. C. D.3 2a十b,则cl= 考向4平面向量数量积的综合应用 3.(福建学业水平考试)已知向量a=(一1， ·典型例题4。 2),b=(2,t),且a⊥b,则t= 如图，在正方形ABCD中，D 考向3平面向量的模及其应用 色典型例题3◆ 已知AB=2,M为BC的中 设平面向量a=(cosa,sina)(0≤a<2π)， 点，若N为正方形内（含边 b(-2,),且a与b不共线.若两个向 界)任意一点，则AM·AN 的最大值为 量√3a+b与a-√3b的模相等，求角a. 【解析】如图，建立平面直角坐标系. 【解】.W3a+b=a-√3b, ∴.(3a十b)2=(a-√3b)2, 即3a2+23a·b+b=a2-23a·b+3b2 D 又al=√cosa+sina=1,lb=√4+4 /1+3 设N(x,y),则M(2,1), =1, ∴.AM.AN=(x,y)·(2,1)=2x+y. ∴.a·b=0, .0≤x≤2,0≤y≤2， cos 3sin a-0,Ep tan a=v3 ∴.当x=2,y=2时，AM·AN的最大值 3 为6. 又02xa- 【答案】6 【名师点拨】求向量的模的两种基本策略 【名师点拨】对于一些比较复杂的平面向量的 数量积，通过建立平面直角坐标系将向量“坐 (1)字母表示下的运算：利用a|2=a, 标化”来解决，是一种很简捷的做法。 将向量的模的运算转化为向量与向量的数量 色针对训练4心 积的问题 (2)坐标表示下的运算：若a=(x,y),则 1.已知向量a=(1,W3),b=(0,1),则当t∈ lal√x2+y. [-√3,2]时，|a一t·b|的取值范围 ◆针对训练34 是 2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB 1.已知单位向量a,b,其夹角为，则|a+ 边上的动点，则D它.CB的值为 b1= DE·DC的最大值为 A.3 B.3 三学三业三达三三标三 C.2 D.√2 1.若正方形ABCD的边长为1，则BD·BC= 2.已知AB=(k,3),且AB|=5,则实数k的 () >>>83<< A号 A.a∥b B.1 C.√2 D.2 B.(2a-b)⊥b 2.(2025·福建模拟)向量a=(6,2)在向量b C.a=b =(一2,1)上的投影向量为 ( D.a·b=3 A.(2,1) B.(2,-1) 5.已知向量a和b的夹角为90°，a=√3，|b C.(4,2) D.(4,-2) =2,则a·b= 3.设非零向量a,b满足a十b=a一bl,则 6.在△ABC中，AB=(√5,3)，CB=(-√5， 3),则CA·CB= A.a⊥b B.a=b 7.已知a=2,|b=3,a,b的夹角为120°，则 C.a∥b D.a>b |2a+b|= 4.已知向量a=(1,1),b=(0,2),则下列结论 8.在△ABC中，AC=3,AB=5,D是BC边 正确的是 的中点，则AD.C3= 考点4 正、余弦定理及解三角形 二夯实三基三础二 圆的半径)，并可由此计算R,r 3.实际问题中的常用角 1.正、余弦定理 (1)仰角和俯角 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视 是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则 线的夹角，目标视线在水平线 叫仰 定理 正弦定理 余弦定理 角，目标视线在水平线 叫俯角（如 图(1) a2 a 公式 sin A 视线 =2R 铅 仰角 线 俯角 水平线 (1)a=2Rsin A,b= 视线 ,c= 图(1) 图(2) (2)sin A= 2R'sin B= cos A= (2)方位角 常见 sinC-2录： cos B= 从正北方向起按 转到目标方向 变形 (3)a:b:c= 线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位 (4)asin B =bsin A, cos C= 角为α（如图(2）). bsin C=csin B,asin C= (3)方向角：正北或正南方向线与目标方 csin A 向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西 1 2.S△4BC=1 2absin C= 1 2ac. 45等. s血B歌-a+叶e)7,是三角花内切 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的 正切值， )>>84<< -三提三升三三能三力三 的对边分别为a,b,c,若a=2√3，c=2,B= 考向1利用正、余弦定理解三角形 吾，则6= () 色典型例题1色 A.2√3 B.3 (2024·福建学业水平合格性考试模拟)已 C.2 D.2√2 知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,a=5,6=8,C=5求c和sinB 2.在△ABC中，a=3,b=6,∠A=,则 ∠B= 【解】由余弦定理，知c2=a2十+b一2 abcos C 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为 =52+82-2X5X8c0s号 a,b,c,a=23,c=2,B=30°. =49, (1)求b; 得c=7. (2)求sinA的值. 由正孩定理，知sin B sin C b 即sinB=bsin C8sin343 7 7 考向2利用正、余弦定理判断三角形形状 所以sinB=4W3 ·典型例题24 ， 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是 【名师点拨】利用正、余弦定理解三角形的 技巧 a,b,c,若a2+-ab=c2且6=√3，则该三 (1)解三角形问题的两重性：①作为三角 角形为 ( 形问题，要注意运用三角形的内角和定理， A.等边三角形 正、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进 B.直角三角形 C.等腰三角形 行边角转化，发现解题的思路；②作为三角变 D.等腰直角三角形 换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三 【解析】由a2十b2-ab=c2,得a2十b 角变换方法和原则都是适用的，注意“三统 c2=ab, 一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是解 决问题的突破口. cosc=a2十一c2=2,.c=3y 2ab (2)正弦定理是一个连比等式，在运用此 定理时，只要知道其比值或等量关系就可以 又6-3，.smC sinB-√3，B<C 通过约分达到解决问题的目的，在解题时要 学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体 思想的运用. 六B=否∴A=元-B-C=2 ◆针对训练1· ∴该三角形为直角三角形 1.(2025·福建检测)△ABC的内角A,B,C 【答案】B )>>85<<< 【名师点拨】判定三角形形状的两种常用途径 在△ACH中，AC=420,∠CAH=30°+ (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为 15°=45°，∠AHC=90°-30°=60° 角，利用三角变换得出三角形内角之间的关 由正孩定型，得nC8 AH S GHC CH 系进行判断. (2)利用正弦定理和余弦定理，化角为 所以CH=AC.sin∠CA-140v6(m). sin∠AHC 边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关 故该仪器的垂直弹射高度CH为140√6m. 系进行判断. ·针对训练2△ 【名师点拨】解三角形应用题的常见情形及 1.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是 方法 a,b,c,且满足4c2十a2=b,则△ABC的形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知 状为 ( 量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或 A.直角三角形 B.钝角三角形 余弦定理求解。 C.锐角三角形 D.等腰三角形 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未 2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需 a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则 作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后 △ABC的形状为 ( 逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从 A.直角三角形 B.锐角三角形 几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得 C.钝角三角形 D.不确定 出所要求的解， 考向3正、余弦定理的实际应用 ·针对训练3· ·典型例题3· 1.已知A,B两地相距10km,B,C两地相距 某气象仪器研究所按以下方 20km,且∠ABC=120°，则A,C两地相距 案测试一种“弹射型”气象观 () 20 测仪器的垂直弹射高度，如 A 5 A.10 km B.10√3km 图，在C处进行该仪器的垂直 C.10√/5km D.10√7km 弹射，观测点A,B两地相距 2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水 100m,∠BAC=60°，在A地 柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 听到弹射声音的时间比B地晚品、A地测 人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶 得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得 端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向 弹射的最高点H的仰角为30°，求该仪器的 前进100m到达点B,在B点测得水柱顶 垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播 端的仰角为30°，则水柱的高度是( 速度为340m/s) A.50m B.100m 【解】由题意，设AC-xm, C.120m D.150m 则BC=x-名X340=(x一409m 3.一艘船以每小时15km的速度向东行驶， 船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶 在△ABC中，由余弦定理，得 4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏 BC=BA2+AC2-2BA·AC 东15°，这时船与灯塔的距离为 cos∠BAC, km. 即(x-40)2=1002+x2-100x, 解得x=420, )>86<< -三学业三达三标二 7.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边为 a,b,c,若ccos B=12,bsin C=5,则 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c= G.已知A=不，6=4，且△ABC的面积为2， 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 则a= 6,已知o5Ao95 A.23 B.√/10 (1)证明：△ABC为等腰三角形； C.2√2 D.6 (2)若a=2,c=3,求sinC的值. 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则C=( A.150° B.120° C.609 D.30° 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若A=5a=2,b=3,则sinB=（ ) A.3√5 B.43 C33 D4⑤ 3 4.某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿 9.(福建学业水平测试)△ABC的内角A,B, 地.经测量，这块三角形空地的两边长分别 C的对边分别为a,b,c,已知cosA= 为32m和68m,它们的夹角是30°.已知改 造费用为50元/m,那么，这块三角形空地 号灰=5 的改造费用为 ( ) (1)求△ABC的面积； A.27200√3元 B.54400√3元 (2)若b+c=6,求a的值. C.27200元 D.54400元 5.在△ABC中，若a=√2，c=2√2，B=30°，则 △ABC的面积为 6.在△ABC中，A=60°，AC=2,BC=√3，则 AB等于 意末综食测 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分）A.一6 B.6 C.-2 D.2 1.已知向量a=(2,3),b=(1,1),则a十b= 3在△ABC中，A=哥，BC-3,AB=√6，则角 A.(3,4) B.(2,3) C等于 C.(1,1) D.(0,0) A或 B.x 2.已知a=(一2,6)，b=(6,x),且a⊥b,则x 等于 () C. D.否 )>>87<< 4.在△ABC中，∠C=90°，AB=(k,1),AC= D.既不充分也不必要条件 (2,3),则实数k的值是 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 B.-5 c D.- a,b,c,若a:b:c=4:5:7,则△ABC为 A.5 () 5.在△ABC中，∠C=60°，AC=2,BC=3,那 A.直角三角形 B.锐角三角形 么AB等于 ( C.钝角三角形 D.等腰三角形 A.√5 B.√6 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） C.√7 D.2√2 13.如图，若AB=a,AC=b,BD=3DC,则向 6.在四边形ABCD中，AB=a十2b,BC= 量AD可用a,b表示为 -4a-b,BD=-9a-4b,其中a,b不共线， 则四边形ABCD为 A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 14.设向量a,b满足|a=|b=1,a·b= 7.与向量d=(12,5)平行的单位向量为 -2则1a+261= A(得 15.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东 60°方向，与A相距6千米处，该船由A处 R() 向正北方向航行8千米到达C处，这时灯 塔B与船相距 千米 c得，品)（路》 16.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(-3, -4),且c=1a十入2b,则入，入2的值分别为 D(+号±8 17.在△ABC中，A=60°，AB=2,AC=3,则 8.(2025·福建检测)已知向量a,b满足a·b △ABC的面积等于 -3,且a=9,则b在a上的投影向量 18.已知a=(2,1)与b=(1,2),要使|a+b 最小，则实数t的值为 为 ( ) 三、解答题（共4个大题，第19~21题各10分， A、43 3 a B4 3 a 第22题12分，共42分) C.-2a D.2a 19.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). 9.已知a,b为单位向量，其夹角为60°，则 设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c, (2a-b)·b= CN=-2b. A.-1B.0 C.1 D.2 (1)求3a+b-3c; 10.已知i=(1,0),j=(0,1),则与2i+3j垂 (2)求满足a=mb十nc的实数m,n的值； 直的向量是 ( (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标. A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j 11.若a,b是两个非零向量，则“a+b=|a b|”是“a⊥b”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 >>>88<< 20,在AABC巾，已知62,625，月=60， 22.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c,(sin B-sin C)2=sin2A-sin B 求C及a. sin C. (1)求A; (2)当a=6时，求其面积的最大值，并判 断此时△ABC的形状. 21.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山 至C处，第一种是从A沿直线步行到C, 第二种是先从A沿索道乘缆车到B,然后 从B沿直线步行到C.某旅客选择第二种 方式下山，山路AC长为1260m,从索道 步行下山到C处时，经测量BC=500m, cos A=12 最osC-号求索道AB的长。 )>>89<<<求得绶-若≤≤绶+登，k∈Z, 故g()=2sim(2x-号）-1在区间[0，受]上的值域为 故f()的单调递增区间为[经-吾，经+竞]，k∈乙 [-3-1,1], (2)将函数f()的图象向右平移个单位长度， 若函数F()=g()十k在区间[0，受]上有且只有一个 零点， 可得y=2sim(4x-受+否）-1=2sin(4z-号）-1的 由题意可知，函数g(）=2sin(2x-号)-1的图象和直 图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 线y=一k有且只有一个交点， 标不变)，得到函数g()=2sin(2x-于）-1的图象。 根据图象（图略）可知，k=-1或1一√3<k≤√3十1. “xe[,受]2z-晋∈[-晋，]， 故实数的取值范围是{-1U(1-√3，√3+1]. sim(2x晋)[-1]， 第七章 平面向量及其应用 考点1平面向量的概念与线性运算 2.A【解析】由题意，得B心-B砣+心=b+AC=b+ 夯实基础 1.0相同相反平行相等相同相等相反 是A+D0=b+2a+}B成， 2.b+aa十(b十c)a川a相同相反0aa十 即BC-b叶2a+d aa十b 3.b=a 解得BC=号a+专b, 提升能力 3.2+b【解析】花=A市+D成=A迹+2D心=市+ 针对训练1 1.A 2a迹=2+b 2.B【解析】a为任一非零向量，所以|a>0,故③正确；由 针对训练3 向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误。 故选B. 1C【解析】0中b=-2a:⑤中a=2b:④中=-号a: 3.(1)7(2)2(3)9(4)BD【解析】(1)：AE∥CD,∴与 ②中a与b不存在实数λ，使a=b,a与b不共线. AB共线的向量有Ci,DC,BA,BE,E克，AE,EA,共7个. 2.一号【解析】因为A,B,D三点共线， (2)由正方形ABCD和等腰直角三角形BCE知，AB Dd=B配，有2个. 故存在一个实数入，使得AB=入BD, AB-=3e+2ez,CB=ke:+ez,CD=3e-2ke2, (3)与边长AB相等的线段有AD,DC,CB,BE,AB,每 所以Bd=Ci-C克=3e-2ke2-(ke,十e2) 条线段可以产生两个模相等的向量，除去向量AB,共有 =(3-k)e-(2k+1)e2, 2×5-1=9(个) 所以3e+2e2=(3-b)e-λ(2k+1)e2, (4).四边形ABCD为正方形， 3=λ(3一k), .'DC LAB. 所以{ 2=-λ(2k+1) 解得及=一是 ..DCLBE. 学业达标 又.DC=CB=BE, 1.C【解析】如图，a=AD+D=一2e十e,故选C. ∴.四边形CDBE是平行四边形， .EC LBD,∴.EC-Bd. 针对训练2 1.D【解析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质， 有A成i=2A+Ad.故选D 29 2.C【解析】由向量加法的三角形法则， 可得Ci+AB+BD=Ci. 号+号A心 3.D【解析】对于A项，DA-D心-CA,错误； 2.D【解桥】因为AB=A+NB=AN+C亦=A衣+ 对于B项，DA+DC-2DO,错误； (CA+AN)-2AN+CM+MA-2AN-1 AB-AM, 对于C项，OA-Oi+AD=BA+AD-BD,错误； 对于D项，AO+OB+BC-AB+BC=AC,正确，故选D. 所以A店=衣-号A成，所以+=手 4.C【解析】a,b均为非零向量，则 3.D【解析】因为点B,M,F三点共线，则存在实数t,使得 “a∥6”时，“a与b的方向相同或相反”，充分性不成立； A=(1-0A+A立.由题意知A店=2A壶，A市=号A花， “a与b的方向相同”时，“a∥b”,必要性成立. 所以是必要不充分条件. 则Ai=2(1-)A忘+号A花因为点C,M,E三点共线，所 5.B【解析】：AC-AB+BC=AB+b, BD=BA+AD=-AB+a. 以21-0+号=1，=号，所以=吾=号 3 ..AC+BD=AB+b+(-AB+a)=a+b. 针对训练2 6.A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定 1.D【解析】AB=(4-1,5-2)=(3,3). 相同，故①错误； 2.A【解析】因为a=(2,1),b=(0,1), 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量， 所以a一b=(2,0): 故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误； 3.(-1,-) 【解析】设P(x,y),则M=(x-3,y十2)， 对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们 M=(-8,1), 的起点和终点不一定相同，故④错误； ∴Mp=2=2(-8,10=(-4,号)月 对于⑤，当b=0时，a∥b,b∥c,则a与c不一定平行. 综上，以上正确的命题个数是0. x-3=-4,x=-1, 故选A 1解得 y+2=2, =-3 y=-2 (条) 【解析】设与π方向相同的单位向量是a, 针对训练3 则a=r,则|a=xl, 1.A【解析】因为向量a=(2,x),b=(-2,1),且a∥b, 即1=|λ√52+12=13|， 所以2×1一x×(一2)=0，解得x=一1. 2.A【解析)：AB-OB-OA=(3,1), 即=则入=士，由方向相同可得入一， O元-(m,m+1), 则a=x=点6,12)=（最）， 若A范/0亡则m=3(m十1D,解得m=-子 8.2【解析】由平行四边形法则有A店+AD=AC=2AO,已 3.D【解析】AB=O克-OA=(4-,-7), 知AB+AD=λA0,所以1=2. AC=O元-OA=(-2k,-2). 考点2平面向量的基本定理与坐标表示 A,B,C三点共线， 夯实基础 AB,AC共线， 1.不共线有且只有1十22 ÷-2X4一)=-7X(-20,解得=一号 2.互相垂直 3.(1)(十21十)(-1-2)(x,M) 学业达标 1.A【解析】由题得，a十b=(2,0)+(-1,2)=(2+(-1), √x十y 0+2)=(1,2).故选A (2)②(x2-x1,2一当)√(x2-1)2+(h-M)7 2.D【解析】A范-Oi-Oi=(-2,4)-(2,1)=(-4,3), 4.1次-x2M=0 所以1AB1=√(-4)2+32=5. 提升能力 针对训练1 3.D【解析】设D(x,y),因为AD=BC, 1.B【解析】，点M是线段BC上靠近B的三等分点， 所以(x-5,y+1)=(2,-5), 所以x=7,y=-6. “A脑-=A砧+B脑-范+}B元-店+号AC-本 所以D(7,一6). 30 4.C【解析】在△ABC中，M是AB边所在直线上任 (2)abcos 0 lal b cos 0 意一点， 2.(1)西2十为边(2)√十听(3) 工十边h ∴存在实数，使得AM=uM, √好十好·√场十 即CM-CA=(CB-C. (4)xx2十M为=0 化简得成=中i+车成， 3.(3)a·c+b·c 提升能力 :CM=-2CA+λCB, 针对训练1 -2 1.A【解析】，a一2b+c=0,向量a=(1,一2)，b=(2,1), 结合平面向量基本定理，得 .c=2b-a=(4,2)-(1,-2)=(3,4), .a·c=1×3-2×4=-5. 解得=3=一是 2.D【解析BA·AD=(BC+CA)·(AC+C -BC.AC+BC.CD+CA.AC+CA.CD 5.一6【解析】b∥a→1×m-3×(-2)=0,则m=-6. =0十4×2Xc0sx+3×3×cos元十0=-17. 6.√2【解析】由AC为平行四边形ABCD的一条对角线， 针对训练2 ..AB+AD-AC, 1.A【解析】若a=(2,0),b=(-1,1), 即AD=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), -2 则AD1=√(-1)2+(-1)2=√2. 则oa=8治-x是D年司 7.号【解析】如图所示，由B心=4CD可知，B,C,D三点在 2.B【解析】，(a-b)⊥a,∴.(a-b)·a=0, .ab=2=2,cos<a,b)=a.b-22-2 a·b=2=2 同一直线上，图形如下： (a,b》∈[0，]a,b=, 3.1【解析因为a⊥b,所以a·b=0, 所以一1×2+2t=0,所以t=1. 根据题意及图形，可得 针对训练3 A=AC+C市=AC+十C-AC+子(A花-AB)= 1.B【解析】a+bl=√a+2a·b+ A心-A成， V1+2×1×1×cos5+1=5. 2.士4【解析】因为AB=(k,3), 4 所以AB1=√R+3=5, :A市=令A+←A花， 解得 =5, 解得飞=士4. 4 =5, 3./17【解析】c=2a+b=2(1,1)+(2,1)=(4,-1), 则x+4=(-3)+5=号， lc=√17. 8.-子【解析：正-+B成-店+}B武， 针对训练4 1.[1,√13]【解析：t∈[-√3,2]，.a-tb=|(1,w3)- AB=D元-BC-Bi, (0,t)1=|(1,w3-t)|-√1+(W3-t)2∈[1，√13]. A正-B心-BD+}BC-BD+4B心， 2.11【解析】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图 由A花=xò+yB心，得x=-1y=专， 所示. 考点3平面向量的数量积及其应用 夯实基础 1.(1)0°180 则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 31 设E(1,a)(0≤a≤1). 2.号6 csin A 所以DE.CB=(1,a·(1,0)=1, D2.DC-(1,a)·(0,1)=a≤1， 3.(1)上方下方(2)顺时针 故DE·DC的最大值为1 提升能力 学业达标 针对训练1 1.B【解析】正方形ABCD的边长为1，则BD.·BC= 1C〖解析a=2√3，c=2,B=否， d·[Be(B，动BO-2X1×号=1.故选B 则B=a2+2-2acsB=(23)2+2-2X2/3×2X气 3 2.D【解析】由题意，a=(6,2),b=(-2,1), =4,解得b=2. 则a在6上的投影向量为合合=一生2.（一2， 5 2.圣【解析】根据品A品B =(4,-2). 3.A【解析】设非零向量a,b满足a十b=a一b, 得B-i血4_6sm经 .|a+b1=a-b2, a 3 ∴.a2+b+2a·b=a2+b-2a·b, ∴血B-厚∠B=弄或∠B=要 .4a…b=0,.a…b=0,.aLb. 4.B【解析】对于A项，1×2-0×1≠0，错误；对于B项， 又a>b,∠A>∠B,∠B=T 2a-b=(2,0),b=(0,2),则2X0+0×2=0→(2a-b)1 3.【解】(1)由余弦定理，得仔=a2+2-2 accos B=12+4- b,正确；对于C项，a=√2，|b|=2,错误；对于D项， 83×5=4,所以6=2. 2 a·b=1×0+1×2=2,错误.故选B. 5.0【解析】由题得，a·b=|a|·|bcos90°=√3×2X (②由正孩定理A=品B得名=0，所以 b 0=0. 66【解析】因为CA=C+BA=C-AB=(-3,3) 2A-2月x子，所以血A-停 (W3,3)=(-2√5,0)， 针对训练2 所以CA.C3=(-23,0)·(-3,3)=6. 1.B【解析】在△ABC中，4c2十a2=形， 故答案为6. 由余弦定理得？=42十d2=d+2-2 accos B,则3c2= 7.√13【解析】a=2,|b=3,a,b的夹角为120°，则|2a+bl 2accos B>0, 因此cosB<0,即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形. -√4a+4a…b+F√16+4×2×3×(-2)+9 2.A【解析】由正弦定理，得sin Bcos C十sin Ccos B =√/13. =sin2A, 8.8【解析】在△ABC中，AC1=3,1AB=5,D是BC边 .∴.sin(B+C)=sinA, 的中点，则AD.C店=号(A店+AC·(A-AC)= sin(-A)=sinA,sin A=sin2A. A∈(0，x),sinA>0.sinA=1,即A=F. 2(A亦-AC)=2×(25-9)=8. △ABC是直角三角形. 考点4正、余弦定理及解三角形 针对训练3 夯实基础 1.D【解析】AC2=AB+BC-2AB·BCcos120°=700， 1.sim B sin C2bcos A a-2cacos B b 所以AC=10√7km. 2abc0s C 2Rsin B 2Rsin C 2.A【解析】设水柱高度是h,水柱底端为C,则在△ABC 中，∠BAC=60°，AC=h,AB=100,BC=√3h,根据余弦定 sin A:sin B:sin Caa 理得，(W3h)2=+1002-2·h·100·cos60°，即2+ 2bc 2ac 50h-5000=0,即(h-50)(h十100)=0，解得h=50(负值 a2+-c2 2ab 舍去)，故水柱的高度是50m. 32 3.30V2【解析】如图所示，AC=15× 北 B ∴.△ABC为等腰三角形 4159 4=60,∠BAC=30°，∠B=45°， 乐 (2)【解】由(1)知a=b=2, BC 在△ABC中，si45-sin30, 60 根据余弦定理，得cosC=2十？c一一1】 2ab 8’ 所以BC=30√2km. .0C<π 学业达标 sin C-1-cos C37 8 1.B【解析1S-26sinA>c=E, 9.【解1)：A是△ABC的内角，即A∈(0，)，osA=号， 由c08A=2+B心，5=18-是>2=103a=V10. 2bc 28√2 ∴sinA=V-cog3A=手 2.B【解析】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, 又c=5,5c=2 esinA=X5X号-2 b,c,若a=3,b=5,c=7, 则C=+”之-939-=是 (2油osA8+4=号c=5,可得6+-d心=6， 2bc 2ab 2×3×5 所以C=120. 由bc=5,b+c=6,可得B+c2=(b+c)2-2bc=26. 26-a2=6,解得a=2√5. 3.C【解析】A=牙，a=2,b=3, 章末综合测试 由正弦定理，得A品B b 1.A【解析】由题意，得a+b=(2+1,3+1)=(3,4). 则sinB=sin43 2.D【解析】因为a=(-2,6),b=(6,x),且a⊥b, =33 a 2 4 所以a·b=一12十6x=0,解得x=2. 4.C【解折】S=2×32X68×sm30=54(m). 3.C【解析】由正弦定理，得BC=AB sin A sin C' 故费用为544×50=27200（元）. 5.1【解析】由a=√2，c=2√2，B=30°， '.sin C-AB.sinA6x 2=2 BC 3=2’ 则S%c=号sinB=号X2X2v2X号-1. :0<c<号 6.1【解析】由余弦定理，得(W3)2=AB+2一2AB×2cos60°， C-平 即AB-2AB+1=0,.∴.AB=1. 故选C 7.13【解析】：sinC-5,又sin Bsin C' b 4.A【解析】由已知，得B武=AC-AB=(2,3)-(k,1)= 'csin B-5,'.sin B-5 (2-k,2),而∠C=90°，AC.BC=0, 即2(2-k)十2×3=0，解得k=5,故选A. 由cc0sB=12,cosB=12 5.C【解析】，∠C=60°，AC=2,BC=3, 由余弦定理，得AB= ∴(5)‘+(2）)°=simB+coe2B=1, √/AC+BC-2AC·BC·cosC= 解得c=13. V4+9-2x2×3×2=7. &1【证明]”As品B即号-欲含 b b sin B' 故选C Ao3Br即号-合 a b 6.A【解析】因为AD=AB+BD=-8a-2b,BC=-4a b,AD=2BC,所以AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形 鼎含器含 ABCD为梯形. .'tan A=tan B, 7.C【解析】与向量d=(12,5)平行的单位向量为司d- :∠A和∠B在△ABC内， ∴.∠A=∠B, ×12,)=(货最)或-日4=-点×(125) (-号，-)，故选C 19.【解】由已知，得a=(5,一5)，b=(一6，一3)，c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42) &.B【解析1a·b=3,且la= (2).mb+c=(-6m十n,-3m+8n)=(5,-5), 2 则B在a上的投影向量为×日-。-。 ÷{6加士-5。解得m1 1-3m+8n=-5, 八n=-1. (3)设0为坐标原点， 9.B【解析】(2a一b)·b=2a·b-b2=2a|bcos60°- .CM-OM-OC=3c, b2=0. ∴.OM=3c+0C-(3,24)+(-3,-4)=(0,20). 10.C【解析】2i+3j=(2,3),C中-3i+2j=(-3,2).因 ∴.M(0,20). 为2×（一3）+3×2=0，所以2i+3i与一3i+2i垂直. 又.Ci=Oi-O元--2b, 11.C【解析】a十b=|a-b两边平方，得a2+2a·b+ .ON=-2b+OC-(12,6)+(-3,-4)=(9,2), .N(9,2), =a2-2a·b+,即a·b=0,所以a⊥b,故“|a十b= |a一b”是“a⊥b”的充要条件，故选C. M=(9,-18) 12.C【解析】由a:b:c=4:5：7,知最大角为C, 20解：(1)由题得，由正弦定理，得品BC代人，得 :cosC=Q2+2-c=16+25-49=-1, 2W3 2ab 40 5 2 3 由于6osC-吉<0,0C<x √3 snC解得si血C-7,因为0<C<,所以C=30 “变<C<m, (2)由余弦定理B=,得名= ∴.△ABC为钝角三角形. 故选C d+(2)-2 2aX23 解得a=43 3 13.寻a+子b【解析】rBi=3D心，∴.Aò-A店=3(AC 3 AD,Ai-4Ai+子A花-a+a 21.【解在△ABC中，cosA=号osC=号， 14.V3【解析】由于|a+2b2=a2+4a·b+4=3,所以 mA=mC=号， |a+2bl=3. sin B=sin[-(A+C)]=sin(A++C)=sin Acos C+ 15.2√13【解析】在△ABC中，AC=8,BA=6, ∠BAC=60°， 则CB=√AC+AB2-2AB·AC·cos60°= 由正弦定理，得。- √64+36-2x6×8×号=2V13千米。 则AB-ACS-120×号-1040(m, sin B 63 65 则索道AB的长为1040m 22.【解】(1)根据题意， (sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C, 由正弦定理，可得(b-c)2=a2-bc, 16.1,一2【解析】因为c=入1a+2b,则有（一3，一4）=入1(1， 变形可得+2-a2=bc, 2)+λ2(2,3)=（入1+2λ2,2λ1+32）， 则osA十d=, 所以+2%=- 2bc 2λ1+3入2=-4 ,解得， λ2=-2. 又由0<A<元，则A=令 1n.35【解标1△ABC的面积=合×2X3Xs血60-39 (2)根据题意，若a=6,则a2=十2-2 bccos A 2· =8十2-bc=36,变形可得bc≤36， 18.一号〖解析a叶b=√a+b乎=V+2za·b叶tB= 则有S=弓snA=<95, 5+82+5,当1=-号时，a+b最小 当且仅当b=c时等号成立，此时△ABC为等边三角形.