第6章 三角函数-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

第六章三角函数 赢%在%考情精析烧 考点 课标解读 三角函数的有 1.任意角的概念、弧度制 关概念、同角 (1)了解任意角的概念. 三角函数关系 (2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 及诱导公式 2.三角函数 (1)理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义， (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出受士a,元士。的正弦、余弦、正切 的诱导公式，能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数 的周期性. 三角函数的性 (3)理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质（如单调性、最大值和最 质及应用 小值以及与x轴的交点等).理解正切函数在区间（一受，及）上的单调性。 (4)理解同角三角函数的基本关系式： sin x+cos'x=1,sin z=tan x. cos x (5)了解函数y=Asin(wx十p)的物理意义，能画出y=Asin(awx十p)的图 象，了解参数A,w,φ对函数图象变化的影响. 三角函数的图 (6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解 象及变换 决一些简单实际问题. 3.三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 ③能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导 三角恒等变换 出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积 半角公式，但对这三组公式不要求记忆). )>>58<<< 赢在考点训练% 考点1 三角函数的有关概念、同角三角函数关系及诱导公式 三夯三三实三基三础三 5.诱导公式 函数 1.任意角 角 正弦 余弦 正切 (1)象限角的集合： 2kπ十a sin a cos a tan a 第一象限角： π十a 第二象限角： r一a 第三象限角： a 第四象限角： (2)终边相同的角 sin(悟+a 所有与角α终边相同的角，连同角α在 内，构成的角的集合是{βB= cos(2+a)- }. 2.弧度制 sin(段-a) (1)弧度制的定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1 cos(段-aj= 弧度角 三提升三三三能三力二 180°= rad;l°= rad; 1 rad= ≈57.3° 考向1三角函数的定义及应用 (2)弧长公式：l= (a是圆心角的弧 ·典型例题1心 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 度数) 轴的非负半轴重合，终边经过P(1,√3)，则 (3)扇形面积公式：S= tana的值为 () R日 3.任意角的三角函数 A号 (1)三角函数的定义 a D.√3 设P(x,y)是角a终边上任一点，且OP|=r (r0), 【解析】由题鸯得，ana=兰-停-反故 则sina= cos a- 选D. tan a= 【答案】D (2)三角函数的符号：一全正，二正弦，三 【名师点拨】利用三角函数的定义，求一个角的 正切，四余弦， 三角函数值，需确定三个量：①角的终边上任 4.同角三角函数的基本关系 意一个异于原点的点的横坐标x;②纵坐标y; (1)平方关系： ③该点到原点的距离x.若题目中已知角的终 (2)商数关系： +,k∈Z 边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点 有两种情况（点所在象限不同）. )>>59<<( ·针对训练1色 tan20+tan0-2_22+2-2_4 1.若角0的终边经过点（一2,3），则sin0= tan20+1 22+1-5 ( (2)由 sina-cosa=√2， A.-is/13 R-品丽 sin2a+cos2a=1, 得2cos2a十2√2cosa十1=0， c D./13 即(W2c0sa十1)2=0，∴cosa=-Y 2 2.已知点P(cosa,tana)在第三象限，则角a 的终边在 ) 又a∈(0，r),a=3年.tana=tan3r= 4” A.第一象限 B.第二象限 -1. C.第三象限 D.第四象限 【答案】(1)D(2)A 3.已知角α的终边上一点P与点A(-3,2) 关于y轴对称，角B的终边上一点Q与点 【名师点拨】(1)利用sina十cos2a=1可以实 A关于原点对称，求sina十sinB的值 现角。的正弦、余弦的互化，利用sna= cos a tana可以实现角a的弦切互化.(2)应用公式 时注意方程思想的应用：对于sina十cosa, sin acos a,sina一cosa这三个式子，利用 (sina士cosa)2=1土2 sin acos a,可以知一 求二 之针对训练2。 1.(2025·福建期末)已知sin0+cos0= 2 考向2同角三角函数关系式的应用 则sin0cos0= 色典型例题2之 A日 (1)已知tan0=2,则sin0+sin0cos0- 2cos20= ( ) Ca u A青 B5 2.(福建学业水平考试)已知α是第一象限角， 4 c.-3 n青 且sina=号，则cosa= (2)已知sina-cosa=√2，a∈(0，π)，则 A-昌 B tan a ( c- D.3 A.-1 3.已知cosa=2,且角a在第四象限，则 c号 D.1 sin a= 【解析】(1)由于tan0=2,则sin0+sin0· 4.已知tan0=3,则sin0-cos0 cos02cossinsin Ocos 2co sin 0+cos 0 sin20cos20 )>>60<< 考向3诱导公式及其应用 ◆针对训练34 色典型例题3 1已知sin(受十a)-3,则cos。 () 已知f(a)= sin(a-3x)cos(2x-a)sin(a+) 3π 4分 cos(-π-a)sin(-π-a) (1)化简f(a); c D.-22 3 (2)若a是第三象限的角，且cos(。一） 2.设cos(π十a)= (<x,那么 2 号求fa)的值； cos(2π一a)的值是 (3)若。=3，求fa的值 A-司 R号 C.-3 D.2 【解】(1)f(a) sin(a-3x)cos(2x-a)sina 3.已知cosa=3则sm(a-到os(受+a): 2 cos(一π-a)sin(-元-a) tan(π-a)= =-sina)·cos&·(-cosa) (-cosa)·sina cos a. 4若如晋-则m (2)因为cos(a-2) -sin a, 三学三三业三达三标三 1 所以sina=一 1.(2025·福建期末)已知cos0tan0>0,那 又a是第三象限的角， 么角0是 () 所以=--2 A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 5 C.第三、四象限角 D.第一、四象限角 所以fa)=26 2.若0是△ABC的一个内角，且sin0cos0= 5 8)国为号-6X2x+ 8,则sin0-cos0的值为 () 3, 所以f(-3）=-o(-3） A B③ C.- 2 D⑤ cos(-6X2x+）=-0s5- 3.sin(-6） 11π ( ) 3 A.1 B.0 C.-1 所以fa)=一是 n号 【名师点拨】用诱导公式化简三角函数的步骤 4.已知△ABC中，tanA= 2,那么cosA= (1)将负角的三角函数化为正角的三角 ( 函数. (2)将正角的三角函数化为0~2π的角 A号 a高 c- D是 的三角函数 5.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的 (3)最后化为锐角的三角函数. 正半轴，终边过点P(W5,一2)，则下列等式 )>>6①<<< 不正确的一项是 ( cos a- A.sin a=- 2 B.sin(@+x)=2 7.若sin(受-0)-弓，且0<0<，则tan0 Css-号 D.tan a=- 2 8.已知sin(π十a)= 6.(福建学业水平测试)已知角α的顶点与坐 号，且a是第四象限角，则 标原点重合，终边经过点P(4,一3)，则 cos(a一2π)的值是 考点2 三角函数的性质及其应用 三夯三实三基三础三 -三提升三能三力三 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的 考向1三角函数的单调性 简图 色典型例题1心 (1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象 求下列函数的单调递增区间： 中，五个关键点是：(0,0)，（受1，(x,0), (1)y-sin(-2); (2r,0) (2)y=log sin x. (2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图 【解】1)：y=sin-x)=-sin(z-) 象中，五个关键点是：(0,1)，（受0， ∴函数y=sin否-x的单调递增区间就 ,(,0,(2x,1D. 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 是函数4=sin(z一晋)的单调递减区间。 (下表中k∈Z) 由2km+≤x-晋<2k十，长Z, 函数 y=sin x y=cos x y=tan x y y 得2x+≤<2kx+季kcZ 图象 T 。所求函数的单调递增区间为 [2x+g,2x+],ez 定义域 农 (2)由sinx>0,得2kπ<x<2kπ十π，k∈Z. 值域 R 周期性 2n 03<1, 奇偶性 奇函数 '.函数y=log:sinx的单调递增区间即为 递增 t=sinx的单调递减区间， 区间 递减 无 ∴2km十≤<2kr十x,∈乙 区间 对称 ∴.函数y=log影sinx的单调递增区间为 中心 (,0) 对称轴 2kπ十，2kπ十x,k∈Z。 无 方程 )>)2<< 【名师点拨】求与正弦、余弦函数有关的单调区 此时当sinx=-1,即x=2kr十，k∈Z 间的策略 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它 时，f(x)取最大值. 们的单调区间. 【名师点拨】求三角函数值域的方法 (2)求y=Asin(wx+p)(w>0)的单调区 (I)形如y=asin x十bcos x十c的三角 间时，利用整体代换，把ωx十p代入相应不 函数化为y=Asin(wx十p)+k的形式，再求 等式中，求解相应的变量x的取值范围. 最值（值域）， (3)求复合函数的单调区间时，要先求定 (2)形如y=asin2x十bsin x十c的三角 义域，同时还要遵循“同增异减”法则 函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函 ◆针对训练1色 数求值域（最值） 色针对训练2一 1.函数f()=snx,x∈[0，]的单调递增 1.(2025·福建期末)y=cos(x-)在[0，] 区间是 上的值域为 ( ) A[o,别 B.[0,π] A[-3] [合 c[] n[,] c[] D[ 2.函数y=3cos(5-2x)的单调递减区间 2.若函数y=asin x-十1的最大值是3，则它的 是 最小值为 3.sin 2π sin(-8） 15r 3.函数f(x)=sin(x十p)一2 sin cos x的最 (填“>”或 大值是 “<”). 考向3三角函数的奇偶性、周期性和对称性 考向2三角函数的值域及最值 ·典型例题3· 之典型例题2· (1)若函数f(x)=sin十2（∈[0,2x])是 3 设f(x)=/1-2sinx. 偶函数，则p= (1)求f(x)的定义域； (2)求f(x)的值域及取最大值时x的值， A. R受 【解】1)由1-2sim≥0，得sin≤2 C.3x 2 n臀 由正弦函数图象可知f(x)的定义域为 (2)函数y=sin a2+8≤≤2+1g,kez (2z+)的最小正周期 为 (2)由(1)知simx[-1,2], 【解析】1)已知f代0)=sin9是偶函数，可 .1-2sinx∈[0,3]. 得号-+受，即p=m+经∈刀.又g ∴w1-2sinx∈[0，W],即f(x)的值域为 [0,W3]. [0,2],所以g经故选C )>>63<<< (2)函数y=sin(2x十不)的最小正周期为T A点(0对称 B.直线x=牙对称 C点（年，0对称 D.直线x=对称 【答案】(1)C(2)π -二学业三三达三三标二 【名师点拨】三角函数的奇偶性、周期性和对称 1.若函数f(x)=4 sin xcos x,则f(x)的最大 性的处理方法 值和最小正周期分别为 ( (1)若f(x)=Asin(ωx十p)为偶函数，则 A.2和元 B.4和π p-kr十(k∈Z),同时，当x=0时，f(x)取 C.2和2π D.4和2π 得最大值或最小值；若f(x)=Asin(awz十p) 2.函数fa)=-cos2(任-x)的单调递增区 为奇函数，则p=kπ(k∈Z),同时，当x=0 间是 时，f(x)=0. (2)求三角函数的最小正周期，一般先通过 A[2kr-5,2kx+8],k∈Z 恒等变形化为y=Asin(ux十p),y=Acos(wx+十 9),y=Atan(x十p)的形式，再应用公式T= B[2kr+经，2kx+],k∈Z 行T-舒，1高分别求解 C[x+Fkm+还]，keZ (3)对于函数y=Asin(wx+p),其对称 D[m至，m+],k∈z 轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中 3.函数y=4cos2x十4cosx一2的值域是 心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断 直线x=x或点(xo,0)是不是函数的对称轴 A.[-2,6] B.[-3,6] 或对称中心时，可通过检验f(xo)的值进行 C.[-2,4] D.[-3,8] 判断. 4函数f)=7sin(号x+1)是 /2 ◆针对训练34 A.周期为3π的偶函数 1.函数f(x)=cos(于-2x)的最小正周期T B.周期为2π的奇函数 = ( C.周期为3π的奇函数 A.2π B.x D.周期为的偶函数 C. D至 5.f(x)=cos2x的最小正周期为 2.若函数f(x)=sin(x十o)(p∈[0，π])是偶 6.(2025·福建检测)函数y=3cos(2x十5) 函数，则o= 的单调减区间为 A B 7.实验室某一天的温度（单位：℃）随时间（单 c 位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)= D.元 4sim(8t-）,e[o,24]. 3.函数y=sin(2x+)的图象关于() (1)求实验室这一天上午10点的温度； )>64<<< (2)当t为何值时，这一天中实验室的温度8.已知函数f(x)=sin2x. 最低. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2)若0满足f(号)=号，求f0+)的值 考点3 三角函数的图象及其变换 三夯三实三基三三础三 2.函数y=Asin(wx+p)中各量的物 理意义 1.“五点法”作函数y=Asin(wx+p) 当函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0), (A>0,w>0)的简图 x∈[0，十∞)表示简谐振动时，几个相关的概 “五点法”作图的五点是在一个周期内的 念如下表： 最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图 的一般步骤： 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 (1)定点：如下表所示. y=Asin(ux十 p)(A>0,w> T- f= x 0),x∈[0，十+∞) wx十9 3.函数y=sinx的图象经变换得到y= y= Asin(wc十p)的图象的两种途径 0 A 0 A 0 Asin(x十p】 © 画田y=sinx的图象 画出y=sinx的图象 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键 向左右)平移 个单位 y 横坐标变为 原来的倍 点，用平滑的曲线顺次连接得到y= 得到y=sinc+9的图象 →得到y=sin wx的图象 Asin(wx十p)在一个周期内的图象. 横坐标变为 原来的倍 2 向左()平移 个单位 步 (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩 得到y=sin(owx+p的图象+ 得到y=sin(ox+p)的图象 3 展可得y=Asin(wx十p)在R上的图象， 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 步 得到y=Asin(@x+的图象 得到y=Asin(ox+p)的图象 4 )>>65<<< 三提三升三能三力三 【名师点拨】已知图象求y=Asin(awx十p) (A>0,w>0)的方法 考向1由图象求y=Asin(awx十p)的解析式 方法一：如果从图象可确定振幅和周期， ◆典型例题1心 则可直接确定函数表达式y=Asin(wx十p) 函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,w>0, 中的参数A和ω，再选取“第一个零点”（即五 |<π)的部分图象如图所示，则函数f(x) 点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx十P 的解析式为 0”(要注意正确判断哪一个点是“第一个零 y 点”)求得 方法二：通过若干特殊点代入函数表达 式，可以求得相关待定系数A,w,9.依据五点 列表法原理，点的序号与所列式子的关系如 下：“第一点”为wx十p=0;“第二点”为ax十 【解析】由题图可知A=√2， p-5,“第三点”为x十g=元；“第四点”为 方法-：军-语一看=至，所以T=,故 r十p-受，“第五点”为ux十9一2 w=2, 色针对训练14 1.已知函数f(x)=Acos(aωc十p)的图象如图所 因此f(x)=2sin(2x+p,又（得，0）对应 示，)=- ，则f0) ) 五点法作图中的第三个点，因此2×否十 p=π，所以9=，故f(x) w2sin(2z+5）): A-号 B一司 c号 D.Z 方法二：以(5,0)为第二个“零点”，2.如图是函数y=2sin(ux十p)(ll<5)的 (一)为最小值点， 图象，那么 () w· 3十p=π， 列方程组 7+ 3π w·12+p=2 w=2, A.o-10 解得 9-等 10 Bw=品9=- 6 故f)=√2sin(2x+5)】 C.w=2,p=6 元 【答案】v2sin(2z+5) D.w=2,p=-晋 )>>66<<< 考向2三角函数图象的变换及其应用 A向左平行移动个单位长度 c典型例题2· 将函数f化)=-sin(or十p(o>0,一吾≤受 B向右平行移动个单位长度 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵 C向左平行移动个单位长度 坐标不变，再向右平移晋个单位长度得到 D.向右平行移动5个单位长度 y=sinz的图象，则f(） 3.要得到函数y=cos(2x-平)的图象，且使 【解析】把函数)y一sinx的图象向左平移个 平移的距离最短，则需将函数y=sin2x的 图象向 平移 个单位即可. 单位长度得到y=sinx十)的图象，再把函 二学三业三达三标子 数y=sin(x十石)的图象上每一点的横坐标 1为了得到函数f(x)=sin(z十)的图象， 伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 只需把正弦曲线上所有的点 f(x)=sin(2x十)的图象。 A向左平行移动。个单位长度 所以f）=m(×+)=m-号 B向右平行移动号个单位长度 【答案)号 C向左平行移动答个单位长度 【名师点拨】三角函数图象的变换方法 主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平 D.向右平行移动答个单位长度 移.值得注意的是，对于三角函数图象的平移 2.(2024·福建学业水平合格性考试)为了得到y 变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并 os(x一)的图象，只需把余弦曲线上所有 且在变换过程中只变换其自变量x,如果x的 的点 系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平 移的单位长度和方向.如果不是同名函数，则 A向左平移牙个单位长度 要变为同名函数 B向右平移牙个单位长度 色针对训练2一 1.函数y=sin wx的图象可以看作是把函数y C向左平移个单位长度 =sinx的图象上所有点的纵坐标保持不 D,向右平移个单位长度 变，横坐标缩短到原来的2而得到，那么ω 的值为 ( 3.将函数f(x)=cos(2x一)图象上的所有点的 A.4 B.2 C.2 D.3 横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向 右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象， 2.为了得到函数y=cos(x十)的图象，只要 把余弦曲线上所有的点 则() B号 C.fx)=cos(2x+5》 c D.1 D.fx)=cos(4x+若) 4将函数y=3sinx的图象向右平移5个单位 6.若将函数f(x)=sin2x十cos2x的图象向 右平移φ(>0)个单位，所得图象关于原点 长度，所得图象对应的函数 ( 对称，则φ的最小值 ) A在区间[受，】 上单调递减 A. B c.晋 D B,在区间[0，]上单调递增 7.若函数y=sin(2x十p)(-π<gp<π)的图象 C.在区间[0，π]上单调递减 向右平移晋个单位后，与函数y-sin(2x一) D.在区间[0，π]上单调递增 的图象重合，则φ的值为 () 5.如图，函数f(x)的图象是由正弦曲线或余 A-5 B-否 C D.3 弦曲线经过变换得到的，则f(x)的解析式 可以是 8.函数y=sinx一√3cosx的图象可由函数 y=2sinx的图象至少向右平移 个 单位长度得到. 9.函数f(x)=Asin(wx+p)的部分图象如图 所示，其中A>0,w>0,0<9<受，则w -1 sin o- A.f(z)-sin(2z+) y B.f(z)-sin(4x+) 考点4 三角恒等变换 三夯三实三基三础三 2.二倍角公式 sin 2a= 1.和、差角公式 tan 2a= sin(a+B)= cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a -1 sin(a-B)- 1-2sin2a. cos(a十B)= 3.半角公式 cos(a-B)= tan(a+B)- tan a+tan B tan号-i于osa sin a1-cos a sin a 1-tan atan 4.降幂公式 tan a-tan B sin acos a- tan(a-B)- 1+tan atan B sin2a= )>>68<< cos2a- 色针对训练1色 5.辅助角公式 1.v3sin登cos受的值是 asin x+bcos x- ·sin(x十p, 6 a A√2 B.√3 其中sinp √a2+b ,C0s9= √a2+b C.-√2 Dsin71 -三提三升三能三力三 考向1三角函数式的化简与求值 2.2025·建期中)若c0s(受-。）=，则 ·典型例题1心 c0s(π-2a)= () 已知tana=2. A.一4 9 ()求tan(a+至)的值； D4② sin 2a ca 9 (2)sinsin acosacos 21 的值. 3.cos-sin π 8 tan a+tan 【解】1)tane+） 4 1-tan atan 4 4已知a为第二象限角，sma=多，则m2a tan a+1_2+1_ 1-tan a 1-2 =-3. 考向2运用公式解决三角函数问题 ·典型例题2。 (2) sin 2a sin2a+sin acos a-cos 2a-1 已知函数f(x)=2 sin wxcos wx+ 2sin acos a cos2wx(w>0)的最小正周期为π. sin2a+sin acos a-(2cos2a-1)-1 (1)求w的值； 2sin acos a (2)求f(x)的单调递增区间. sin2a+sin acos a-2cos2a 【解】(I)f(x)=2 sin wxcos wx十cos2wx 2tan a =sin2wx十cos2wx tan'a+tan a-2 2X×2 =v2sin(（2ax+f) 22+2-2 =1. 又f(x)的最小正周期为π，w>0, 【名师点拨】化简基本思路 “一角二名三结构”，即： T-2-w=1 一看“角”，这是最重要的一环，通过角之 间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而 (2)由(1)得fx)=2sin(2x+牙）， 正确使用公式. 函数y=sinx的单调递增区间为 二看“函数名称”，看函数名称之间的差 [2km吾2kx+]k∈Z。 异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”， 关于sin acos a的齐次分式化切等. 由2kx-≤2z+T≤2kr+,得 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇根 kπ一 ≤x≤kx十晋k∈乙。 式化被开方式为完全平方式”等. f(x)的单调递增区间为 )>>69<<< [m-F,km+晋]kezD. 三学三业三达三标子 【名师点拨】运用公式解决三角函数综合问题 的思路 1.已知tan0-子，那么an(g叶牙)=() 运用和、差、倍角公式化简 A.-7 B-司 统一化成f(x)=asin wx十bcos wx十k的形式 C.7 D.月 2.若tan0=2,则sin20= 利用辅助角公式化为 f(x)=Asin(wx十p)十k的形式，研究其性质 A号 B号 4针对训练24 1.已知函数fx)=sinx)十osz c D.- (1)求f()的值； 3已知aE(经，sna=号，则1am(e+) () (2)若f(a+)=手a∈（受，），求sina 的值 A B.7 c-月 D.-7 4.若函数f(x)=sin xcos x,x∈R,则函数 f(x)的最小值为 ( A-名 B司 2.已知函数f(x)=sinwx十√3 sin wx· a D.-1 sin(ox十)(w>0)的最小正周期为元 5.已知sina 号，那么c0s2a- () (1)求w的值； (2)求函数f()在区间[，] 上的取值 A一器 R一务 范围. c君 n浩 6.化简计算：sin20°·cos110°+cos160° sin70°= 7.已知sin2a=sina,a∈(0，)，则tana= 8.函数f(x)=sinx·cos(x+1)+sin(x+ 1)·cosx的最小正周期是 )>>70×< 9已知如a=子0<a<受，求w。和10已知函数a血一2艺 sina十不)的值. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f)在区间[0，]上的最小值。 亲末综食测试% 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分） C.1 1.下列角中终边与330°相同的角是() D A.30° B.-30° 5.sin C.630° D.-630° 2.已知角a的终边经过点P(3,4),则tana= A.-33 4 B3⑤ 4 B青 D c 6.函数y=tan(2x十o)的最小正周期是 () 3.已知a是第二象限角，sina= 则sa A.2π B.π ( c D A贵 B一品 n号 7.若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆 c 心角为 () .(2024·福建学业水平合格性考试)sin30° cos60°+cos30°sin60°= B3π A分 B号 c 3π 0. >>>0<< 8.为了得到函数y=sin(2x十平)的图象，只 D,关于直线x=受对称 需要把函数y=sin2x的图象上所有点 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） ( ) 13.f(x)=|sinx的值域是 A.向左平移牙个单位长度 14.若m受+口=，则m受 15.已知函数f(x)=Asin(wx+p) B.向右平移T个单位长度 (A>0,w>0,pl<)的部分图象如图 C.向左平移零个单位长度 所示，则函数f(x)的解析式为 D,向右平移零个单位长度 9.已知tana=2,则2 cosasin2a= cos 2a 16.若函数f(x)=sin wx(w>0)在区间 A号 B.2 [0,5]上单调递增，在区间[了，]上单调 c号 D. 3 递减，则ω= 10.下面叙述正确的是 ) 17.(2025·福建检测)已知an0=号则n A.正弦函数在第一象限是增函数 20= B.f(x)=tanx只有递增区间，没有递减 18.有以下四个命题： 区间 C.f(x)=sinx十cosx的最大值是2 ①函数f(x)=sin(3-2x)的一个增区间 D.若na=2,则。=30或a=150 是[登]， ②若函数f(x)=sin(wx十p)为奇函数，则 1,若点(a,9)在函数y=3的图象上，则tam% p为π的整数倍； 的值为 ③对于函数f(x)=tan(2.x十)，若 A.0 A号 C.1 D.√3 f(x1)=f(x2),则x1一x2必是π的整 数倍； 12.如果函数f(x)=2cos(2x+否)则f(x) ④函数y=2sin(2.zx十)的图象关于点 的图象 A关于点（石，0）对称 (3,0对称。 其中正确的命题是 (填上正 B.关于点（一五0）对称 确命题的序号) C.关于直线x=否对称 >>>2×< 三、解答题（共4个大题，第19~21题各10分，20.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx). 第22题12分，共42分) (1)求f妥)的值； 19已知sm(a+引得ec0,. (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增 sinl(a}-cos(暨+a 区间. 1)求sin(x-a+eos3x+的值： (2)求cos(2a一F)的值 )>>73×<< 21.已知函数f(x)=2sin(wx+p)(w>0,0<922.已知函数f(x)=cos2awx十√3sin2wx+t <x)的部分图象如图所示， (w>0),若f(x)的图象上相邻两条对称 (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)=f(x)sinx,求g(x)在 轴的距离为平，图象过点(0,0)。 区间[，]上的最大值和最小值。 (1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增 区间； (2)将函数f)的图象向右平移零个单位 B T 长度，再将图象上各点的横坐标伸长 到原来的2倍（纵坐标不变），得到函 数y=g(x)的图象，若函数F(x)= g()+在区间0，上有且只有一 个零点，求实数的取值范围. >>>4×<(所以1og.11.1"=log.12,解得n~7.3, f(x)的函数值组成的集合为函数y=g(x)的函数值组成 所以2022+7.3=2029.3，所以在2030年的投资金额将 的集合的子集. 达到400万. f(x)=z2-2x十a在区间x∈[0,3]的函数值组成的集 22.【解】(1)因为函数f(x)的对称轴是x=1, 合为[a-1,a+3], 所以y=f(x)在区间[-2,0]上是减函数， ①当a=0时，g(x)=5为常数，不符合题意，舍去； 因为函数y=f(x)在区间[一2,0]上存在零点， ②当a>0时，g(x)在区间[0,3]的值域为[5-2a,a十5]， 1f(-2)≥0， 则必有f0)<0, 所以 5-2a≤a-1 解得a>2. a+3≤a+5, (8+a≥0， ③当a<0时，g(x)在区间[0,3]的值域为[a十5,5一2a], 即\∠0， 解得一8s≤a≤0. 所以 a十5<a-1,无解。 故所求实数a的取值范围是[一8,0]. la+3≤5-2a, (2)若对任意的∈[0,3]，总存在xm∈[0,3]， 综上所述，实数a的取值范围为[2，十o∞). 使得f(x)=g(2)成立，只需当x∈[0,3]时函数y= 第六章三角函数 考点1三角函数的有关概念、同角三角函数关系及诱导公式 2sin dcos 0=5 夯实基础 1.(1)a 2kx<a<2kx+,kEZ) 则sin cos0=8· .1 {a2kx+受<e<2kx十x,k∈Z 2.B【解析】因为a是第一象限角，所以cosa>0,所以 {u2km十<a<2km+2,k∈Z cmsa=1-ma=子. {a2x+号KaK2+2,k∈z 3 1 【解析】因为cosa=2,且角α在第四象限，所以 (2)a+2kπ，k∈Z 2高() (2)lalr (3)ir 如。-√-（合-停 sin a-cos 0 4 【解析】因为tan0=3,则sing coso cos 0 sin 0+cos 0 sin 0++cos 0 4.(1)sima十cosS2a=1(2)s如e=tana cos 0 cos a tan0-13-11 5.-sin a -cos a tan a sin a -cos a -tan a tan0+13+12: -sin a cos a-tan a cos a -sin a cos a sin a 针对训练3 提升能力 针对训练1 1.A【解析】由诱导公式可得sin(5十a)=cosa=子 1.D【解析】角0的终边经过点（一2,3）， 3 则sin0= 3√13 √(-2)2+32-13 2C【解析】由cos(x十a)-,得c0s4=-停， 2 2.B【解析】由题意，得os<0→0sa<0, Itan a<o sin a0, cos2x-0）=os(-a）=6asa=g 所以角a的终边在第二象限，故选B. 3.号【解析】sin(a-受)eos(经+a)tan(r-a） 3.【解】由题意，得P(3,2),Q(3,-2), 从而sina= 22w/13 =-cos asin a(-tan a)=sin2a=1-cosa √32+2213 =1-(3)=8 sin B=- 一2 =_2.所以sina十sing=0. /32+(-2)2 13 针对训练2 4.-号【解标】sn(悟-)-sm[x+(告-)] 1C【解析】由si血0叶c0s0=9,得(sim9叶cos9)=1十 =-m(告-）=5 22 学业达标 C2kn-x,2kn] (x-受，m+晋） 1.A【解析】由cos0·tan>0,可知cos0·tan8同号， 当cos>0,tan>0时，0为第一象限角； [26x+登，2kx+][2x,2m十x](,0) 当cos0,tan0时，0为第二象限角. 故0为第一、二象限角. (kx十5,0）x=kr+受 x=kπ 2.D【解析1：0是△ABC的-个内角，且sins0-一8， 1 针对训练1 1.A【解析】对于函数fx)=sinx, ..sin 00,cos (0, .∴sin0-cos0=√(sin0-cos0)z=√1-2 sin Ocos0= 它的单调递增区间为[2kr一受，2kx十受]，k∈Z, 骨海 再结合x∈[o,],可得它的单调递增区间为[0，受]， 3.A【解析】因为sin(2π十a)=sina, 故选A 所以sm(-1g)=sn(-号+2n)=sn音=之 2[x+吾+]，kcz【解折】因为y=3cas(晋 所以原式=名十之-1 2x)=3cos(2x-5） 故选A 令2km≤2x-吾≤2kx+x,k∈Z, 4C【解析：在△ABC中，anA=一最， 求得m十吾<<m十，∈Z, sA=√+mA=-号 1 可得函数的单调递减区间为[k如十晋，k:十]，kC乙 5.D【解析】：r=√2+y=√(W5)2+(-2)2=3, sna=,osa=号，sin(a十x)=-sina, 3.>【解析】sin(-1g）=sin(-2x+吾)=sin吾，因为 ABC正确D#灵ma兰-肩-2 0<8<红<交，y=sinx在[0，受]上单调递增，所以 5 sin晋<sin2牙，即sin(-1）<sn2牙 6.号【解析】由题意，得x=4,y=一3，r=√2+少- 针对训练2 +-3=5,osa=￥=号 1.C【解析：0≤≤乏， 7.号【解折】：sn(受一-0）-os0-号，且0<0<x, ·-6<-看≤骨， 咖g=v-os9√-（传）-5， ∴<os(x-看)<1， cos 0 3 即2<≤1 8号【解标：sn(x十0=号m。=一号， 2.一1【解析】，函数y=asin x十1的最大值是3， ∴.3=a+1→la=2,ym=-2+1=-1. 又a是第四象限角，∴wsa√-（一号）-5， 3.1【解析】f(x)=sin xcos+cos xsin-2 sin cos= sin zcos--sin cos=sin(x一g),所以fx)的最大值为1. ∴cs(a-2n-o0sa-5 针对训练3 考点2三角函数的性质及其应用 1B【解析】函数fz)=cos(牙-2x)=cos(2x-T), 夯实基础 故最小正周期T-受-元 1(1)(,-1）(2)(,-1) 2.B【解析】：fx)=sin(x十p)为偶函数， 2.{xx∈R且x≠km+受，k∈Z}[-1,1][-1,1 p-受+km,k∈Z又p∈[0，]，p-受 2m元奇函数偶函数[2m-受，2m+] 3.A【解析】冷2x+号=km+受，k∈乙， 23 解得x一十受，kEZ,可排除B,D. 7.【解11)依题意，f)=4sin(臣哥)，t[0,24]. 令2x十号=km,∈Z,解得x=经-晋，k∈Z 实验室这一天上午10点，即=10时， ∴y=sn(2x十哥)的对称中心为（经-吾，0），k∈Z,可 f10)=4sin(8×10-5）=4sin吾=4， 所以上午10点时，温度为4℃. 知选A 学业达标 (2因为0区区24，所以-骨≤登一晋<受， 1.A【解析】，f(x)=2sin2x, 令0=最骨，即-音<经， ∴f(xm=2,最小正周期为T=2=x,故选A 2 所以y=4sm0c[-青，弩] 2.C【解析f(x)=号-co(牙-x) 故当=受时，即=2时y取得最小值a=4m受=-4， 1+经-2a) 1 故当t仁22时，这一天中实验室的温度最低。 sin 2x, 8.【解】(1)函数f(x)=sin2x, 即求2sin2x的单调递减区间， 则)的最小正周期是T-受=x, 2km+吾<2x≤2km+,k∈Z, f(x)的最大值是1. (2由f(号)=号得m9=是， .3 饭+吾≤≤领+，cZ 3.B【解析】f(x)=(2cosx十1)2-3，又-1≤cosx≤1， 所以f(0叶7)=sm(29+受）=ms20=1-2si0-3 ∴.当cosx=1时，f(x)mx=(2×1+1)2-3=6; 考点3三角函数的图象及其变换 当cosx=-2时，fx)m=-3. 夯实基础 故所求函数的值域是[-3,6]. 1.(1)-2 4A【解折：a=7sn(号x+l) 3弧2元 =7sin(号x+6r+)=7sin(号x+经) 2.2红ux+99 =-7sn(号x+受)=-7cos号， 3.lol P w 函数的周期为T受 提升能力 针对训练1 f(x)的定义域为R,关于原点对称， 1.C【解析】由图象可知所求函数的周期为号x,故w=3.将 且f-)=-7as(-号刘=-7as号x=f, .f(x)为偶函数，故选A (告，0)代入解析式，得号x十9=受+2，所以 5元【獬析】由题意得，函数最小正周期为T==号 平+2(-1)x(质∈).将9=-平代入解析式，得 =元 f(）=Acos(3x-f）, 6[kx晋，kx+晋]∈D【解折1y=0sx在[2x,2 又因为f(受)-A0s子=-号故A-2号 3 十π](k∈Z)上单调递减， 由2km≤2x+号≤2kr十(k∈ZD, 所以0)=Aeos(-要)=Acos于=号.故选C 2.C【解析】由点(0,1)在图象上， 得km-否<≤kr十于(k∈. 1-2sin< 故所求单调递减区间为红一若x十号]k∈D, ·p=否，此时y=2sin(or+否)： 24 又点(，0）在y=2sin(ar+吾)的图象上，且该点是 2红=，则w=2,排除B,D, “五点”中的第五个点， 当x=时，f(8)=1, ∴0=2sin(zw+）, 若f)=sim(2x+）, 贤+晋-2w2 则f(8)=sin(2×卺+）=sin受=l, 综上，有w一2,9=吾故选C 针对训练2 若f)=cos(2x+), 1.B【解析】函数y=six的图象上所有点的横坐标都缩小 则f()=os(2×亞+号)=cos受=0，不满足条件. 到原来的号，纵坐标保持不变，可以得到函数y=s2x的 排除C,故选A 图象.故选B. 6.A【解析J'f()=sin2x+cos2x=/2sin(2x+平)， 2.C【解析】根据图象平移规律：左加右减，余弦曲线上所有 .把该函数的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数 点需向左平移苓个单位长度得到函数y=c0s(x十等)的 图象. 解析式为2m[2r+子]一2sm(2x+子-2g), 3.左【解析1by=sin2x=cos(2x-变) :所得图象关于原点对称，心香-2p=标，∈乙 -2(:)】了的在移景个单 “当=0时，9有最小正值是零。 7.C【解析】把函数y=sin(2x十p)(-π<<π)的图象向 y-cos[2(x-吾)]=cos(2x-)月 右平移吾个单位后，得到y=sin(2x一十p)的图象，根 学业达标 1.A【解析】由题得，左加右减，正弦函数y=sinx向左平 据所得图象与函数y=sin(2x一否)的图象重合，可得 移号个单位，可得到y一sim(x+日).故选A -号十9-2kx-否，∈Z令k=0,可得9-晋 2.B【解析】因为y=cosx的图象上所有的点向右平移平 8.5 【解析】，y=sinx一√3cosx 个单位长度即可得到y=c0s(x一不)的图象，故选B. =2(分nx-9s) 3.B【解析】f()=cos(2x-号)图象上的所有点的横坐标 =2sin(x-哥）， 伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到y=cs(号x一晋） ∴至少将y=2sinx的图象向右平移个单位长度， 的图象，再向右平移个单位长度得到g(x)的图象，则 【解析】由图知，A=2,T=2(计受-t)=元， g)=cos[(x-吾）-吾]=os(2x-受）- 所以w=2. 如音则&（受）=m()-9 所以f(x)=2sin(2x十p). 又f(受)=2snx+p=-号， 4.D【解析】将函数y=3sinx的图象向右平移个单位长 所以sng一是 度，所得图象对应的函数解析式为y=3sin(x一受) 考点4三角恒等变换 -3cos x 夯实基础 故此函数在区间[0，π]上单调递增 1.sin acos B+cos asin B sin acos B-cos asin B 5A【解析】函数的周期T=2×(臣)=2×管=元，即 cos acos B-sin asinβcos acos B+sin asinβ 25 2tan a 2.2sin acos a 1-tana =sin(a+开)cos年-cos(a+年)sin平 4.sin 2a 1cos 2g 1cos 2g 2 2 告×号+号×号-得 -5 5.√a2+ 2.【解10Df)=1上cg2+号m2ar 提升能力 2 针对训练1 1A【解折】V5动登-6os登 =sn(2r吾)+之 =2(sin登oms吾-6os段s血若） :函数f(x)的最小正周期为π，且w>0, =2sin(8-吾）=2sin至=/2. ÷亮=解得w1 2.B【解析】：cos(受-)=-}， (2)由(1)得f)=sin(2x-否)+2. ∴sina=-3 :0≤5， 则cos(x-2a)=-c0s2a=2 sina-1=2×(-3）'-1= -3<sim(2x-晋)<1， 3竖【解析】原式=o(2X晋)=s景-受 0<sim(2x-晋)+2<受， 4-兰【解析】由sima一号，且a为第二象限角， 即在区间[0，]上的取值范围为[0，号] 学业达标 得c08a=--ira=一号， 1C【解折已知am0-名， tma-恶g-是m2a-2g器。- cos a 7 针对训练2 那么m叶）一☐n37,故选C 1.【解1)f(3）=sim(3-）+cos号=1 2.A【解析】tan0=2, 2sin 0cos 0 2tan 02X24 (2)f()=sin()+cos ∴.sin20= sin20+cos0 tan20+1 22+15 =sin5-coi吾十cosz 3.A【解析】由a∈(5，)，sia=号，则tana=-, m(a+牙)-把&-片放途A 1 -sin xcoscos zsinsin(). 4.B【解析】f(x)=sin xcos=2sin2.x, 1 :f(a+)=sin(a+晋+)=青， 故f(x)m=-之 ∴sin(a叶开）=4 5.B【解桥尼知s血a=青， "e(受，F）…a+平∈（还，x, 那么c0s2a=1-2·sm。=1-2X碧-一务： 故选B cos(a+平）=-是 6.-1【解析】sin20cos110°+cos160°sin70°=-sin20°cos ∴sina=sin[(a+平)-子] 70°-cos20°sin70° =-sin(20°+70)=-sin90°=-1. 26 7.√3【解析】由sin2a=sina,得2 sin acos a=sina, 小正周期为T=西一受.故选C “a∈(0，)sin≠0，则cosa=2,即a=5 7.B【解析1S=r2=a-a- .tana=√3. 故答案为3. 8.C【解析】由y=sin(2x+晋)=sin[2(x+否)] 8.π【解析】：f(x)=sin xcos(x十1)+cos xsin(x十1) 故想要得到函数y=sin(2x十)的图象， sin(x+x+1)=sin(2x+1), “函数)的最小正周期为T产高=登=元 只需要把函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单 位长度 9.【解由sina十cosa=1及0<a<受，sna=号，得c0sa 9.C【解析】由于tana=2, V-sma=告 则2-盖-器-景 cos 2a 所以sin(a+）=incs平十cos asin 故选C 10.B【解析】因为sin390°<sin60°，所以A错误；因为sinx =×号+告×-品 与cosx不能同时取最大值1，所以C错误；因为sin390° 10.【解】(1)因为f(x)=sinx十√3cosx一3 =弓，所以D错误由正切函数的图象，知B正确，故 =2sin(z+号)-3， 选B. 11.D【解析】由题意，得3a=9,.a=2. 所以f(x)的最小正周期为2元 (2)因为0<，所以等<x+晋≤元 tang=tan于=3. 当x十子=，即x=时，x)取得最小值 12.A【解析】：f()=2os(2×石+石)=0， “(石，0)是f(x)的图象与x轴的一个交点，f(x)的图 所以fx)在区间[0，]上的最小值为f()=一3. 象关于点（否，0）对称，故选A 章末综合测试 13.[0,1]【解析】由题意知，sinx∈[-1,1]，得|sinx∈ 1.B【解析】终边与330°相同的角为α=330°十k·360°，k∈ [0,1],即函数f(x)=|sinx的值域为[0,1]. Z,当k=一1时，a=一30°. 14.号【解析：sim(受+a）=号，即cosa=号， 2.D【解析】点P(3,4)是角a终边上的点， “ana=专，放选D sm(经-a)=cos。=是 3.A【解析】，a为第二象限角， 15.f=2sn(2x十吾）【解析】抽图象知A=2,-段 cos。-一证。=最放选A 否=至，即T=元=2，所以u=2,此时f(x)= 4.C【解析】法一：sin30°cos60°+cos30°sin60°=sin(30°+ 2sin(2x+p）,将（否，2）代入解析式，得sin（牙+p) 60)=sin90°=1. 法二：sm30rcas60+cas30sn60=7×号+号×号- 1,由9<受，可得9吾， +-1 所以f()=2sin(2x+晋)月 5.A【解析】原式=（-sin号)(-cos否)(-tan牙) 16.号 【解析方法一：由题意知f(x)的一条对称轴为x= -33 子，和它相邻的一个对称中心为原点，则f()的周期T= 4 6.C【解析】根据正切函数的周期公式可知，所求函数的最 器=餐从而。=名 27 方法二：函数f(x)=sin(w>0)在区间[0，无]上单调 所以f(x)的单调递增区间为[km一，x十吾]，∈乙 递增，在[无]上单调递减，则品=骨，即。一多 方法二：(1)f(x)=2 sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 1n.号 【解析】由题意可得sin20=2 sin @cos0= 2sin 0cos 0 sin20+cos20 =√2sin(2x+平)+1， =2tan 0 12 f(平）-sm毕+1 tan201 13 =2sin牙+1=2. 18.①②④ 【解析】D因为函数f(x)=sim(子-2x)的单调 2T-=经=元 增区间为[登+红，+x],k∈乙它的一个增区间是 由2km-吾≤2x+平≤2kx+吾，k∈乙， [登]，正确 得r一晋<<kx十晋，k∈Z ②若函数f(x)=sin(awx十p)为奇函数，则p为x的整数 倍，正确。 所以f(x)的单调递增区间为[kr一，kx十牙]，k∈Z ③对于函数f(x）)=tan(2x+号），若f()=f(),则 21.解：1)由图象可知：T=4(-牙）=2x, 一2必是π的整数倍，错误，是无的整数倍。 ∴.w=1, 将点（还，2）代入y=fx),得f()=2si(牙+p)】 ④函数y=2sin(2x十牙)的图象关于点（号，0）对称把 =2, x=代入，函数值为0，所以是对称中心， “p-平+2k元，k∈Z, 19.【解1K1:sn(e+吾)-5∈0，， 0<g<, omsa=5e(资，x)na-25 六9平， 5 ∴fx)=2sim(x+T）: sin(a-受）-cos(经+a） -cos a-sin a_ sin(r-a)+cos(3π+a) sin a-cos a 3, (2)g(x)=f(x)sin =/2 sin a(sin x+cos a)= (2)cos(2a-3T）=-cos(2a+t） 号(m2x-cos2a)+号=如(2x-子)+竖， codain (2on e1-sin aom 由xe[o,],得2x-平∈[-平，牙] 当2x-平=-平时，即x=0,g(x)m=0: 20.【解方法一：(1)f(）=2cos平(sm平+cos平) 当2x-=于时，即x=不，g()=2 22.【解】(1)f(x)=cos2z十√3sin2ux+t =-2cos年(-sim平-cos年)=2. =2sin(2ar+否)tt, (2)因为f(x)=2 sin xcos x十2cos2x =sin 2x+cos 2x++1 fx)的最小正周期为红受w=2 =2sin(2x+F）+1, f(x)的图象过点(0,0)，∴2sin+t=0, 所以T-牙-元由2km受≤2x+平<2km+受，k∈， t=-1,fx)=2sin(4x+）-1. 得m晋≤≤x十晋，ez 令2x-<4x+吾<2kx+,k∈Z, 28 求得绶-若≤≤绶+登，k∈Z, 故g()=2sim(2x-号）-1在区间[0，受]上的值域为 故f()的单调递增区间为[经-吾，经+竞]，k∈乙 [-3-1,1], (2)将函数f()的图象向右平移个单位长度， 若函数F()=g()十k在区间[0，受]上有且只有一个 零点， 可得y=2sim(4x-受+否）-1=2sin(4z-号）-1的 由题意可知，函数g(）=2sin(2x-号)-1的图象和直 图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 线y=一k有且只有一个交点， 标不变)，得到函数g()=2sin(2x-于）-1的图象。 根据图象（图略）可知，k=-1或1一√3<k≤√3十1. “xe[,受]2z-晋∈[-晋，]， 故实数的取值范围是{-1U(1-√3，√3+1]. sim(2x晋)[-1]， 第七章 平面向量及其应用 考点1平面向量的概念与线性运算 2.A【解析】由题意，得B心-B砣+心=b+AC=b+ 夯实基础 1.0相同相反平行相等相同相等相反 是A+D0=b+2a+}B成， 2.b+aa十(b十c)a川a相同相反0aa十 即BC-b叶2a+d aa十b 3.b=a 解得BC=号a+专b, 提升能力 3.2+b【解析】花=A市+D成=A迹+2D心=市+ 针对训练1 1.A 2a迹=2+b 2.B【解析】a为任一非零向量，所以|a>0,故③正确；由 针对训练3 向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误。 故选B. 1C【解析】0中b=-2a:⑤中a=2b:④中=-号a: 3.(1)7(2)2(3)9(4)BD【解析】(1)：AE∥CD,∴与 ②中a与b不存在实数λ，使a=b,a与b不共线. AB共线的向量有Ci,DC,BA,BE,E克，AE,EA,共7个. 2.一号【解析】因为A,B,D三点共线， (2)由正方形ABCD和等腰直角三角形BCE知，AB Dd=B配，有2个. 故存在一个实数入，使得AB=入BD, AB-=3e+2ez,CB=ke:+ez,CD=3e-2ke2, (3)与边长AB相等的线段有AD,DC,CB,BE,AB,每 所以Bd=Ci-C克=3e-2ke2-(ke,十e2) 条线段可以产生两个模相等的向量，除去向量AB,共有 =(3-k)e-(2k+1)e2, 2×5-1=9(个) 所以3e+2e2=(3-b)e-λ(2k+1)e2, (4).四边形ABCD为正方形， 3=λ(3一k), .'DC LAB. 所以{ 2=-λ(2k+1) 解得及=一是 ..DCLBE. 学业达标 又.DC=CB=BE, 1.C【解析】如图，a=AD+D=一2e十e,故选C. ∴.四边形CDBE是平行四边形， .EC LBD,∴.EC-Bd. 针对训练2 1.D【解析】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质， 有A成i=2A+Ad.故选D 29