微练(二十七) 三角函数的周期性、奇偶性与对称性-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(二十七)　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 基础过关 一、单项选择题 1.函数f(x)=2tan图象的对称中心是 (D) A. B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析　令2x-=(k∈Z),解得x=+(k∈Z),故函数图象的对称中心为+,0,k∈Z。故选D。 2.函数f(x)=cos的图象的一条对称轴方程为 (B) A.x= B.x= C.x= D.x=- 解析　令2x+=kπ(k∈Z),则x=-,k∈Z,当k=1时,x=。故选B。 3.函数y=a-bcos 3x(b<0)的最大值为,最小值为-,则y=sin(4a-b)πx的周期是 (B) A. B. C. D. 解析　因为b<0,所以函数y=a-bcos 3x的最大值为a-b,最小值为a+b,由已知得解得所以y=sin(4a-b)πx=sin4×+1πx=sin 3πx,所以y=sin(4a-b)πx的周期为=。故选B。 4.函数f(x)=(1+cos 2x)sin2x是 (D) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 解析　f(x)=(1+cos 2x)sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=,则f(x)的最小正周期为T==,且为偶函数。 5.(2023·咸阳联考)已知函数f(x)=sinx++φ是奇函数,则φ的值可以是 (B) A.0 B.- C. D.π 解析　f(x)=sin为奇函数,则只需+φ=kπ,k∈Z,从而φ=kπ-,k∈Z。显然当k=0时,φ=-满足题意。 6.函数y=的图象与函数y=sin(-4≤x≤8)的图象所有交点的横坐标之和等于 (D) A.4 B.8 C.12 D.16 解析　在同一坐标系中作出y=与y=sin(-4≤x≤8)的图象如图所示,则函数y=的图象关于点(2,0)对称,同时点(2,0)也是函数y=sin(-4≤x≤8)的图象的对称中心,由图象可知,两个函数在[-4,8]上共有8个交点,两两关于点(2,0)对称,设对称的两个点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=2×2=4,所以8个交点的横坐标之和为4×4=16。故选D。 二、多项选择题 7.(2023·沈阳模拟)已知奇函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)满足f=f,则ω的取值可能是 (BD) A.4 B.6 C.8 D.10 解析　因为f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ≤π)为奇函数,所以φ=,则f(x)=2cos=-2sin ωx。因为f+x=f,所以直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴,则ω=kπ+,k∈Z,即ω=4k+2,k∈Z。当k=0时,ω=2,当k=1时,ω=6,当k=2时,ω=10,当k=3时,ω=14。故选BD。 8.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点,0中心对称,则 (AD) A.f(x)在区间0,单调递减 B.f(x)在区间-,有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线 解析　由题意,得f=sin+φ=0,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z。又0<φ<π,所以φ=。故f(x)=sin2x+。选项A,当x∈0,时,μ=2x+∈,。由y=sin u的图象,知y=f(x)在区间0,上单调递减,故正确。选项B,当x∈-,时,μ=2x+∈,。由y=sin u的图象,知y=f(x)在区间-,内只有1个极值点,故错误。选项C,当x=时,2x+=3π,则f=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故错误。选项D,令f'(x)=2cos2x+=-1,得cos2x+=-,则2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z。所以函数y=f(x)的图象在点0,处的切线斜率为f'(0)=2cos=-1,切线方程为y-=-(x-0),即y=-x,故正确。故选AD。 三、填空题 9.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,则f=  。  解析　由题设及周期公式得T==π,所以ω=1,即f(x)=sinx+,所以f=sin=。 10.函数y=sin的对称轴为 x=+kπ,k∈Z ,对称中心为 ,k∈Z 。  解析　由x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,由x-=kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z。故函数y=sin的对称轴为x=+kπ,k∈Z;对称中心为+kπ,0,k∈Z。 11.函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且图象关于直线x=-π对称,则ω的值为  。  解析　因为函数f(x)=sinωx+(ω>0)在上单调递增,所以解得0<ω≤。又函数f(x)=sin(ω