第2章 一元二次函数、方程和不等式-2025年学业水平合格性考试辅导用书数学（福建专版）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 考点1不等式的性质及其应用 5C【解折1不等式0士1， 夯实基础 x>0, 1.(1)><(2)>< 1∠1， 解得x>1, 2.(3)>>(4)>>(5)>(6)> x 提升能力 故不等式的解集为(1，十∞)， 针对训练1 则其一个充分不必要条件可以是x>2, 1B【解折】因为ab>0,-台<-号，所以-kc<-ad,即 故选C 6.A【解析】.M-N=x2-(-2x-1)=(x+1)2≥0， bcad. .M≥N,故选A 2.A【解析】由c<b<a,且ac0,知c<0且a>0. 7.(-3,3)【解析】-4<<2，.0≤|<4. 由b>c,得ab>ac一定成立. ∴.-4<-|l≤0.1<a<3,∴.-3<a-|p<3. 3.B【解析】因为c<d<0,所以一c>一d>0, 考点2基本不等式及其应用 即得之>0 夯实基础 又。>6>0，所以分>马，从而有号<名。 1.(2a=b(3中√ab 2 针对训练2 2.(1)2ab(4)2 1.A【解析】由-1<a<1,-1<<1,得-1<-<1，所以 -2<a-A<2.又因为a<B,故-2<a一R<0. 3(①x=y小2万(2)x=y大号 2.C【解析】设a-3b=x(a十b)+y(a-b)=(x十y)a十 提升能力 x+y=1, 3,解得/1， 针对训练1 (x一y)b,所以 即a一3b= x-y=- y=2, 1.B【解析】因为x,y>0,所以2x十y=4≥2√2xy=2√2 一(a十b)+2(a一b).因为-1≤a+b≤5，所以-5≤ ·/xy,可得xy2, 一(a+b)≤1；因为1≤a一b≤3，所以2≤2(a-b)≤6.两个 当2x=y且2x十y=4,即x=1,y=2时等号成立， 同向不等式相加，得一3≤一(a+b)+2(a-b)≤7，即 所以xy的最大值为2. -3≤a-3≤7.故选C. 学业达标 24【解析】根据基本不等式x+兰>≥2√2·=4（其中x 1.C【解析】对于A,B,当c=0时，显然不成立， >0),故答案为4. 对于C:由a<b可得a一cb一c,正确. 3.【解】(1)因为x3,所以x一3<0， 对于D,取a=一2，b=1,D显然不成立. 2.B【解析】①.'a>b,c>d,由不等式的可加性，得a十c≥ 所以)=兰+x=43十一3)+3 b+d,故①正确； ②由①正确，可知②不正确； =[3+8-]+3≤-2V8-+3=-1, ③取4>-2，一1>-3，则4×(-1)>（一2）×(-3)不成 当且仅当3之3-x,即x=1时取等号， 立，故③不正确； 所以f(x)的最大值为-1. ④.'a>b,c>0,∴.ac>bc.故④正确 (2)因为x,y∈R+, 综上可知，只有①④正确.故选B. 3.A【解析】，y=log2x是增函数， 所以x+0(2+号)=4+(+)≥4+23. ∴.a=log20.3<log21=0. y=2是增函数，.b=203>20=1. 当且仅当x+y=4,义=3g,即x=23-1),y=2(3 x y 又c=0.32=0.09,.0<c<1,∴.b>c>a. √3)时取等号. 4.A【解析】a=2.2>2,1<b=2a8<2,c=log54<1,故a> 3 b>c. 所以+>1+号， x y 故上+号的最小值为1+ y 指，所以公3号2，即C错误， 针对训练2 对于D,y=e+是-222-2=2，当且仅当e=2时等 1.C【解析】设直角三角形框架的两直角边长分别为Q,b,周 号成立，即D正确， 长为l,则2b=2,l=a+b叶√匠+G≥2√+V√2a- 故选D. 4+2√2≈6.828(m)(当且仅当a=b=2时等号成立).故 5.C【解析】m>0,n>0,m+4n=2, 选C 则+=（偏+）m十)× 2.20【解析】一年的总运费与总存储费用之和为 (9×4+4)万元，4四×4十4≥160，当10=4，即 号(8++兴)≥专(8+2V·只)-×(8+ m 8)=8, x=20时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 3.25【解析】设矩形的一边为x, 当且仅当-只且m十4=2，即a=子m=1时等号成 则另一边为2(20-2)=10-x, 立，故选C. y=x10-x0≤[+00-27=-25. 6.C【解析】6=34+27≥2√3a·36=2√3+6，整理得3≥ 2 √3+6，即a十3b≤2，当且仅当a=3b时，等号成立.故 当且仅当x=10-x,即x=5时，mx=25. 选C. 学业达标 7.18【解析】'，2m+n+6=mm,m>0,n>0, 1.B【解析】对于A:因为a2+1≥2a(a∈R),故A错误. ∴m≥2v2m+6,令V2m=6,则m=专， 对于B:由于≠0，所以1+≥2V=2, 则号≥2+6，解得≥6或-2（舍去），故mm>18. 当且仅当x=士1时取等号，故B正确。 8.5400【解析】设水池的长为xm,宽为ym,则2xy=18, 对于C:只有当a和b都为正数时，不等式成立，故C错误. 即xy=9. 对于D:2+有+1+2中一12≥1，当且仅当x 总造价为200·xy十2(2x十2y)·150 0时，等号成立，故D错误 =200×9+600(x+y) 2.A【解折：x>0,是+≥2√会·x=2,当组仅当号 ≥1800+1200W/xy 2 =5400(元). =x即x=1时等号成立. 当且仅当x=y=3时等号成立 8-是--23-1-3-2-k 9.【解】(1)由题意，每小时的燃料费用为w=kx2,当x=30 时，900k=450,解得k=0.5. 3.B【解析】m十n≥2√mn=2√81=18，当且仅当m=n=9 时等号成立 从甲地到乙地所用的时间为300小时，则从甲地到乙地的 x 4D【解折】对于A,当>0时y=x十>≥2，当且仅当 运输成本： x=1时等号成立， Jy=0.5x.300+800.300(0<≤50)， 当x<0时，y=x十≤-2，当且仅当x=一1时等号成 x =150(+109) 立，即A错误； 故所求的函数为y=f)=150(x+0) 对于B,y=√x十 ≥2，当且仅当x=1时等号成立，而 √x x>1,即B错误； (2由0得：y-150(+10）≥150×2√2.10 对于C,y=+2尖=2+2+ 12000, √x2+2 √x2+2 当且仅当x=1600,即工=40时等号成立. x 令=V+2≥D,则y=计}在[厄，+∞)上单调递 故当货轮航行速度为40海里/时时，能使该货轮运输成本最少， 考点3二次函数与一元二次方程、不等式 2.D【解析】由题意知，原不等式对应方程的△<0，即一 夯实基础 4X1X受<0，即-2m<0,解得0<m<2. 1.{xx>x2,或x<x》 {x-a》 R (xla<x< 3.(-2,2]【解析】当a-2=0,即a=2时，不等式为-4< x2}0 0,恒成立； 2.{x|x<a,或x>b}{x|x≠a}{xlx<b,或x>a} 当a一2≠0时，则a满足 {xa<x<b}⑦{x|bx<a} a-2<0, 提升能力 (△=[2(a-2)]2-4(a-2)·(-4)<0, 解得一2a2.故a的取值范围为一2<a≤2. 针对训练1 学业达标 1.A【解析】由x2十4x一12<0，得(x十6)(x-2)<0,解得 1.D【解析】不等式4x2+ax十4>0的解集为R, -6<x<2. .△=a2-4×4×4<0, 所以不等式的解集为{x一6<x2},故选A 解得-8<a<8, 2.D【解析】懈不等式，得<，或x>1,所以不等式的解 .实数a的取值范围是（一8,8）. 集是红<分或>1小 2.A【解析】关于x的不等式mx2十x十m>0在R上恒 成立， 3.【解】，x2-(a十1)x十a=0, m>0, 若m≠0，则 解得m心2， .(x-a)(x-1)=0,∴.=a,x2=1. 1-4m2<0 .当a<1时，不等式的解集为{xa<x<1}: 若m=0,即x>0,不合题意. 当a=1时，不等式的解集为心； 综上所述，m的取值范围为{mm心>}。 当a>1时，不等式的解集为{xl<x<a以. 3.A【解析】当x>0时，不等式x2-ax+2>0化为x2+ 针对训练2 1.B【解析】不等式x2<ax十b可化为x2-a.x-b0, 2a,即ax+2 其解集是{x1<x<3}, 1+3=a, 又+≥W 、.2=22, 那么，由根与系数的关系，得 1×3=-b, 当且仅当x=是，即x一@时答号成立， 解得a=4,b=一3， 所以=(-3)=81. 所以实数a的取值范围是a<2√2. 故选B. 故选A 2.C【解析】一元二次不等式x+x十q<0的解集 4.D【解析】当a>1时，1-a<0,且a> a’ 是(-合，)， 则关于x的不等式(1-a)(x-a)(x-是)<0可化为 则-号和号是方程2+px十g一0的实数根， ua(x日)>o, 由根与系数的关系，知-名十}-一，一是×号-9， 1、 解得心日或x>a, 解得p=日9日 所以不等式的解集为(-∞，是)U(a,+o∞). 所以p十q=0. 5.-12【解析】一元二次不等式ax2-2x+2>0的解集 故选C. 3.B【解析】因为不等式的解集为（一2,1），所以a<0,排除 是(-日号)， C,D;又与x轴交点的横坐标为-2,1.故选B. 则一2和3是一元二次方程ar-2x+2=0的实数根， 针对训练3 1.B【解析】由题意，可得要满足题意，只需△=4一4× -×号-名解得a=-12 (-a)≤0， 6.-4【解析】不等式f(x)>0化为(a.x-1)(x十b)>0, 解得a≤-1， 由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)，得a<0且不等式对 故选B 应方程两根为一1和3， 所以a=-1,b=一3， 解得一2≤m≤2， 所以a+b=一1一3=一4. .∴.实数m的取值范围是一2≤m≤2 故答案为一4. 故选D. 7.(x十4)(x一6)>0（答案不唯一）【解析】由题意知写出的 10.A【解析】原不等式2x2-8x-4十a≤0， 一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素， 化为a≤≤-2x2+8x+4. 不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可. 设函数y=一2x2十8x十4，其中1≤x≤3， 故不等式可以是(x+4)(x一6)>0，解集为{xx>6,或 对称轴为x=2, x<-4}.解集中只有-5在集合A中. 则当x=2时，函数y=一2x2十8x+4取得最大值为12， 章末综合测试 所以实数a的取值范围是a≤l2. 故选A 1.C【解析】对于A项，只有在a,b,c,d均为正数时成立；对 于B项，当c<0时，则ac>bc→a<b,所以错误；由不等式 11.C【解析】对于选项A,y=√2+6+一1 2+6' 的性质知C项正确；对于D项，同向不等式作差一般不成 设√x2+6=t(t≥√6)， 立，例如，c=a,d=b时，a-c>b-d不成立.故选C. 所以f0)=计，所以f(0=1-是>0，所以函数F0 1 2.D【解析】由已知条件，知a>0,c<0,选项A,B,C的结论 都正确，只有D中，当仔=0时，式子不成立.因此选D. 单调谜增，所以。一6+专-2放读项Λ错误， 3B【解析】由。<合<0，得a<0,ab>0,则①④正确， 对于远项B,由于1<x<10,所以y=gx+≥2· ②③错误.故选B. 4.B【解析】由均值定理得，x+y≥2√xy=2√36=2×6= Vg工·g之=2（当且仅当=10时等号成立），由于1< 12,当且仅当x=y=6时，等号成立，故选B. x<10,故选项B错误； 5.A【解析】令x-5=0,∴.x=5.令x十2=0，∴.x=一2，大 对于选项C)一+≥√3=·是=2，当且仅当x=0 1 于号取两边，得{xx<-2或x>5).故选A 6.C【解析】首先化成标准形式，C正确，D中的二次项系数 时等号成立.故选项C正确； 符号不确定， 对打选项Dy-sinx叶品之≥2√如x sinx=2,当且 1 7.D【解析】因为关于x的不等式x2一ax十b≤0的解集为 {x|2≤x3}, 仅当x=受时等号成立，由于0<<乏，故选项D错误。 所以2和3是方程x2一ax+b=0的解 故选C 由根与系数的关系，得a=2+3=5,b=2×3=6, 12.A【解析】，函数f(x)=ax2一x一c,且不等式ax2一x 所以不等式x2-bx+a<0为x2一6x+5<0,解得1<x 一c>0的解集为{x一2<x<1}, <5, ∴a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1， 所以不等式x2一bx+a<0的解集为{x|1<x<5}. 8.C【解析】当ba<0时，依次判断各不等式如下， 一2+1=a,一2×1=-( a ①a十6<0<品∴a十b品正确： ∴.a=-1,c=-2, .f(x)=a.x2-x-c=-x2-x+2, ②la十b<0,因此不正确； ∴.f(一x)=一x2+x+2,其图象开口向下，与x轴的交 ③已知可得日<-日>古又a>6, 点为(-1,0)，(2,0)， ∴a-日>66正确： 故选A 13.号【解析】因为-6≤a<3,所以VG-@a十6< ④由已知可得a2<形，则lna<ln,因此不正确. 其中正确的不等式是①③， g-a生a+6)-号，当且仅当3-a=a+6,即a= 2 故选C 9.D【解析】不等式x2十mx+1≥0的解集为R, 一多时等号成立. 则△=m2一4≤0， 14.80【解析】每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费 用是0元，每件产品的仓储费用是青元，则”0+音≥ 当c1时，不等式的解集为(c,1). 20.【解】(1)当m=1时，f(x)>0,即 2√·音-0，当且仅当0-音，即一80时等号成立， 2e-x>0>x(2x-10>0><0或> 所以每批应生产产品80件 15.{xx<-4或x>1}【解析】x2+3x-4=(x十4)(x- ∴此时不等式的解集为(-6∞，0)U(2,十∞)， 1)>0,则x一4或x>1, (2)由f(x)+1>0,得(m+1)x2-mx+m>0. 即该不等式的解集为{xx<一4或x>1}. “不等式的解集为（号，3）， 16.3【解析】：x>-1,.x十1>0， ∴+4=(x+0+4-1≥2+D·年 ∴号和3是方程(m十1)2-mx十m=0的两个根，且 m+1<0. 1=3, 当且仅当十1=年即x=1或x=-3(金去)时等号 是+3= m+11 成立， 十车的最小值为3 m+1<0, 21.【解】设矩形栏目的高为acm,宽为bcm, 17.(-o∞，-1]U{0}U[1,+oo)【解析】设f(a)=-at 则ab=9000.① (-1a≤1)， 广告版面的高为(a十20)cm,宽为(2b+25)cm,其中a> 1f(-1)≥0， 欲使不等式一at≥0恒成立，则 0,b>0. f(1)≥0， 即/+≥0， 广告的面积S=(a十20)(2b+25)=2ab+40b+25a+ 500=18500+25a+40b≥18500+2/25a×40b= l2-t0, 解得-1或t=0或t≥1， 18500+2√1000ab=24500,当且仅当25a=40b时等号 所以t的取值范围是(-o∞，-1]U{0U[1,十∞). 成立此时6号a,代入①式得a=120,6=75,即当a 故答案为(-∞，-1]U{0U[1,十∞). 120,b=75时，S取得最小值24500. x>0, x>0: 故广告版面的高为140cm,宽为175cm时，可使矩形广 18.9【解析】根据题意， x+g+6长0 →x2+bx+4≤0 告的面积最小 x x2+bx十a≤0， 22.【解】(1)设每天所支付的总费用为1元， x>0, 则为=[9x(x+1)+90]+0.66000=900+9x+ 若不等式组 *+a+o 的解集为{x|1≤x≤4}， x 3609>3609+2√2×9z=3609+180=3789, 则x2十bx+a≤0的解集为{x|1≤x≤4}， 则方程x2十bx十a=0的两个根为1,4， 当且仅当900=9，即x=10时等号成立， 则有1十4=-b,即b=-5,1×4=a,即a=4,则a-b=9. 则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的 19.解：(1)关于x的不等式ax2一x一b>0(a,b∈R)的解集 总费用最少 为{xx>2或x<-1}, (2)若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次 即方程ax2一x一b=0的根为2，一1， a-2-6=0, 大米（购买天数的最小值=品-35）。 a+1-b=0, 设该食堂接受此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次大 解得a=1,b=2. 米，平均每天支付的总费用为边， (2)由(1)得关于x的不等式x2-(c十1)x十c<0, 则为=2[9x(x+1)+90]+0.6X600×0.8=900+ 即(x-1)(x-c)<0, 9x十2889， 当c>1时，不等式的解集为(1，c); 当c=1时，不等式的解集为⑦； 设f()=900+9x=9(x+100),x≥35， x 则f(x)在x≥35时为增函数， 此时3229.7<3789， 则当x=35时，2有最小值，约为3229.7， 所以食堂应考虑接受此优惠条件。 第三章 函数的概念与性质 考点1函数及其表示 2.14【解析】方法一：：g(x-1)=2x十6， 夯实基础 令x-1=t,则x=t十1， 1实数集任意x唯一确定f:A→B …g()=2(什1)十6=21+8，…g(x)=2x十8， 2.x的取值范围A函数值的集合{f(x)川x∈A} .g(3)=2×3+8=14. 3.(1)定义域(2)值域(3)对应关系 方法二：.g(x-1)=2x+6, 4.(1)[a,b](a,b)[a,b)(a,b](2)(-o∞，十∞) ∴.g(3)=g(4-1)=2×4+6=14. [a,+o∞)(a,+c∞)(-oo,a](-∞，a) 3.【解】(1)设u=√x+1≥1，则x=(u-1)2, 5.(1)解析法图象法列表法(2)对应关系一个 ∴.f(u)=(u-1)2十2(u-1)=22-1. 提升能力 .f(x)=x2-1(x≥1). 针对训练1 2f)+f(2）=3x, 1.B【解析】要使函数f(x)=ln(x一1)有意义， (2) 则x一1>0，解得x>1, 2f(2)+fo=3 即函数f(x)=ln(x一1)的定义域是(1，十∞). (x+10, f)=2x-2a+0, 2.D【解析】要使函数有意义，x应满足x+1≠1，解得一1< 学业达标 4-x0, 1.D【解析】函数y=√x-5, x0或0<≤2，故函数的定义域为(-1,0)U(0,2],故选D 由x-5≥0，解得x≥5， 3.(o,3] 【解析】由0≤1-3x<1,得一1≤-3x<0, 所以函数y=√x一5的定义域为[5，十∞). 2.A【解析】要使函数f(x)=log(x十2)的解析式有意义， ∴0<≤行，即函数的定义域为(0，号] 自变量x须满足x十2>0， 针对训练2 解得x>-2. 1D【解析】由题得，f(品)=1g0=lg101=-1,所以 故函数f(x)=log(x十2)的定义域是（一2，十c∞）. a=f(0)=-1,则f@)=f(-1)=21=号，故选D. 3.B【解析】根据题意，得f代)=-工， x |1-x0, 2.B【解析】f(3)=f(2)-f(1)=f(1)-f(0)-f(1)= 要使f(x)有意义，则 x≠0， -f(0)=-1og24=-2. ∴x≤1，且x≠0， 2x,x≥0， 3.1或-2【解析】函数f(x)= 当x0≥0时， ∴f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,1]. 4.A【解析】函数f(2x一1)的定义域为(1,2)，.1<2x f)=号，可得29=2，解得=1；当<0时， 13, 即函数f(x)的定义域为(1,3). 九)之，可得士立部得8=-2 .函数f(x十1)的定义域需满足1<x十1<3， 即0<x<2, 综上，0=1或-2. .函数f(x+1)的定义域为(0,2). 针对训练3 5.C【解析】.a=f(0)=03-1=-1, 1.A【解析】方法一：令2x十1=t,则x=号， …f(a)=f(-1)=21= 之，故选C 0=6x号+5=3+2，f=32 6.-9或3【解析】由题意可得 /a≤ 方法二：f(2x+1)=3(2x+1)十2，.f(x)=3x十2. g0， a2=9,第二章一元二次函数、方程和不等式 威在考情精析 考点 课标解读 不等式的性质 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 及其应用 2.基本不等式：ad(a≥0，b≥0) 基本不等式及 (1)了解基本不等式的证明过程 其应用 (2)会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 二次函数与 (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程 元二次方程、 的联系 不等式 (3)会解一元二次不等式 赢在考点训练 考点1 不等式的性质及其应用 -二夯实三基三三础二 (3)可加性：a>b→a+c b+c; a>b,c>dk台→a+c bd. 1.两个实数比较大小的方法 (4)可乘性：a>b,c>0→ac bc; a-b>0台→a b a>b>0,c>d>0→ac bd. (1)作差法a-b=0→a=b, (5)可乘方：a>b>0→a" b"(n∈ la-b<ORa b. N,n≥1). a b(a∈R,b>0), (6)可开方：a>b>0→a b(n∈ 作 6】 N,n≥2). (2)商8=1a=b(a∈R,b>0, 二提三升三三能三力三 法 <1sa b(a∈R,b>0). 考向1不等式的性质 2.不等式的性质 ·典型例题1心 (1)对称性：a>台→b<a. 对于实数a,b,c,下列命题中正确的个数为 () (2)传递性：a>b,b>c→a>c. ①若a>b,则ac>bc;②若ac2>bc2,则a>b; >>>①<<< ⑧若>460.则，兰。26@若a>6, 考向2不等式性质的应用 ·典型例题24 }石则a>0心6 已知-1<x+y<4且2<x一y<3,则之= 2x一3y的取值范围是 ·(答案用区 A.1 B.2 C.3 D.4 间表示) 【解析】对于①，令c=0,则有ac=bc,① 【解析】设2x一3y=m(x十y)十n(x-y)= 错误。 (m+n)x(m-n)y, 对于②，由ac2>bc2,知c≠0，∴.c2>0, ∴.a>b,②正确. m十n=2,。解得 =-1 对于③，>>6>0→(->0，c-6>0,】 所以 m-n=-3, 5 a>b→-a<-b→c-a<c-bJ n= 2 →0<c-a<c-b→1>1>0， c-a c-b -2<-(x+<，5<号(x ab0 ca>c6③正确 →a> b 5 3<- a>b→a-b>0, 2x+)+x-0<8, ab<0, 对于④，1>1→62>0 即3<2x-3y8. ab ab a b 【答案】(3,8) a>0,b<0,④正确. 【名师点拨】利用不等式性质求代数式的取值 综上，正确的为②③④. 范围的注意事项 【答案】C (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式 【名师点拨】解决此类问题常用两种方法 的性质. (1)直接使用不等式的性质逐个验证. (2)运用不等式的性质时要切实注意不 (2)利用特殊值法排除错误答案， 等式性质的前提条件，切不可用“似乎是很显 ◆针对训练1一 然”的理由代替不等式的性质，如a>b及c> 1.已知，b,c,d∈R,且ab0,-C<-,则 d,推不出ac>bd;由a>b,推不出a2>b等. a b (3)准确使用不等式的性质，不能出现同 ( ) 向不等式相减、相除的错误。 A.bc<ad B.bc-ad 色针对训练2心 comd <日 1.若-1<a<<1,则下列各式中恒成立的是 () 2.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下 A.-2<a-B0 列选项中一定成立的是 ( ) A.ab-ac B.c(b-a)<0 B.-2<a-B<-1 C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0 C.-1<a-B<0 3.若a>b>0,c<d<0,则一定有 ( ) D.-1<a-<1 2.已知-1≤a+b≤5,1≤a-b≤3，则a-3b A日>8 的取值范围为 () c> D.a-b A.[2,6] B.[-5,1] 'cd C.[-3,7] D.[-3,5] )>>12<< 0.8 -二学三业三达三标 4.已知a=21.2,b=（ ,c=log54,则a,b, 1.(2025·福建期末)设a,b,c均为实数，且a c的大小关系为 ) <b,下列结论正确的是 ) A.c<b<a B.c<a<b A.ac<bc B.ac2<bc2 C.b<a<c D.b<c<a C.a-c<b-c D.a2<62 5.使不等式0<1<1成立的一个充分不必要 2.若a,b,c∈R,给出下列命题： ①若a>b,c>d,则a+c>b+d;②若a> 条件是 ( b,c>d,则a-c>b-d;③若a>b,c>d,则 ac>bd;④若a>b,c>0,则ac>bc. A.0号 B.x>1 其中正确命题的序号是 ( ) C.x>2 D.x<0 A.①②④ B.①④ 6.设M=x2,N=一2x-1,则M与N的大小 C.①③④ D.②③ 关系是 () 3.若a=log20.3,b=2a.3,c=0.32,则a,b,c三 A.MN B.M=N 者的大小关系为 ( ) C.M≤N D.与x有关 A.b>c>a B.cb>a 7.若1<a<3,一4<32，则a一3的取值范 C.ca>b D.b>a>c 围是 考点2 基本不等式及其应用 三夯三实三基三础三 3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 1基本不等式，<生 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 时，x十y有最 值是 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (简记：积定和最小)， (2)等号成立的条件：当且仅当 (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当 时取等号 时，xy有最 值是 (3)其中 称为正数a,b的算术平 (简记：和定积最大). 均数， 称为正数a,b的几何平均数. 2.几个重要的不等式 二提三升三能三力 (1)a2+b≥ (a,b∈R),当且仅 考向1基本不等式求最值 当a=b时取等号 色典型例题1色 (2)ab≤ a十b2 (2)(a,b∈R),当且仅当a= (1)若<1，则y=x2-2+2有 x-1 () b时取等号 A.最小值2 B.最大值2 (3)生”=()(a,6∈R,当且仅当 C.最小值-2 D.最大值一2 a=b时取等号. (2)若直线若+名=1(a>0,6>0)过点(1， 1),则a+b的最小值等于 () (a,b同号)，当且仅 A.2 B.3 当a=b时取等号. C.4 D.5 )>>13<<< 【解析】(1)因为x<1,所以x一1<0，所以 最小值 y=,2+2=(x1)2+1=x-1+ x-1 x-1 1≤-2-)女-2故选D (2)因为直线过点1,1)，所以日+合-1所 以a+6=(a+b)(日+2)=1+1+2+ 8=2+8+分因为a>0,b>0,所以2+ 8≥2+28=4，当且收当a= 2时等号成立. 考向2基本不等式的实际应用 色典型例题2心 【答案】(1)D(2)C 某中学为了宣传当地特色和风土人情，由 【名师点拨】利用基本不等式求最值的方法 同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积 (1)利用基本不等式解决条件最值的关键 为4000cm,画面的上、下各留8cm空白， 是构造和为定值或积为定值，主要有两种 左、右各留5cm空白.如何设计画面的高与 思路： 宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积 ①对条件使用基本不等式，建立所求目标 最小？ 函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数 最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等 式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、 平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方 法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 【解】设画面高为xcm,宽为ycm, 数法、换元法、整体代换法等。 由题意可得，xy=4000,x>0,y>0, ·针对训练1· 则所需纸张面积S=(x+16)(y十10)= 1.已知x,y>0,且2x十y=4,则xy的最大 xy+16y+10x+160, 值为 =4160+16y+10x≥4160+2W160xy= A.2√2 B.2 5760, C.4√2 D.4 当且仅当16y=10x且xy=4000,即x= 2.已知>0，则x十4的最小值是 80,y=50时取等号， 所以画面高80cm,宽50cm时，所需纸张 )已知x<3,求f)=43十x的最 面积最小为5760cm2. 大值； (2)已知x,y∈R+,且x十y=4,求1+3的 y )>>14<<< 【名师点拨】解实际应用题要注意： 4.下列函数中最小值为2的函数是() (1)设变量时一般要把求最大值或最小 Ay-t 值的变量定义为函数， (2)根据实际问题抽象出函数的解析式 By=+1(>1) x 后，只需利用基本不等式求得函数的最值 (3)在求函数的最值时，一定要在定义域 C.y= x2+3 √x2+2 (使实际问题有意义的自变量的取值范围)内 求解 D.y=e+是-2 色针对训练2心 5.已知m>0,n>0,m十4n=2,则4+1的最 1.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 m n 2m、形状为直角三角形的框架，在下列四 小值为 种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费 A.36 B.16 最少)的是 ( C.8 D.4 A.6.5m B.6.8m 6.已知3a+27=6,则a十3b的最大值是 C.7m D.7.2m ( 2.某公司一年购买某种货物400t,每次都购 A.2√3 B.6 C.2 D.2√2 买xt,运费为4万元/次，一年的总存储费 7.若正实数m,n满足2m十n十6=mm,则mm 用为4x万元，要使一年的总运费与总存储 的最小值是 费用之和最小，则x 8.建造一个容积为18m3,深为2m的长方体 3.若把总长为20的篱笆围成一个矩形场地， 无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造 则矩形场地的最大面积是 价为200元和150元，那么水池的最低造价 二学三业三达三三标三 为 元 9.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙 1.(2025·福建月考)下列各不等式，其中正确 两地间运输货物，运输成本由燃料费用和 的是 其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料 A.a2+1>2a(a∈R) 费用心与其航行速度x的平方成正比（即 B1z+|是≥2(xeR,x≠0) =kx,其中为比例系数)；当航行速度 为30海里/时时，每小时的燃料费用为450 C.a+b≥2(ab≠0) √ab 元，其他费用为每小时800元，且该货轮的 最大航行速度为50海里/时 Dr+中>1xeR (1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表 2.设x>0,那么3-1 示为航行速度x(海里/时)的函数； 一x有 (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该 A.最大值1 B.最小值1 货轮应以多大的航行速度行驶？ C.最大值5 D.最小值一5 3.(福建学业水平考试)已知m>0,n>0,若 mm=81,则m十n的最小值是 A.9 B.18 C.93 D.27 )>>1⑤<<< 考点3 二次函数与一元二次方程、不等式 三夯三实三基三础 x+a3>0. 【解】将不等式x2一(a十a)x十a3>0变形 1.三个“二次”间的关系 为(x-a)(x-a2)>0. 判别式 △>0 △=0 △<0 当a<0时，有a<a2, △=-4a0 所以不等式的解集为{xx<a,或x>a2}; 二次函数 当a=0时，a=a2=0, y=ax+bx+c 所以不等式的解集为{xx∈R,且x≠0}； (a>0)的图象 X=Xx 0 当0<a<1时，有a>a, 所以不等式的解集为{x|x<a,或x>a}; 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 当a=1时，a=a2=1, ax2+bz+c=0 没有实数根 ,x2（0<x2)x1=x2= (a>0)的根 2a 所以不等式的解集为{xx∈R,且x≠1}； 当a>1时，有a<a2, ax2+bx+c-0 所以不等式的解集为{xx<a,或x>a2} (a>0)的解集 【名师点拨】含参数的一元二次不等式的解法 ax2+bx+c<0 (1)若二次项系数为常数，可先考虑因式 (a>0)的解集 分解，再对参数进行讨论，若不易因式分解， 2.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)< 则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏. 0型不等式的解法 (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二 次项系数是不是零，然后再讨论二次项系数 解集 不等式 a<b a=b ab 不为零时的情形，以便确定解集的形式.最 (x-a)(x-b)>0 后，对相应的方程的根进行讨论，比较大小， (x-a)(.x-b)<0 以便写出解集， 3.分式不等式 ◆针对训练1 1.不等式x2十4x一12<0的解集为() (1)二80等价于(x-a)(x-b)>0. A.{x|-6<x<2} (2)名<0等价于(x-a0(xb》<0, B.{x|-2<x<6} C.{x2<x<6} (3)二8≥0等价于 (x-a)(x-b)≥0， D.{x|-6<x<-2} x-b≠0. 2.（福建学业水平考试)不等式(x一1)(2x (40二分≤0等价于 (x-a)(x-b)≤0， 1)>0的解集是 () x-b≠0. A{x|1<x<2} 三提三升三能三力二 B.{xx<1,或x>2} 考向1一元二次不等式的解法 air 色典型例题1心 解关于x的不等式(a∈R):x2-(a十a)· D.x或x>1 )>>16<<< 3.解关于x的不等式x2-(a十1)x+a<0. 【名师点拨】应用三个“二次”之间的关系解题 的思想 一元二次不等式与其对应的函数与方程 之间存在着密切的联系，即给出了一元二次 不等式的解集，则可知不等式二次项系数的 考向2三个二次之间的关系 符号和相应一元二次方程的根.在解决具体 ·典型例题2。 的数学问题时，要注意三者之间的相互联系， 已知关于x的不等式a.x2十bx十c>0的解 并在一定条件下相互转换， 集为{x2<x<3},求关于x的不等式 ·针对训练2· cx2十bx十a<0的解集， 1.如果关于x的不等式x2<ax十b的解集是 【解】方法一：由不等式ax2十bx十c>0的解 {x1≤x<3},那么= () 集为开区间(2,3)，可知a<0,且2和3是 A.-81 方程a.x2十bx十c=0的两根. B.81 由根与系数的关系可知B=一5，=6， C.-64 a D.64 所以=一5 2.若一元二次不等式x2十px十q<0的解集 6 是(-2，号)，则叶9= () 由a<0,知c<0, 故不等式c2+ra<0,即2+2x十 A-6 8>0, 即2-名x+合>0，解得x<号或心>2， C.0 D.1 所以不等式cx2十bx十a<0的解集为3.若不等式f(x)=ax2一x一c>0的解集为 (-∞，3U(2,+∞： (一2,1)，则函数y=f(x)的图象为( 方法二：由不等式ax2十bx十c>0的解集为 {x2<x<3}可知，a<0,且2和3是方程 a.x2十bx十c=0的两根，所以a.x2十bx+c= a(x-2)(x-3)=ax2-5ax+6a,即b= -5a,c=6a,故不等式cx2十bx+a<0,即 6ax2-5ax+a<0→6ax-}）。 考向3一元二次不等式的恒成立问题 (红-)<0，故原不等式的解集为 典型例题3 f(x)=mx2-mx-1. （-∞，号u(分+∞月 (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立，求 >>>⑦×<< m的取值范围； 色针对训练3◆ (2)对于x∈[1,3]，f(x)<-m十5恒成1.对任意实数x,不等式x2-2x-a≥0恒成 立，求m的取值范围. 立，则实数a的取值范围是 ) 【解】(1)若m=0,显然-1<0恒成立； A.a≥-1 <0, B.a≤-1 若m≠0，则 →-4<m<0. △=m2+4m<0 C.a<-1 ∴.m的取值范围为一4<m≤0. D.a>-1 (2)要使x∈[1,3]，f(x)<-m+5恒 成立， 2.若不等式x+mx+罗>0的解集为R,则 则me2}f+m6c0,[1,3 实数m的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) 令)=me}'+m-6,1,3. B.（-∞，2) 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， C.(-∞，0)U(2,+∞) ∴.g(x)max=g(3)=7m-6. D.(0,2) ∴7m-6<0,解符m<号。 3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一 切x∈R恒成立，则a的取值范围 0<m<9 是 当m=0时，一6<0恒成立. 二学三业三达二三标 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数. 1.若不等式4x2十ax十4>0的解集为R,则实 ∴.g(x)max=g(1)=m-6<0,解得m<6, 数a的取值范围是 () ∴.m<0. A.(-16,0) 综上所述，m的取值范国为（一∞，号）】 B.(-16,0] 【名师点拨1，不等式的解集为℉的条件 C.(-∞，0) D.(-8,8) 不等式的解集为R(或恒成立) 2.若不等式m.x2十x十m>0在R上恒成立， 则m的取值范围是 () 不等式 ax2+6x+c0 ax2+6x+c<0 Am心号 B.0<m<1 a=0 b=0,c>0 b=0,c<0 a>0, a<0, Cm心是 D.m>1 a≠0 △<0 △<0 3.若对任意的x大于0，不等式x2-ax十2>0 恒成立，则实数a的取值范围为( 2.有关不等式恒成立求参数的取值范围 的方法 A.a<2√2 (1)f(x)≤a恒成立台f(x)max≤a. B.-2√2<a<2√2 (2)f(x)≥a恒成立台f(x)min≥a. C.a2√2 )>>18<<< D.a<-2√2或a>2√2 5.若一元二次不等式ax2一2x十2>0的解集 4.设a>1,则关于x的不等式(1一a)(x一 是(，)，则a的值是 a(x-<0的解集是 6.函数f(x)=(ax一1)(x十b),如果不等式 A(-o,aU(合+∞) f(x)>0的解集为（一1,3），则a+b的值为 B.(a,十∞) 7.已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一 C(a) 个一元二次不等式，使得该不等式的解集 与集合A有且只有一个公共元素，这个不 D(-，aUa,+o∞) 等式可以是 章未综测械 一、选择题（共12小题，每小题6分，共72分） 知x>0,y>0,且xy=36,则x+y的最小 1.下列命题中，正确的是 ) 值是 () A.若a>b,c>d,则ac>bd A.10 B.若ac>bc,则a>b B.12 C若是<名则a<b C.13 D.15 D.若a>b,c>d,则a-c>b-d 5.不等式(x-5)(x+2)>0的解集是() 2.如果实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,那 A.{xx<-2,或x>5} 么下列选项中不一定成立的是 B.{xlx<-5,或x>2} A.abac C.{x|-2<x-5} B.c(b-a)>0 D.{x|-5<x<2} C.ac(a-c)<0 6.下列结论正确的是 ( D.cb2<ab2 A.不等式x2≥4的解集是{xx≥士2} 3若。<名<0，则下列不等式中，①a十b: B.不等式x2一9<0的解集为{xx<3 C.(x-1)2<2的解集为{x|1-√2<x< ②1a>1a1;③a<,@日+名>2.正确的有 1+√2) D.一元二次方程ax2十bx十c=0有两个不 A.1个 等实根x,x2且c1>x2,则不等式ax2十 B.2个 bx十c<0的解集为{xx2<x<x} C.3个 7.已知关于x的不等式x2一ax十b≤0的解 D.4个 集为{x2≤x≤3}，则关于x的不等式x2 4.(2023·福建学业水平合格性考试模拟)已 bx十a<0的解集为 () >>>19<<< A,{x2<x<3} B.{x1<x<3} C.{x2<x<5} D.{x|1<x<5} 8.若a<0,给出下列不等式：①a十b<ab ②lal+b>0:③a-1>b-石④lna2> lnb.其中正确的不等式是 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） A.①④ 13.√(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为 B.②③ C.①③ 14.某车间分批生产某种产品，每批的生产准 D.②④ 备费用为800元.若每批生产x件，则平 9.若不等式x2十mx+1≥>0的解集为R,则实 数m的取值范围是 均仓储时间为天，且每件产品每天的仓 A.m≥2 储费用为1元.为使平均到每件产品的生 B.m≤-2 产准备费用与仓储费用之和最小，每批应 C.m≤-2或m≥2 生产产品 件. D.-2≤m≤2 15.(2025·福建学业水平合格性考试)不等 10.若关于x的不等式2x2一8x-4十a≤0在1≤ 式x2+3x-4>0的解集为 x≤3内有解，则实数a的取值范围是（ A.a≤12 16.已知心1，则x十与的最小俏为 B.a≥12 17.若不等式t-at≥0对所有的a∈[-1,1] C.a≤10 都成立，则t的取值范围是 D.a≥10 18.设a,b∈R,关于x的不等式组 11.下列函数中，最小值为2的是 x>0, A.y=/x2+6+ +a+b≤0 的解集为{x|1≤x≤4}，则 √Jx2+6 x 1(1<x<10) B.y=lg x+ig z a-b的值为 C.y=3x+3-x(x∈R) 三、解答题（共4个大题，第1921题各10分， Dy=mz+(0<r》 第22题12分，共42分) 19.已知关于x的不等式ax2一x一b>0(a, 12.已知函数f(x)=ax2一x一c,且不等式 b∈R)的解集为{xx>2或x<-1}. ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}, (1)求a,b的值； 则函数y=f(一x)的图象为 (2)若c∈R,解关于x的不等式ax2一 )>>20×<< (ac+b-1)x+(b-1)c<0. (2)若不等式f(x)+1>0的解集为 (侣3)，求m的值 20.设f(x)=(m+1)x2-mx十m-1. (1)当m=1时，求不等式f(x)>0的 解集； )>>20<< 21.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有22.某校食堂需定期购买大米.已知该食堂每 大小相等的左、右两个矩形栏目（即图中 天需用大米0.6吨，每吨大米的价格为 阴影部分)，这两栏目的面积之和为 6000元，大米的保管费用之（单位：元）与 18000cm,四周空白的宽度为10cm,两 购买天数x(单位：天)的关系为之= 栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确 9x(x十1)(x∈N*),每次购买大米需支付 定广告版面的高与宽的尺寸（单位：cm)能 其他固定费用900元. 使矩形广告的面积最小？ (1)该食堂多少天购买一次大米，才能使 平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供粮食的公司规定：当一次性购 买大米不少于21吨时，其价格可享受 8折优惠（即原价的80%），该食堂是 否应考虑接受此优惠条件？请说明 理由. )>)22<<(