分级练(5)　不等式的解集与一元二次不等式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(5)　不等式的解集与一元二次不等式 分级一　提能强化 1．(2025·天津四中模拟)已知集合A＝{x∈N|0<x<4}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝(　　) A．[0，2] B．[1，2] C．{1，2} D．{0，1，2} C　解析：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|0≤x≤2}， ∴A∩B＝{1，2}． 2．(2024·山东省昌乐二中月考)若不等式>1的解集为{x|2<x<4}，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 D　解析：由>1，得1－<0，即<0， 即(x－a＋3)(x－2)<0， 因为不等式>1的解集为{x|2<x<4}， 所以a－3＝4，解得a＝7. 3．若存在实数x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为(　　) A．(13，＋∞) B．(5，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，13) B　解析：m>x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2，4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2，4]，使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5. 4．若0<a<1，则不等式(a－x)(x－)>0的解集是____________． 答案：　解析：原不等式等价于(x－a)(x－)<0，由0<a<1，得a<，∴a<x<. 5．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________． 答案：(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)　解析：因为不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，所以解集中只有－5在集合A中． 6．(2025·江西南昌模拟)已知命题p：“∀x∈[1，4]，ax≤2x2＋6”为真命题，则实数a的最大值是________． 答案：4　解析：由题意，∀x∈[1，4]，a≤2(x＋)恒成立．因为x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝时等号成立，所以a≤4，即a的最大值是4. 7．(2025·湖北武汉模拟)若∃x∈[，2]，使2x2－λx＋1<0成立，则实数λ的取值范围是____________． 答案：(2，＋∞)　解析：由2x2－λx＋1<0，可得λx>2x2＋1.因为x∈[，2]，所以λ>2x＋，根据题意，λ>(2x＋)min即可．设f(x)＝2x＋，易知f(x)在(，)上单调递减，在(，2)上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，所以λ>2. 分级二　知能探究 8．(2025·山东临沂模拟)若关于x的不等式>0的解集是(－1，2)，则a·b＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 B　解析：有sin x－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集为(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2，由根与系数的关系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故a·b＝2. 9．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B． C．(1，＋∞) D．(－∞，－) A　解析：∵关于x的不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解， ∴a>，x∈[1，5]. ∵函数f(x)＝－x在[1，5]上单调递减， ∴当x＝5时，函数f(x)取得最小值－， ∴实数a的取值范围为(－，＋∞). 10．已知函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，则不等式(x－2)f(x)<0的解集为________. 答案：∪　解析：∵函数f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋a2为偶函数，∴a＋2＝0，得a＝－2，　 ∴f(x)＝－2x2＋4， ∴不等式(x－2)f(x)<0可转化为或即或 解得－<x<或x>2. 故原不等式的解集为(－，)∪(2，＋∞). 分级三　素能创新 11．(创新命题形式)三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范围”提出了各自的解题思路． 甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”． 乙说：“寻找x与y的关系，再做分析”． 丙说：“把字母a单独放在一边，再做分析”． 参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1，4) D．[－1，6] B　解析：选择用丙的方法．因为xy≤ax2＋2y2，x∈[1，2]，y∈[2，3]，所以xy－2y2≤ax2，等价于≤a，即－2≤a.令＝t，则t∈[1，3].原式化为t－2t2≤a，对于任意t∈[1，3]恒成立， 因为t－2t2＝－2(t－)2＋，所以当t＝1时，(t－2t2)max＝－1.所以－1≤a，即a∈[－1，＋∞).故选B. 12．(结合新定义问题)若函数f(x)满足对任意的x∈[n，m](n＜m)，都有≤f(x)≤km成立，则称函数f(x)在区间[n，m](n＜m)上是“被k约束的”．若函数f(x)＝x2－ax＋a2在区间(a＞0)上是“被2约束的”，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2] B． C．(1，] D．(，2] A　解析：由题意得≤x2－ax＋a2≤2a对任意的x∈(a＞0)都成立．由a＞且a>0，得a＞1，则f()＝－1＋a2＞2－1＝1＞恒成立．由f(a)＝a2－a2＋a2＝a2≤2a，且a>1，得1<a≤2.因为a＞1，所以f()＝－1＋a2＜1－1＋a2＝a2.f(x)＝x2－ax＋a2的对称轴为x＝.由f()＝≥得a≥.因为＜1，所以a的取值范围为(1，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$