4.1 圆的轴对称性（第2课时确定圆的条件）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦“确定圆的条件”核心内容，涵盖不在同一直线上的三点确定一个圆及三角形外接圆、外心等概念。通过古代铜镜残片情境导入，引导学生从圆的定义和作圆关键（圆心、半径）出发，探究确定圆心的方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以情境驱动探究，通过铜镜残片问题培养数学眼光，用反证法证明三点共线不能作圆发展数学思维，结合作图、计算实例强化数学语言表达。采用观察发现、典例讲解等方法，课堂小结系统梳理知识，帮助学生提升探究能力和应用意识，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.1 圆的轴对称性 第2课时 确定圆的条件 学 习 目 标 1 2 3 探索并理解确定圆的条件，会利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆。 了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会作一个三角形的外接圆。 会根据条件求特殊三角形的外接圆的半径。 你还记的什么是圆吗?作圆的关键是什么？ 知识回顾 思考 在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 P 所形成的图形叫作圆． 平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合. 圆： 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. 两点确定一条直线。 要确定一个圆,需要什么条件呢? 导入新知 今天我们就一起来探索确定一个圆的条件。 如图,是一块出土的古代圆形铜镜的残片。怎样画出铜镜残片所在的圆呢? 要想画出铜镜残片所在的圆,关键是要先确定 所在圆的圆心和半径。 怎样确定铜镜残片所在圆的圆心和半径呢？ 若画出圆后，观察圆上各点到圆心的距离有什么关系？ 怎样确定圆心？ 若画出铜镜残片所在的圆,圆上各点到圆心的距离相等。 在圆弧上取两个点,圆心就在这两点连线的垂直平分线上。 再取两个点,圆心也在这两点连线的垂直平分线上。 两条垂直平分线的交点就是圆心。 试一试，画一画 还有其它方法画出铜镜残片所在圆的圆心和半径吗？ • A • B • C • O 已知圆上不同的三个点,就可以确定这个圆的圆心和半径。 （1）在圆弧上取三个点A,B,C, （2）分别作线段AB 和 BC的 垂直平分线交于点O。 （3）以O为圆心,OA 为半径画圆。 则☉O就是铜镜残片所在圆。 确定圆心的基本方法： 1找点在圆弧上任意找三点； 2作弦任意连接其中两点作弦，共作两条弦； 3定圆心分别作这两条弦的垂直平分线，它们的交点就是这段圆弧所在圆的圆心. (1)已知任意三个点,都可以确定一个圆吗? 这个问题有两种情况: 当三个点不在同一条直线上时,它们可以确定一个圆; 当三个点在同一条直线上时,它们不能确定一个圆。 (2)已知:如图,A,B,C 是不在同一条直线上的三点。 求作:☉O,使A,B,C 三点都在☉O上。 解析：经过A，B，C三点的⊙O. （1）圆心O到A，B，C三点距离 （填“相等”或”不相等”）. （2） ⊙O要经过A、B两点，则圆心应在AB的 上； ⊙O要经过A、C两点，则圆心应在AC的 上； （3）点O的位置应在 . 半径为 . 相等 垂直平分线 垂直平分线 AB，AC垂直平分线的交点 OA或OB或OC的长度 N M F E O A B C A B C D E G F ●o 作图步骤： ③以点O为圆心，OA为半径，作出☉O； ①连接AB、BC; ②分别作出线段AB、BC的垂直 平分线l1和l2，交于点O; ☉O就是经过点A、B、C的圆. (3)经过同一条直线上的A,B,C三个点为什么不能作圆呢? 已知:如图,A,B,C是同一条直线上的三个点。 求证:过A,B,C三个点不能作圆。 • A • B • C 如果结论不易证明或不能直接 证明时应用什么方法证明呢？ 反证法 • A • B • C 证明:假设过A,B,C 三点可以作圆, 设圆心为O。 ∵OA=OB=OC ∴点O既在线段AB的垂直平分线l1上, 又在线段BC的垂直平分线l2上。 因此过点O的直线l1 和l2 都与直线AB垂直。 这与基本事实 “同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 矛盾。 ∴假设不成立,即过同一条直线上的三个点不能作圆。 l1 l2 O 有且只有 位置关系 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 确定圆的条件： 三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆; C A B O 三角形的外接圆： 三角形的外心： 如图，△ABC是☉O的内接三角形， ☉O是△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心。 三角形的外接圆概念理解要注意： 1接：“接”是说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点(或三角形的各顶点都在圆上)。 2内外：而“内”“外”是相对位置关系，是以一个图形的位置作为参照，说明另一个图形在它的的里面或外面。三角形的外接圆是指圆在三角形的外部，一个三角形只有唯一一个外接圆。圆的内接三角形是指三角形在圆内部，一个圆可以由无数个内接三角形。 例1、判断下列命题是真命题还是假命题: (1)经过任意两点可以作无数个圆； (2)任意三角形都有无数个外接圆； (3)任意一个圆都有且只有一个内接三角形； (4)三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心； (5)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。 解:(1)真命题； (2)假命题； (3)假命题； (4)真命题； (5)真命题。 典例讲解 1.如图所示，点A，B，C都在直线1上，点D，E都在直线l外，且这五个点中任意四点都不在同一个圆上，除A，B，C外任意三点都不在同一条直线上，则这些点最多可以确定的圆的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.9 • A • B • C l • E • D 解析:结合图形，可按以下三种方法进行组合: ①点D和点A,B，C三点中的两点分别组合，共有3种组合法; ②点E和点A,B,C三点中的两点分别组合，共有3种组合法; ③点E,D分别和点A,B,C三点中的一点进行组合，共有3种组合法。所以3+3+3=9，即有9种不在同一条直线上的三点的组合方法，所以可以确定9个圆。 D 跟踪练习 例2、分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,再作出每个三角形的外接圆。它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系? B A C B A C B A C 典例讲解 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 联系 三角形与外接圆 外心在三角形 的内部. 外心是直角三角形 斜边的中点. 外心在三角形 的外部. 外心在三角形的内部 ⇔三角形为锐角三角形 外心在三角形最长边中点处 ⇔三角形为直角三角形. 外心在三角形的外部 ⇔三角形为钝角三角形. 典例讲解 2. 在联欢晚会上，有A,B,C三名同学站在一个三角形的三个 顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个 木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的 最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 D 跟踪练习 • B • A • C • O 例3、如图,在古代圆形铜镜的残片上取A,B,C三点, 若BC的长为16cm,AB,AC的长均为10cm。求铜镜的半径长。 解:如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平分线，交于点O，则点O为所求的圆心. 典例讲解 连接OA,交BC于点D，连接OB,OC. ∵AB= AC=10, OB=OC, • D ∴OA垂直平分线段BC。 • B • A • C • O • D ∴BD=BC=×16=8cm 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD===6(cm) 设半径为rcm，则OD=(r-6)cm。 在Rt△BOD中，由勾股定理，得 OB2=BD2+OD2,即r2=82+(r-6)2, 答:铜镜的半径长为25cm。 典例讲解 解得r=25。 3.如图，已知直线a和直线a外的两点A，B(直线AB与a不垂直)。求作经过点A，B的圆，并使它的圆心在直线a上。 a • B • A 解:如图所示，连接AB， 作线段AB的垂直平分线交直线a于点O，以点O为圆心，以OA的长为半径作圆，☉O就是所求作的圆。 ●o 跟踪练习 例4、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，☉D的一条圆弧经过格点A、B、C，现在以格点O为原点、水平和竖直方向为x、y轴建立平面直角坐标系. (3)若点E的坐标是(-1,3),试判断点E与☉D的位置关系,并说明理由. (2)求☉D的半径; (2,0) 由勾股定理，得☉D的半径为： (1)圆心D的坐标为 ; AD===2 DE===3 ∵3＜2 ∴点E在☉D内部。 拓展延申 1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的应该是( ) A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块 A 当堂检测 2.(烟台中考)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 . (-1,-2) 当堂检测 3.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆， 并求外接圆的半径长. 解：如图 ，作 BC 的垂直平分线交BC 于点D，作 AC 的垂直平分线交BC 的垂直平分线于点 O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为所求. B A C A B C 当堂检测 ∵ △ABC是边长为 2的等边三角形， ∴ AB=BC，∠ABC=60°，  ∠ODB=90°， BD=， ∴ 点B在AC的垂直平分线上， ∴ ∠OBD∠ABC， ∴ ODOB. 在 Rt△OBD 中，， ∴ ， 解得 OB， 故⊙O的半径长为 . A B C 当堂检测 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的 垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离 相等，等于三角形的外接圆的半径. 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $