4.1 圆的轴对称性（第1课时垂径定理）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦垂径定理，以筒车实例导入，通过知识回顾（圆、弦、弧定义）和折叠实验，引导学生从圆的轴对称性出发，逐步探索定理的形成过程，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理能力，通过折叠实验感知轴对称性，逻辑证明发展推理思维，典例中构造直角三角形用勾股定理列方程体现模型意识。采用探究式教学，小结明确辅助线与定理作用，助力学生提升数学思维，也为教师提供完整教学流程与实例。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.1圆的轴对称性 第1课时 垂径定理 学 习 目 标 1 2 3 掌握圆的轴对称性。(几何直观) 探索并证明垂径定理，能运用它进行计算和推理。(推理能力) 感受转化、数形结合、方程等数学思想和方法，发展推理能力和抽象能力. 章引言 筒车是我国隋唐时期发明的一种水利灌溉工具，距今已有一千多年的历史。明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理（如图）。 章引言 将筒车上竹筒的运行轨道看作以轴心为圆心的圆。 （1）若在筒车圆周均匀设置一些竹筒，怎样确定这些竹筒的位置？ （2）竹筒的轨道没入水中的部分有多长？ （3）竹筒转到最高位置时离水面多高？ 章引言 这些问题的解决都需要用到圆的知识。圆是基本的几何图形，具有轴对称性、中心对称性和旋转不变性。本章我 们将进一步认识圆的性质，研究圆的弦、 弧、圆心角以及圆周角等相关元素之间 的关系；了解直线和圆的位置关系、正 多边形和圆之间的关系；探究圆的弧长、 扇形面积的计算方法。 圆是一种优美的曲线图形，具有独特的性质。圆与三角形、四边形等平面图形相融合，将开启几何探究的新旅程。 你还记的什么是圆吗?你学过哪些有关圆的知识? 知识回顾 思考 在一个平面内，线段 OP 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 P 所形成的图形叫作圆． 平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合. · O 连接圆上任意两点的线段叫作弦,经过圆心的弦叫作直径。 圆： 弦： 弧: 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。 圆的对称性 圆是轴对称图形， 任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. ●O （1）把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 8 （2）如图,CD 是☉O 的弦,由☉O 和弦CD 构成的图形是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形,那么它有几条对称轴? ●O C D A B 通过折叠发现,由☉O 和弦CD 构成的图形是轴对称图形,只有一条对称轴,它是直径AB所在的直线。 AB与CD是什么位置关系？ AB⊥CD E （1）观察下图,你还有什么发现? ●O C D A B E ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( CE=DE, AC=AD, BC=BD。 (2)上述说法正确吗? 为什么? ●O C D A B E CE=DE, AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 你能证明这些结论吗？ ●O C D A B E 已知：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E． 求证：CE=DE, AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 证明：连接OC，OD. ∵OC=OD,OE⊥CD, ∴CE=DE。 ∵☉O与弦CD组成的图形关于直线AB对称, ∴当☉O 沿直线AB 折叠时,点C与点D重合, AC与AD重合, BC与BD与重合。 ( ( ( ( ∴ AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 你能用文字总结出这结论吗？ ●O C D A B E ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CE=DE, AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 垂直于弦的直径平分弦 以及弦所对的两条弧。 垂径定理： 几何言语： 垂径定理理解注意： 1经：这里的“径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。 2弦：垂径定理中的“弦”是任意一条弦，为直径时，结论仍然成立。 3作用：垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要方法，同时也为圆的计算和作图 提供了基本的方法和理论依据。 4模型：垂径定理四个常见图形如下图： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 例1、如图,已知AB 是☉O 的直径,CD 是☉O弦,AB⊥CD, 垂足为点E,BE=CD=16。求☉O 的半径长。 ●O C D A B E 解析：本题考查利用垂径定理构造直角三角形求线段长的计算问题。在圆中出现弦的问题，通常考虑作半径，在以半径长、弦长的一半、弦心距(圆心到弦的距离)为三边长的直角三角形中求解，在两边未知的情况下常利用勾股定理列方程解题。 典例讲解 ●O C D A B E 解:连接OD。 设☉O的半径长为r,则OE=BE-OB=16-r。 ∴∠OED=90°,DE=CD=8。 ∵AB⊥CD,CD=16, 在Rt△ODE 中,OD2=OE2+DE2 ∴r2=(16-r)2+82。 解得r=10 ∴☉O的半径长为10。 垂径定理 典例讲解 用垂径定理解题的方法技巧： 构造法： 运用垂径定理解题常作的辅助线是半径、圆心到弦的垂线段或垂直于弦的直径(半径),构造直角三角形，然后结合勾股定理或运用锐角三角比进行有关计算。 在弦长、弦心距、半径与拱高知其二应用勾股定理列方程求解 求其它二者的长。---知二求二。 例2、如图是章引言中筒车的平面示意图。若☉O被水面 截得的弦AB长为6m, ∠OAB=45°,求运行轨道的最高点到弦AB所在直线的距离。 解析：本题和例1的思路一样，在圆中出现弦和半径时，怎样找到轨道的最高点？过圆心作弦AB的垂线与圆交点是最高点。弦心距，(圆心到弦的距离)，构造直角三角形利用勾股定理解题。 E 典例讲解 解:过点O作OD⊥AB,垂足为点D,延长DO与☉O相交于点C, 则∠ADO=90°。 E D ∴AD=BD=AB=3。 ∵∠ADO=90°，∠OAB=45°， ∴AD=OD=3。 ∴OA = =3 ∴CD=OD+CO=3+3。 ∴运行轨道的最高点到弦AB的距离是(3+3)m。 垂径定理 典例讲解 . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. 例3、已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD. ( ( ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. ( ∴AM＝BM，CM＝DM （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）， ( ( ( ∴AM－CM＝BM－DM. ( ( ( ( ∴AC＝BD. ( ( 平行弦夹的弧相等. 典例讲解 20 20 例4、如图,AB,CD为☉O 的两条弦,AB⊥CD,垂足为点E,且AB=CD。已知CE=2,ED=6。求☉O的半径长。 ●O C D A B E M N 解析:要解决这个问题，我们可以利用垂径定理(或几何辅助线)来分析弦与圆心的位置关系，证明四边形ONEM是正方形，得OM=EN,进而用勾股定理求出圆的半径。 拓展延申 ●O C D A B E M N ∵OA=OD， 解：过圆心O分别作OM⊥AB于M， ON⊥CD于N。 由垂径定理得AM=AB，DN=CD. ∵AB⊥CD, ∴四边形OMEN是矩形. ∴Rt△OND ≌ Rt△OAM（HL） ∴AM=DN ∴OM=ON 拓展延申 ∴ON=EN. ●O C D A B E M N ∴四边形OMEN是正方形。 在Rt△OND中，∠OND=90° ∴OD= ==2. ∴☉O的半径长是2。 ∵CE=2,ED=6，∴CD=CE+ED=8. ∴DN=CN=4 ∴ON=EN=2. 拓展延申 例5、如图,AB,CD是☉O的两条弦,且AB=CD,M,N分别为AB,CD的中点。求证:∠AMN=∠CNM。 C D A B N ●O M C D A B N 证明:连接OM ，ON,OA,OB,OD. ∵OA=OB,M为AB的中点， ∴OM⊥ AB, ∴ BM=AB. 同理，可得ON⊥CD,DN=CD 探究创新 C D A B N ●O M C D A B N ∵AB=CD,∴BM=DN. 又∵OB=OD, ∴Rt△BOMRt△DON (HL), ∴OM=ON, ∴∠OMN =∠ONM, ∴∠AMO-∠OMN =∠CNO-∠ONM, ∴∠AMN =∠CNM. 探究创新 1.如图,☉O为水管横截面的示意图,水面宽AB为24cm,水的最大深度为18cm。求☉O的半径长. C D 解:作OC⊥AB,连接OA。延长CO交☉O于点于点D,由垂径定理，得AC=AB=×24=12(cm). 设O的半径为rcm， 则OC=CD-OD=(18-r)cm。 在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA2=OC2+AC2即r2=(18-r)2+122，解得r=13。 所以☉O的半径长是13cm。 当堂练习 2.如图,P为☉O内一点。你能用尺规作一条弦AB,使点P恰为AB的中点吗? 请说明理由。 解:能。连接OP,过点P作OP的垂线AB,交☉O于A,B两点,则AB就是所求作的☉O的弦。理由:因为OP⊥AB，根据垂径定理，得P为AB的中点。 当堂练习 1. 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆是轴对称图形 B. 圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C. 圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D. 经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 C 当堂检测 2. 如图,AB是☉O的直径,CD是☉O 的一条弦,CD⊥AB于 点E ,则下列结论： ①∠COE=∠DOE;②CE=DE;③BC=BD;④OE=BE 其中一定正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C ( ( 当堂检测 3.已知☉O的半径为13cm，弦AB//CD,AB=24cm，CD=10cm，则AB,CD之间的距离为( ) A.7 cm B.17 cm C.12 cm D.7 cm或17 cm 解析:要求AB、CD之间的距离，需要分AB、CD位于圆心同侧与异侧两种情况进行讨论。如图所示.利用垂径定理分别求出ON,OM的长即可。 . N C D A B O . C D A B O M N M D 当堂检测 垂径定理 内容 辅助线 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理 计算或建立方程. 作用： 求线段，角，弧的关系 课堂小结 31 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $